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第2講 萬有引力與航天
一、選擇題(本大題共8小題,每小題8分,共64分.第1～5題只有一項符合題目要求,第6～8題有多項符合題目要求)
1.(2018宿遷模擬)許多科學家在經典物理學發(fā)展中作出了重要貢獻,下列敘述中符合史實的是( D )
A.哥白尼提出了日心說并發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運行的規(guī)律
B.開普勒在前人研究的基礎上,提出了萬有引力定律
C.牛頓提出了萬有引力定律,并通過實驗測出了萬有引力常量
D.卡文迪許通過扭秤實驗測出了萬有引力常量
解析:哥白尼提出了日心說,而開普勒發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運行的規(guī)律,故A錯誤;牛頓在前人研究的基礎上,提出萬有引力定律,故B錯誤;牛頓提出了萬有引力定律,卡文迪許通過扭秤實驗測出了萬有引力常量,故C錯誤,D正確.
2.(2018寶雞一模)在同一軌道平面上的兩顆人造地球衛(wèi)星A,B同向繞地球做勻速圓周運動,周期分別為TA,TB,軌道半徑rB>rA,某時刻A,B和地球恰好在同一條
直線上,從此時刻開始到A,B和地球再次共線的時間間隔為t,下列說法中正確的是( D )
A.A,B衛(wèi)星的線速度vA
vB,故A錯誤;由a=GMr2知,衛(wèi)星的軌道半徑越大,向心加速度越小,故B錯誤;由幾何關系可知,若開始A,B在地球同側,則A比B多轉一圈,則有tTA-tTB=1,則t>TA;若開始A,B在地球兩側,則A比B多轉12圈,有tTA-tTB=12,得t>TA2,總之,t一定大于TA2,故C錯誤,D
正確.
3.(2018永州三模)2018年3月30日01時56分,我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭(及遠征一號上面級),以“一箭雙星”方式成功發(fā)射第三十、三十一顆北斗導航衛(wèi)星.這兩顆衛(wèi)星屬于中圓地球軌道衛(wèi)星,是我國北斗三號第七、八顆組網衛(wèi)星.北斗導航衛(wèi)星的軌道有三種:地球靜止軌道(高度35 809 km)、傾斜地球同步軌道(高度35 809 km)、中圓地球軌道(高度21 607 km),如圖所示.已知地球半徑為6 370 km,下列說法正確的是( D )
A.中圓地球軌道衛(wèi)星的周期一定比靜止軌道衛(wèi)星的周期長
B.中圓地球軌道衛(wèi)星受到的萬有引力一定比靜止軌道衛(wèi)星受到的萬有引力大
C.傾斜同步軌道衛(wèi)星的線速度為4 km/s
D.傾斜同步軌道衛(wèi)星每天在固定的時間經過同一地區(qū)的正上方
解析:衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動,萬有引力提供向心力,根據牛頓第二定律,有GMmr2=m4π2T2r,解得T=2πr3GM,故中圓地球軌道的衛(wèi)星的周期小于靜止軌道的衛(wèi)星的周期,故A錯誤;中圓地球軌道的衛(wèi)星與靜止軌道的衛(wèi)星的質量關系未知,故無法比較萬有引力大小,故B錯誤;傾斜同步軌道衛(wèi)星的軌道半徑與靜止軌道衛(wèi)星的軌道半徑相等,故公轉周期相等,線速度v=2πrT=23.14(6 370+35 809)103243 600 m/s≈3 066 m/s,故C錯誤;傾斜同步軌道衛(wèi)星周期為24 h,則衛(wèi)星每天在固定的時間經過同一地區(qū)的正上方,故D正確.
4.(2018朝陽一模)2017年12月11日0時40分,我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭,成功將阿爾及利亞一號通信衛(wèi)星送入如圖所示的地球同步轉移軌道.該軌道的近地點為M,遠地點為N,忽略空氣阻力,則下列說法正確的是( B )
A.衛(wèi)星經過M點時的速度最小
B.衛(wèi)星經過N點時的速度最小
C.衛(wèi)星在M點的加速度最小
D.衛(wèi)星在從M到N的過程中機械能減小
解析:依據開普勒第二定律,可知衛(wèi)星在M點的速度大于在N點的速度,故A錯誤,B正確;根據引力產生加速度可知在M點的加速度最大,故C錯誤;衛(wèi)星只在引力作用下做橢圓運動,機械能守恒,故D錯誤.
