2018年秋高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數(shù)量積 2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角學案 新人教A版必修4.doc

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2.4.2　平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角 學習目標：1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示及其運算．(重點)2.會運用向量坐標運算求解與向量垂直、夾角等相關問題．(難點)3.分清向量平行與垂直的坐標表示．(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1．平面向量數(shù)量積的坐標表示： 設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ. 數(shù)量積 ab＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 2.向量模的公式：設a＝(x1，y1)，則|a|＝. 3．兩點間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝. 4．向量的夾角公式：設兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b 夾角為θ，則 cos θ＝＝. [基礎自測] 1．思考辨析 (1)兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，滿足x1y2－x2y1＝0，則向量a，b的夾角為0.(　　) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b?x1x2－y1y2＝0.(　　) (3)若兩個向量的數(shù)量積的坐標和小于零，則兩個向量的夾角一定為鈍角．(　　) [解析]　(1).因為當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b的夾角也可能為180. (2).a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. (3).因為兩向量的夾角有可能為180. [答案]　(1)　(2)　(3) 2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，則ab＝________，|a＋b|＝________. 1　2　[ab＝22＋(－1)3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝＝2.] 3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，則m＝________. 　[因為a⊥b，所以ab＝1(－2)＋3m＝0， 解得m＝.] 4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，則a與b夾角的余弦值為________． 　[因為ab＝35＋412＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13， 所以a與b夾角的余弦值為＝＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 平面向量數(shù)量積的坐標運算 　(1)如圖244，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若＝，則的值是________． 圖244 (2)已知a與b同向，b＝(1,2)，ab＝10. ①求a的坐標； ②若c＝(2，－1)，求a(bc)及(ab)c. [思路探究]　(1)→→ (2) ①先由a＝λb設點a坐標，再由ab＝10求λ. ②依據(jù)運算順序和數(shù)量積的坐標公式求值． (1)　[(1)以A為坐標原點，AB為x軸、AD為y軸建立平面直角坐標系， 則B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)． 可設F(x,2)，因為＝(，0)(x,2)＝x＝， 所以x＝1，所以＝(，1)(1－，2)＝. (2)①設a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)， 則有ab＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a＝(2,4)． ②∵bc＝12－21＝0，ab＝10， ∴a(bc)＝0a＝0， (ab)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．] [規(guī)律方法]　數(shù)量積運算的途徑及注意點 (1)進行向量的數(shù)量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質，解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數(shù)量積運算；二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知計算. (2)對于以圖形為背景的向量數(shù)量積運算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相應點的坐標即可求解. [跟蹤訓練] 1．(1)設向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，則向量(a＋2b)c＝(　　) A．(－15,12)　　　　　 B．0 C．－3 D．－11 (2)已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，滿足ac＝2，bc＝5，則向量c＝________. (1)C　(2)　[(1)依題意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)c＝(－5,6)(3,2)＝－53＋62＝－3. (2)設c＝(x，y)，因為ac＝2，bc＝5， 所以解得所以c＝.] 向量模的坐標表示 　(1)設平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|2a－b|等于 (　　) A．4 B．5 C．3 D．4 (2)若向量a的始點為A(－2,4)，終點為B(2,1)，求： ①向量a的模； ②與a平行的單位向量的坐標； ③與a垂直的單位向量的坐標. 