2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二4.2.2《圓與圓的位置關(guān)系》word教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二4.2.2《圓與圓的位置關(guān)系》word教案 一、教材分析 本節(jié)課研究圓與圓的位置關(guān)系,重點是研究兩圓位置關(guān)系的判斷方法,并應(yīng)用這些方法解決有關(guān)的實際問題.教材是在初中平面幾何對圓與圓的位置關(guān)系的初步分析的基礎(chǔ)上結(jié)合前面學(xué)習(xí)的點與圓、直線與圓的位置關(guān)系,得到圓與圓的位置關(guān)系的幾何方法,用代數(shù)的方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓,是平面幾何問題的深化,它將是以后處理圓錐曲線的常用方法.因此,增加了用代數(shù)方法來分析位置關(guān)系,這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化等解析幾何思想方法及辯證思維能力,其基本思維方法和解決問題的技巧對今后整個圓錐曲線的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義.根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ),學(xué)習(xí)的自覺性和主動性,自主學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)能力,平時的學(xué)習(xí)養(yǎng)成的善于觀察、分析和思考的習(xí)慣,同時由于本節(jié)課從內(nèi)容結(jié)構(gòu)與思維方法上與直線與圓的位置關(guān)系相似,學(xué)生對上節(jié)課內(nèi)容掌握較好,從而本節(jié)課從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看不會存在太多的障礙,因而教學(xué)方法可以是引導(dǎo)學(xué)生從類比直線與圓位置關(guān)系來自主研究圓與圓的位置關(guān)系. 二、教學(xué)目標(biāo) 1．知識與技能 （1）理解圓與圓的位置的種類； （2）利用平面直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式求兩圓的連心線長； （3）會用連心線長判斷兩圓的位置關(guān)系. 2．過程與方法 設(shè)兩圓的連心線長為l，則判斷圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點： （1）當(dāng)l ＞r1+r2時，圓C1與圓C2相離； （2）當(dāng)l = r1+r2時，圓C1與圓C2外切； （3）當(dāng)|r1 – r2|＜l＜r1+r2時，圓C1與圓C2相交； （4）當(dāng)l = |r1– r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)切； （5）當(dāng)l＜|r1 – r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)含. 3．情態(tài)與價值觀 讓學(xué)生通過觀察圖形，理解并掌握圓與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想. 三、教學(xué)重點與難點 教學(xué)重點：求弦長問題,判斷圓和圓的位置關(guān)系. 教學(xué)難點：判斷圓和圓的位置關(guān)系. 四、課時安排 1課時 五、教學(xué)設(shè)計 （一）導(dǎo)入新課 思路1.平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？ 判斷兩圓的位置關(guān)系的步驟及其判斷方法如下:第一步：計算兩圓的半徑R,r；第二步：計算兩圓的圓心距O1O2,即d；第三步：根據(jù)d與R,r之間的關(guān)系,判斷兩圓的位置關(guān)系. 兩圓的位置關(guān)系： 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 d＞R+r d=R+r |R-r|＜d＜R+r d=|R-r| d＜|R-r| 在解析幾何中,我們用代數(shù)的方法如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？這就是我們本堂課研究的課題,教師板書課題圓與圓的位置關(guān)系. 思路2.前面我們學(xué)習(xí)了點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系,那么,圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？教師板書課題:圓與圓的位置關(guān)系. （二）推進新課、新知探究、提出問題 ①初中學(xué)過的平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有幾種？ ②判斷兩圓的位置關(guān)系,你有什么好的方法嗎？ ③你能在同一個直角坐標(biāo)系中畫出兩個方程所表示的圓嗎？ ④根據(jù)你所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個圓的位置關(guān)系.