5.(2018廈門一模)由中山大學發(fā)起的空間引力波探測工程“天琴計劃”于2015年啟動,對一個超緊湊雙白矮星系統(tǒng)產生的引力波進行探測.該計劃采用三顆相同的衛(wèi)星(SC1,SC2,SC3)構成一個等邊三角形陣列,三角形邊長約為地球半徑的27倍,地球恰好處于三角形中心,衛(wèi)星將在以地球為中心的圓軌道上運行,如圖所示(只考慮衛(wèi)星和地球之間的引力作用),對該計劃中的衛(wèi)星,下列說法正確的是( A )
A.運行的周期大于近地衛(wèi)星的運行周期
B.運行的向心加速度大于近地衛(wèi)星的向心加速度
C.運行的速度等于第一宇宙速度
D.發(fā)射速度應大于第二宇宙速度
解析:根據GMmr2=m4π2rT2得T=4π2r3GM,則半徑越大,周期越大,由于該計劃中的衛(wèi)星繞地球運行的半徑大于近地衛(wèi)星的運行半徑,則運行的周期大于近地衛(wèi)星的運行周期,故A正確;根據GMmr2=ma,解得a=GMr2,則該計劃中的衛(wèi)星繞地球運行的向心加速度小于近地衛(wèi)星的向心加速度,故B錯誤;第一宇宙速度是繞地球運動的最大速度,則三顆衛(wèi)星線速度都小于第一宇宙速度,故C錯誤;三顆衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運動,則發(fā)射速度小于第二宇宙速度,故D錯誤.
6.(2018濟寧二模)我國探月工程三期返回飛行試驗器創(chuàng)造了我國航天工程的多個第一,其中包括跳躍式返回技術.跳躍式返回技術指航天器在關閉發(fā)動機后進入大氣層,依靠大氣升力再次沖出大氣層,降低速度后再進入大氣層.如圖所示,虛線為大氣層的邊界,已知地球半徑為R,地心到d點距離為r,地球表面重力加速度為g.下列說法中正確的是( BC )
A.飛行試驗器在b點處于完全失重狀態(tài)
B.飛行試驗器在d點的加速度等于gR2r2
C.飛行試驗器在a點的速率大于在c點的速率
D.飛行試驗器在c點的速率大于在e點的速率
解析:飛行試驗器在進入大氣層后受到空氣阻力和地球引力,從a到b加速度方向背離地心,在b點處于超重狀態(tài),故A錯誤;飛行試驗器在d點受到的萬有引力F=GMmr2,在地球表面有mg=GMmR2,根據牛頓第二定律a=Fm=GMr2=gR2r2,故B正確;a到c的過程中,飛行試驗器克服大氣層的阻力做功,所以機械能減小,a點的速率大于c點的速率,故C正確;飛行試驗器在大氣層外運動的過程中機械能守恒,c點和e點到地球球心的距離相等,引力勢能相等,所以速率也相等,故D錯誤.
7.(2018吉林模擬)氣象衛(wèi)星是用來拍攝云層照片、觀測氣象資料和測量氣象數據的.我國先后自行成功研制和發(fā)射了“風云Ⅰ號”和“風云Ⅱ號”兩顆氣象衛(wèi)星,“風云Ⅰ號”衛(wèi)星軌道與赤道平面垂直并且通過兩極,稱為“極地圓軌道”,每12 h巡視地球一周.“風云Ⅱ號”氣象衛(wèi)星軌道平面在赤道平面內,稱為“地球同步軌道”,每24 h巡視地球一周,則“風云Ⅰ號”衛(wèi)星比“風云Ⅱ號”衛(wèi)星( BD )
A.角速度小 B.線速度大
C.萬有引力小 D.向心加速度大
解析:由萬有引力提供向心力GMmr2=mr4π2T2,得T=2πr3GM,而ω=2πT,可知周期大的半徑大,角速度小,“風云Ⅰ號”的半徑小,則角速度大,選項A錯誤;由v=GMr,則半徑小的線速度大,選項B正確;因引力與質量有關,而質量大小不知,則不能確定引力大小,選項C錯誤;由GMmr2=ma得向心加速度a=GMr2,則半徑小的向心加速度大,選項D正確.
