《簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題》學(xué)案.ppt

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簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 一 線(xiàn)性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用 線(xiàn)性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類(lèi)問(wèn)題中得到應(yīng)用 一是在人力 物力 資金等資源一定的條件下 如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù) 二是給定一項(xiàng)任務(wù) 如何合理安排和規(guī)劃 能以最少的人力 物力 資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù) 下面我們就來(lái)看看線(xiàn)性規(guī)劃在實(shí)際中的一些應(yīng)用 例5 營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出 成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0 075kg的碳水化合物 0 06kg的蛋白質(zhì) 0 06kg的脂肪 1kg食物A含有0 105kg碳水化合物 0 07kg蛋白質(zhì) 0 14kg脂肪 花費(fèi)28元 而1食物B含有0 105kg碳水化合物 0 14kg蛋白質(zhì) 0 07kg脂肪 花費(fèi)21元 為了滿(mǎn)足營(yíng)養(yǎng)專(zhuān)家指出的日常飲食要求 同時(shí)使花費(fèi)最低 需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg 分析 將已知數(shù)據(jù)列成表格 二 例題 解 設(shè)每天食用xkg食物A ykg食物B 總成本為z那么 目標(biāo)函數(shù)為 z 28x 21y 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域 即可行域 把目標(biāo)函數(shù)z 28x 21y變形為 x y o 5 7 5 7 6 7 3 7 3 7 6 7 它表示斜率為隨z變化的一組平行直線(xiàn)系 是直線(xiàn)在y軸上的截距 當(dāng)截距最小時(shí) z的值最小 M 如圖可見(jiàn) 當(dāng)直線(xiàn)z 28x 21y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí) 截距最小 即z最小 M點(diǎn)是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn) 解方程組 得M點(diǎn)的坐標(biāo)為 所以zmin 28x 21y 16 由此可知 每天食用食物A143g 食物B約571g 能夠滿(mǎn)足日常飲食要求 又使花費(fèi)最低 最低成本為16元 例6 某人準(zhǔn)備投資1200萬(wàn)元興辦一所完全中學(xué) 對(duì)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后 他得到了下面的數(shù)據(jù)表格 以班級(jí)為單位 分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件 若根據(jù)有關(guān)部門(mén)的規(guī)定 初中每人每年可收學(xué)費(fèi)1600元 高中每人每年可收學(xué)費(fèi)2700元 那么開(kāi)設(shè)初中班和高中班多少個(gè) 每年收費(fèi)的學(xué)費(fèi)總額最多 把上面四個(gè)不等式合在一起 得到 y x 20 30 40 20 30 o 另外 開(kāi)設(shè)的班級(jí)不能為負(fù) 則x 0 y 0 而由于資金限制 26x 54y 2 2x 2 3y 1200 解 設(shè)開(kāi)設(shè)初中班x個(gè) 高中班y個(gè) 因辦學(xué)規(guī)模以20 30個(gè)班為宜 所以 20 x y 30 y x 20 30 40 20 30 o 由圖可以看出 當(dāng)直線(xiàn)Z 7 2x 10 8y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí) 截距最大 即Z最大 設(shè)收取的學(xué)費(fèi)總額為Z萬(wàn)元 則目標(biāo)函數(shù)Z 0 16 45x 0 27 40y 7 2x 10 8y Z 7 2x 10 8y變形為它表示斜率為的直線(xiàn)系 Z與這條直線(xiàn)的截距有關(guān) M 易求得M 20 10 則Zmax 7 2x 10 8y 252 故開(kāi)設(shè)20個(gè)初中班和10個(gè)高中班 收取的學(xué)費(fèi)最多 為252萬(wàn)元 例7 一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲 乙兩種混合肥料 生產(chǎn)1車(chē)皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t 硝酸鹽18t 生產(chǎn)1車(chē)皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t 硝酸鹽15t 現(xiàn)庫(kù)存磷酸鹽10t 硝酸鹽66t 在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料 列出滿(mǎn)足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式 并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域 并計(jì)算生產(chǎn)甲 乙兩種肥料各多少車(chē)皮 能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn) 解 設(shè)x y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲 乙兩種混合肥料的車(chē)皮數(shù) 于是滿(mǎn)足以下條件 x y o 解 設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x(chóng)車(chē)皮 乙種肥料y車(chē)皮 能夠產(chǎn)生利潤(rùn)Z萬(wàn)元 目標(biāo)函數(shù)為Z x 0 5y 可行域如圖 把Z x 0 5y變形為y 2x 2z 它表示斜率為 2 在y軸上的截距為2z的一組直線(xiàn)系 x y o 由圖可以看出 當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí) 截距2z最大 即z最大 故生產(chǎn)甲種 乙種肥料各2車(chē)皮 能夠產(chǎn)生最大利潤(rùn) 最大利潤(rùn)為3萬(wàn)元 M 容易求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 2 則Zmin 3 三 練習(xí)題 某廠擬生產(chǎn)甲 乙兩種適銷(xiāo)產(chǎn)品 每件銷(xiāo)售收入分別為3000元 2000元 甲 乙產(chǎn)品都需要在A B兩種設(shè)備上加工 在每臺(tái)A B上加工1件甲所需工時(shí)分別為1h 2h A B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)數(shù)分別為400h和500h 如何安排生產(chǎn)可使收入最大 設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件 生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件 每月收入為z 目標(biāo)函數(shù)為Z 3x 2y 滿(mǎn)足的條件是 Z 3x 2y變形為它表示斜率為的直線(xiàn)系 Z與這條直線(xiàn)的截距有關(guān) x y O 400 200 250 500 當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí) 截距最大 Z最大 M 解方程組 可得M 200 100 Z的最大值Z 3x 2y 800 故生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件 乙產(chǎn)品100件 收入最大 為80萬(wàn)元 四 課時(shí)小結(jié) 線(xiàn)性規(guī)劃的兩類(lèi)重要實(shí)際問(wèn)題的解題思路 1 應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型 即根據(jù)題意找出約束條件 確定線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù) 2 用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解 即畫(huà)出可行域 在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解 一般最優(yōu)解在直線(xiàn)或直線(xiàn)的交點(diǎn)上 要注意斜率的比較 3 要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解 即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解