如何把這些直觀的事實轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言呢？ ⑤如何判斷兩個圓的位置關(guān)系呢？ ⑥若將兩個圓的方程相減,你發(fā)現(xiàn)了什么？ ⑦兩個圓的位置關(guān)系是否可以轉(zhuǎn)化為一條直線與兩個圓中的一個圓的關(guān)系的判定呢？ 活動： 教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的知識、舉例,并對學(xué)生活動進行評價；學(xué)生回顧知識點時,可互相交流.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書中的相關(guān)內(nèi)容,注意個別輔導(dǎo),解答學(xué)生疑難,并引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)解題的方法.學(xué)生觀察圖形并思考,發(fā)表自己的解題方法.教師應(yīng)該關(guān)注并發(fā)現(xiàn)有多少學(xué)生利用“圖形”求解,對這些學(xué)生應(yīng)該給予表揚.同時強調(diào),解析幾何是一門數(shù)與形結(jié)合的學(xué)科.啟發(fā)學(xué)生利用圖形的特征,用代數(shù)的方法來解決幾何問題.教師指導(dǎo)學(xué)生利用兩個圓的圓心坐標(biāo)、半徑長、連心線長的關(guān)系來判別兩個圓的位置.學(xué)生互相探討、交流,尋找解決問題的方法,并能通過圖形的直觀性,利用平面直角坐標(biāo)系的兩點間距離公式尋求解題的途徑. 討論結(jié)果：①初中學(xué)過的平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有五類,分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含. ②判斷兩圓的位置關(guān)系,我們可以類比直線與圓的位置關(guān)系的判定,目前我們只有初中學(xué)過的幾何法,利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系判斷. ③略. ④根據(jù)所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個圓的位置關(guān)系.用幾何的方法說就是圓心距(d)與兩圓半徑(r,R)的和與差之間的關(guān)系. ⑤判斷兩個圓的位置關(guān)系.一是可以利用幾何法,即兩個圓的圓心坐標(biāo)、半徑長、連心線長的關(guān)系來判別兩個圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長為l,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點： 1當(dāng)d＞R+r時,圓C1與圓C2外離； 2當(dāng)d=R+r時,圓C1與圓C2外切； 3當(dāng)|R-r|＜d＜R+r時,圓C1與圓C2相交； 4當(dāng)d=|R-r|時,圓C1與圓C2內(nèi)切； 5當(dāng)d＜|R-r|時,圓C1與圓C2內(nèi)含； 二是看兩圓的方程組成的方程組的實數(shù)解的情況,解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組.若方程組有兩組不同的實數(shù)解,則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實數(shù)解,則兩圓相切；若無實數(shù)解,兩圓相離. 總結(jié)比較兩種方法的優(yōu)缺點. 幾何方法：直觀,容易理解,但不能求出交點坐標(biāo). 代數(shù)方法： 1只能判斷交點,并不能準(zhǔn)確的判斷位置關(guān)系(有一個交點時不能判斷內(nèi)切還是外切,無交點時不能判斷內(nèi)含還是外離). 2優(yōu)點是可以求出公共點. ⑥若將兩個圓的方程相減,得到一個一元一次方程,既直線方程,由于它過兩圓的交點,所以它是相交兩圓的公共弦的方程. ⑦兩個圓的公共點的問題可以化歸為這條公共直線與兩個圓中的一個圓的公共點的判定問題.由點到直線的距離公式來判斷. （三）應(yīng)用示例 思路1 例1 已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判斷兩圓的位置關(guān)系. 活動:學(xué)生思考交流,教師引導(dǎo)提示,判斷兩圓的位置關(guān)系有兩種基本的方法,要合理使用.方法一看兩圓的方程組成的方程組的實數(shù)解的情況,方法二利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系判斷. 解:方法一:圓C1與圓C2的方程聯(lián)立得到方程組 ①-②得x+2y-1=0, ③ 由③得y=,把上式代入①并整理得x2-2x-3=0. ④ 方程④的判別式Δ=(-2)2-41(-3)=16＞0,所以方程④有兩個不等的實數(shù)根,即圓C1與圓C2相交. 方法二:把圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+1)2+(y+4)2=25與(x-2)2+(y-2)2=10. 圓C1的圓心是點(-1,-4),半徑長r1=5; 圓C2的圓心是點(2,2),半徑長r2=. 