【導學號：84352253】 [思路探究]　綜合應用向量共線、垂直的坐標表示和向量模的坐標表示求解． (1)D　[(1)由y＋4＝0知 y＝－4，b＝(－2，－4)， ∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4.故選D. (2)①∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a|＝＝5. ②與a平行的單位向量是＝(4，－3)， 即坐標為或. ③設與a垂直的單位向量為e＝(m，n)，則ae＝4m－3n＝0，∴＝. 又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1. 解得或 ∴e＝或e＝.] [規(guī)律方法]　求向量的模的兩種基本策略 (1)字母表示下的運算： 利用|a|2＝a2，將向量模的運算轉化為向量與向量的數(shù)量積的問題. (2)坐標表示下的運算： 若a＝(x，y)，則aa＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. [跟蹤訓練] 2．若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，則|a－b|的最小值為________． 　[由已知得a－b＝(3x－2,4－3x)， 所以|a－b|＝ ＝＝， 當x＝1時，|a－b|取最小值為.] 向量的夾角與垂直問題 [探究問題] 1．設a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，那么cos θ如何用坐標表示？ 提示：cos θ＝＝. 2．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實數(shù)x等于？ 提示：由已知得a－b＝(1－x,4)． ∵a⊥(a－b)，∴a(a－b)＝0. ∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9. 　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a與b的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－2，＋∞) B．∪ C．(－∞，－2) D．(－2,2) (2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求||與點D的坐標. 【導學號：84352254】 [思路探究]　(1)可利用a，b的夾角為銳角?求解． (2)設出點D的坐標，利用與共線，⊥列方程組求解點D的坐標． (1)B　[(1)當a與b共線時，2k－1＝0，k＝，此時a，b方向相同，夾角為0，所以要使a與b的夾角為銳角，則有ab>0且a，b不同向．由ab＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即實數(shù)k的取值范圍是∪，選B. (2)設點D的坐標為(x，y)，則＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)． ∵D在直線BC上，即與共線， ∴存在實數(shù)λ，使＝λ， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)， ∴ ∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.① 又∵AD⊥BC，∴＝0， 即(x－2，y＋1)(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，② 即2x＋y－3＝0. 由①②可得 即D點坐標為(1,1)，＝(－1,2)， ∴||＝＝， 綜上，||＝，D(1,1)．] 母題探究：1.將例3(1)中的條件“a＝(2,1)”改為“a＝(－2,1)”“銳角”改為“鈍角”，求實數(shù)k的取值范圍． [解]　當a與b共線時，－2k－1＝0，k＝－， 此時a與b方向相反，夾角為180， 所以要使a與b的夾角為鈍角，則有ab＜0 且a與b不反向． 由ab＝－2＋k＜0得k＜2. 由a與b不反向得k≠－， 所以k的取值范圍是∪. 2．將例3(1)中的條件“銳角”改為“”，求k的值． [解]　cos＝＝， 即＝，整理得3k2－8k－3＝0， 解得k＝－或3. [規(guī)律方法]　1.利用數(shù)量積的坐標表示求兩向量夾角的步驟： (1)求向量的數(shù)量積．利用向量數(shù)量積的坐標表示求出這兩個向量的數(shù)量積． (2)求模．利用|a|＝計算兩向量的模． (3)求夾角余弦值．由公式cos θ＝求夾角余弦值． (4)求角．由向量夾角的范圍及cos θ求θ的值． 2．涉及非零向量a，b垂直問題時，一般借助a⊥b?ab＝x1x2＋y1y2＝0來解決． [當 堂 達 標固 雙 基] 1．設向量a＝(1,0)，b＝，則下列結論中正確的是(　　) 【導學號：84352255】 A．|a|＝|b|　　　　 B．ab＝ C．a∥b D．a－b與b垂直 D　[A項，|a|＝1，|b|＝，故|a|≠|b|；B項，ab＝1＋0＝；C項，1≠0；D項，a－b＝，(a－b)b＝－＝0，故選D.] 2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為(　　) A． B． C． D． B　[ab＝31＋(－1)(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝， 設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.] 3．設a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，則實數(shù)m＝________. 【導學號：84352256】 －3　[a＋mb＝(2＋m,4＋m)， ∵b⊥(a＋mb)， ∴(2＋m)1＋(4＋m)1＝0， 得m＝－3.] 4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(ab)b，則|c|＝________. 8　[易得ab＝2(－1)＋42＝6， 所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)， 所以|c|＝＝8.] 5．平面直角坐標系xOy中，O是原點(如圖245)．已知點A(16,12)，B(－5,15)． 圖245 (1)求||，||； (2)求∠OAB. 【導學號：84352257】 [解]　(1)由＝(16,12)， ＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)， 得||＝＝20， ||＝＝15. (2)cos∠OAB＝cos〈，〉 ＝. 其中＝－ ＝－(16,12)(－21,3) ＝－[16(－21)＋123]＝300， 故cos∠OAB＝＝， ∴∠OAB＝45.