8.(2018福建省廈門雙十中學高三熱身)地面衛(wèi)星監(jiān)測技術在軍事、工業(yè)、農業(yè)、生產、生活等方面發(fā)揮著巨大作用,對地面上的重要目標需要衛(wèi)星不間斷地進行跟蹤監(jiān)測是一項重要任務.假設在赤道上有一個需跟蹤監(jiān)測的目標,某監(jiān)測衛(wèi)星位于赤道平面內,離地面的飛行高度為R,飛行方向與地球自轉方向相同,設地球的自轉周期為T,地球半徑為R,地球表面的重力加速度為g,忽略大氣層對光線傳播的影響,則此衛(wèi)星在一個運動周期內對目標連續(xù)監(jiān)測的最長時間為t,衛(wèi)星的運轉周期為T′,則( AC )
A.T′=4πR2RGM B.T′=2πRRGM
C.t=2π3(g8R-2πT) D.t=πg8R-2πT
解析:根據GMm(2R)2=m2R4π2T2,得衛(wèi)星的周期T′=4πR2RGM,故A正確,B錯誤;如圖所示,衛(wèi)星從A到B,地球自轉從C到D,根據幾何關系,衛(wèi)星在t時間內比地球自轉的角度多120度,則有ωt-2πTt=23π,而衛(wèi)星的角速度ω=2πT=1RGM8R,由GM=gR2得ω=g8R,解得t=2π3(g8R-2πT),故C正確,D錯誤.
二、非選擇題(本大題共2小題,共36分)
9.(18分)(2018江西模擬)開普勒第三定律指出:行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比,即a3T2=k,k是一個對所有行星都相同的常量.
(1)將行星繞太陽的運動按圓周運動處理,請你推導出太陽系中該常量k的表達式.已知引力常量為G,太陽的質量為M太.
(2)開普勒行星運動定律不僅適用于太陽系,它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)(如地月系統(tǒng))都成立.經測定地月距離為3.84108 m,月球繞地球運動的周期為2.36106 s,試計算地球的質量M地.(G=
6.6710-11 Nm2/kg2,結果保留一位有效數字)
解析:(1)因行星繞太陽做勻速圓周運動,于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r.根據萬有引力定律和牛頓第二定律有Gm行M太r2=m行（2πT）2r,于是有r3T2=G4π2M太,
即k=G4π2M太.
(2)在地月系統(tǒng)中,設月球繞地球運動的軌道半徑為R,周期為T′,由(1)可得R3T2=G4π2M地,解得M地=61024 kg.
答案:(1)k=G4π2M太 (2)61024 kg
10.(18分)(2018遼寧五校聯(lián)考)閱讀如下材料,并根據材料中的有關信息回答問題.
表中是地球和太陽的有關數據:
平均半徑
R地=6.371103 km
R日=110R地
質量
M地
M日=333 000M地
平均密度
ρ地
ρ日=14ρ地
已知物體繞地球表面做勻速圓周運動的速度為v=7.9 km/s,引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2,光速c=3108 ms-1.
大約200年前,法國數學家、天文學家拉普拉斯曾預言一個直徑如地球,質量為太陽250倍的發(fā)光星體由于其引力作用將不允許任何光線離開它,其逃逸速度大于真空中的光速(逃逸速度為第一宇宙速度的2倍),這一奇怪的星體就叫做黑洞.
在下列問題中,把星體(包括黑洞)看成是一個質量均勻分布的球體.
[(1)(2)的計算結果用科學計數法表示,且保留一位有效數字;(3)的推導結論用字母表示]
(1)試估算地球的質量;
(2)試估算太陽表面的重力加速度;
(3)已知某星體演變?yōu)楹诙磿r的質量為M,求該星體演變?yōu)楹诙磿r的臨界半徑R.
解析:(1)物體繞地球表面做勻速圓周運動,
GM地mR地2=mv2R地,
解得M地=R地v2G=61024 kg.
(2)在地球表面,有GM地mR地2=mg地,
解得g地=GM地R地2,
同理,在太陽表面,有g日=GM日R日2,
得g日=M日R地2M地R日2g地=3102 m/s2.
(3)由第一宇宙速度的定義得GMmR2=mv12R,
第二宇宙速度v2=c=2v1,
聯(lián)立解得R=2GMc2.
答案:(1)61024 kg (2)3102 m/s2 (3)2GMc2
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