圓C1與圓C2的連心線的長為=3,圓C1與圓C2的半徑長之和為r1+r2=5+, 半徑長之差為r1-r2=5-. 而5-＜3＜5+,即r1-r2＜3＜r1+r2, 所以圓C1與圓C2相交,它們有兩個公共點A、B. 點評:判斷兩圓的位置關(guān)系,一般情況下,先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,利用幾何法判斷較為準(zhǔn)確直觀. 變式訓(xùn)練 判斷下列兩圓的位置關(guān)系,如果兩圓相交,請求出公共弦的方程. (1)(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16, (2)x2+y2+6x-7=0與x2+y2+6y-27=0. 解:(1)根據(jù)題意,得兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4,兩圓的圓心距d==5. 因為d=r1+r2,所以兩圓外切. (2)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36. 故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6, 兩圓的圓心距d=. 因為|r1-r2|＜d＜r1+r2,所以兩圓相交. 例2 已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長. 活動：學(xué)生審題,思考并交流,探討解題的思路,教師及時提示引導(dǎo),因兩圓的交點坐標(biāo)同時滿足兩個圓方程,聯(lián)立方程組,消去x2項、y2項,即得兩圓的兩個交點所在的直線方程,利用勾股定理可求出兩圓公共弦長. 解:設(shè)兩圓交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則A、B兩點坐標(biāo)滿足方程組 ①-②,得3x-4y+6=0. 因為A、B兩點坐標(biāo)都滿足此方程,所以3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程. 易知圓C1的圓心(-1,3),半徑r=3. 又點C1到直線的距離為d==. 所以AB=2,即兩圓的公共弦長為. 點評:處理圓有關(guān)的問題,利用圓的幾何性質(zhì)往往比較簡單,要注意體會和應(yīng)用. 思路2 例1 求過點A(0,6)且與圓C:x2+y2+10x+10y=0切于原點的圓的方程. 圖1 活動:學(xué)生思考交流,回顧圓的方程的求法,教師引導(dǎo)學(xué)生注意題目的條件,靈活處理,如圖1.所求圓經(jīng)過原點和A(0,6),且圓心應(yīng)在已知圓的圓心與原點的連線上.根據(jù)這三個條件可確定圓的方程. 解:將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+5)2+(y+5)2=50, 則圓心為C(-5,-5),半徑為52.所以經(jīng)過此圓心和原點的直線方程為x-y=0. 設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2. 由題意,知O(0,0),A(0,6)在此圓上,且圓心M(a,b)在直線x-y=0上,則有 解得 于是所求圓的方程是(x-3)2+(y-3)2=18. 點評:求圓的方程,一般可從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程入手,至于選擇哪一種方程形式更恰當(dāng),要根據(jù)題目的條件而定,總之要讓所選擇的方程形式使解題過程簡單. 例2 已知⊙O方程為x2+y2=4,定點A(4,0),求過點A且和⊙O相切的動圓圓心的軌跡方程. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的知識,兩圓外切,連心線長等于兩圓半徑之和,兩圓內(nèi)切,連心線長等于兩圓半徑之差,由此可得到動圓圓心在運動中所應(yīng)滿足的幾何條件,然后將這個幾何條件坐標(biāo)化,即得到它的軌跡方程. 解法一：設(shè)動圓圓心為P(x,y),因為動圓過定點A,所以|PA|即為動圓半徑. 當(dāng)動圓P與⊙O外切時,|PO|=|PA|+2； 當(dāng)動圓P與⊙O內(nèi)切時,|PO|=|PA|－2. 綜合這兩種情況,得||PO|－|PA||=2. 將此關(guān)系式坐標(biāo)化,得 ||=2. 化簡可得(x－2)2－=1. 解法二：由解法一可得動點P滿足幾何關(guān)系||OP|－|PA||=2, 即P點到兩定點O、A的距離差的絕對值為定值2,所以P點軌跡是以O(shè)、A為焦點,2為實軸長的雙曲線,中心在OA中點(2,0),實半軸長a=1,半焦距c=2,虛半軸長b=,所以軌跡方程為(x－2)2－=1. 點評：解題的過程就是實現(xiàn)條件向結(jié)論轉(zhuǎn)化的過程,對于圓與圓,要綜合平面幾何知識、解析幾何、代數(shù)知識,將條件轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式,利用常規(guī)思路去解,求點的軌跡更要注意平面幾何的知識運用. （四）知能訓(xùn)練 課堂練習(xí)P141練習(xí)題 （五）課堂小結(jié) 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了圓與圓的位置關(guān)系，判斷方法：幾何方法和代數(shù)方法. （六）作業(yè) 習(xí)題4.2 A組8、9、10、11.