2018-2019學年高中數(shù)學 考點26 直線與平面所成的角庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點26 直線與平面所成的角 要點闡述 直線與平面所成的角 （1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角． （2）當直線與平面垂直時，它們所成的角的度數(shù)是90；當直線與平面平行或在平面內(nèi)時，它們所成的角的度數(shù)是；直線與平面所成的角θ的范圍：． 典型例題 【例】在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是(　　) A．30　 　　 B．45　 　　 C．60　 　　 D．90 【答案】C 【規(guī)律總結(jié)】求線面角的常用方法： （1）直接法(一作(或找)二證(或說)三計算)； （2）轉(zhuǎn)移法(找過點與面平行的線或面)； （3）等積法(三棱錐變換頂點，屬間接求法)． 小試牛刀 1．一條直線和平面所成角為，那么的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由線面角的定義知B正確． 【易錯易混】直線與平面所成的角范圍是，斜線與平面所成的角范圍是 2．線段AB的長等于它在平面α內(nèi)的射影長的2倍，則AB所在直線與平面α所成的角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．120 【答案】C 【解題技巧】求解直線與平面所成的角首先應(yīng)根據(jù)定義作出這個角，其次要進行證明，最后結(jié)合解三角形知識，求出這個角的大小，即“一作，二證，三求”． 3．在正方體中，與平面所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)上下底面的中心分別為，易得與平面所成角就是與平面所成角，． 4．把正方形沿對角線折起，當以 四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線和平面 所成的角的大小為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 5．在正方體中，分別是棱的中點，則與對角面所成的角的度數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如圖所示， 連接，則． 設(shè)為正方形的中心，連接，則平面． 連接，則是與平面所成的角． 設(shè)正方體的棱長為1，在中， ，∴． 6．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角． 【解析】如圖，連接BC1交B1C于點O，連接A1O． 【思路分析】求解斜線和平面所成的角的一般方法是：①確定斜線與平面的交點即斜足；②經(jīng)過斜線上除斜足外任一點作平面的垂線，確定垂足，進而確定斜線在平面內(nèi)的射影；③求解由垂線、斜線及其射影構(gòu)成的直角三角形． 考題速遞 1．已知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角是________． 【答案】30 【解析】tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30． 3．如圖所示，在正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側(cè)面 所成的角的大小是 ． 【答案】 【解析】如圖所示． 取的中點，連接，則平面， 故為與平面所成的角． 中，，， ∴，∴． 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1B1的中點，求AE與平面ABC1D1所成角的余弦值． 【答案】 數(shù)學文化 比薩斜塔 比薩斜塔是意大利比薩城大教堂的獨立式鐘樓，位于意大利托斯卡納省比薩城北面的奇跡廣場上，是奇跡廣場的三大建筑之一．鐘樓始建于1173年，設(shè)計為垂直建造，但是在工程開始后不久便由于地基不均勻和土層松軟而傾斜，1372年完工，塔身傾斜向東南．比薩斜塔是比薩城的標志，1987年它和相鄰的大教堂、洗禮堂、墓園一起因其對11世紀至14世紀意大利建筑藝術(shù)的巨大影響，而被聯(lián)合國教育科學文化組織評選為世界遺產(chǎn)．比薩斜塔毫無疑問是建筑史上的一座重要建筑，在發(fā)生嚴重的傾斜之前，它大膽的圓形建筑設(shè)計已經(jīng)向世人展現(xiàn)了它的獨創(chuàng)性．雖然在更早年代的意大利鐘樓中，采用圓形地基的設(shè)計并不少見，類似的例子可以在拉文納、托斯卡納和翁布里亞找到，但是，比薩鐘樓被認為是獨立于這些原型，更大程度上，它是在借鑒前人建筑經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，獨立設(shè)計并對圓形建筑加以了發(fā)展，形成了獨特的比薩風格．幾個世紀以來，鐘樓的傾斜問題始終吸引著好奇的游客、藝術(shù)家和學者，使得比薩斜塔世界聞名．