《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》第五版配套PPT課件2Routh判據(jù).ppt

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5 1 2關(guān)于穩(wěn)定性的一些提法 1 李亞普諾夫 意義下的穩(wěn)定性由上分析可知 對(duì)于定常性系統(tǒng)而言 系統(tǒng)由一定初態(tài)此起的響應(yīng)隨著時(shí)間的推移只有三種 衰減到零 發(fā)散到無(wú)窮大 趨于等幅諧波振蕩 從而定義了系統(tǒng)是穩(wěn)定的 不穩(wěn)的 臨界穩(wěn)定的 但對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)而言 這種響應(yīng)隨著時(shí)間的推移不僅可能有上述三種情況 而且還可能趨于某一非零的常值或作非諧波的振蕩 同時(shí)還可能由初態(tài)不同 這種響應(yīng)隨著時(shí)間推移的結(jié)果也不同 俄國(guó)學(xué)者A M 在統(tǒng)一考慮了線(xiàn)性與非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題后 于1882年對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性提出了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義 這一定義可以表述如下 如圖5 1 4所示 若o為系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn) 擾動(dòng)使系統(tǒng)偏離此工作點(diǎn)心起始偏差 即初態(tài) 不超過(guò)域 由擾動(dòng)引起的輸出 這種初態(tài)引起的零輸入響應(yīng) 及其終態(tài)不超過(guò)預(yù)先給定的某值 即不超出域 則系統(tǒng)稱(chēng)為穩(wěn)定的 或稱(chēng)為 意義下穩(wěn)定 這也就是說(shuō) 若要求系統(tǒng)的輸出不能超出任意給定的正數(shù) 能在初態(tài)為式中則系統(tǒng)稱(chēng)為在 意義下穩(wěn)定 反之 若要求系統(tǒng)的輸出不能超出任意給定的正數(shù) 但卻不能找到不為零的正數(shù)來(lái)滿(mǎn)足式 5 1 6 則系統(tǒng)稱(chēng)為在 意義下不穩(wěn)定 5 1 6 2 漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性就是前面對(duì)線(xiàn)性系統(tǒng)定義的穩(wěn)定性 它要求由初態(tài)引起的響應(yīng)最終衰減到零 一般所講的線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 也就是漸近穩(wěn)定性 當(dāng)然 也是 意義下的穩(wěn)定性 但對(duì)非線(xiàn)系統(tǒng)而言 這兩種穩(wěn)定性是不同的 比較漸近穩(wěn)定性與 意義下的穩(wěn)定性可知 前者比后者對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的要求高 系統(tǒng)若是漸近穩(wěn)定的則一定是 意義下穩(wěn)定的 反之則不盡然 3 小偏差 穩(wěn)定性 小偏差 穩(wěn)定性又稱(chēng) 小穩(wěn)定 或 局部穩(wěn)定性 由于實(shí)際系統(tǒng)往往存在非線(xiàn)性 因此系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程往往是建立在 小偏差 線(xiàn)性化的基礎(chǔ)之上的 在偏差較大時(shí) 線(xiàn)性化帶來(lái)的誤差太大 因此 用線(xiàn)性化方程來(lái)研究的穩(wěn)定性時(shí) 就只限于討論初始偏差 初態(tài) 不超出某一微小范圍時(shí)的穩(wěn)定性 稱(chēng)之為 小偏差 穩(wěn)定性 初始偏差大時(shí) 就不能用來(lái)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性 穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 設(shè)一線(xiàn)性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài) 若它瞬間受到某一擾動(dòng)作用而偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài) 當(dāng)此擾動(dòng)撤消后 系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài) 則稱(chēng)該系統(tǒng)是穩(wěn)定的 反之 系統(tǒng)為不穩(wěn)定 線(xiàn)形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征 結(jié)構(gòu) 參數(shù) 與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān) 閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面 系統(tǒng)穩(wěn)定 充要條件 5 2勞斯穩(wěn)定判據(jù) Routh sstabilitycriterion 5 2 1勞斯表 線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定 閉環(huán)特征方程式的根必須都位于S的左半平面 充要條件 穩(wěn)定判據(jù) 令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 如果方程式的根都是負(fù)實(shí)部 或?qū)嵅繛樨?fù)的復(fù)數(shù)根 則其特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均為正值 且無(wú)零系數(shù) 證明 設(shè) 為實(shí)數(shù)根 為復(fù)數(shù)根 不會(huì)有系數(shù)為零的項(xiàng) 線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定 必要條件 將各項(xiàng)系數(shù) 按下面的格式排成老斯表 這樣可求得n 1行系數(shù) 如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值 則其特征方程式的根都在S的左半平面 相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的 如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化 其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個(gè)數(shù) 相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為 例5 1 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 列勞斯表 結(jié)論 1 該表第一列系數(shù)符號(hào)不全為正 因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 2 且符號(hào)變化了兩次 所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面 已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為 例5 2 求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍 解 列勞斯表 由勞斯判據(jù)可知 若系統(tǒng)穩(wěn)定 則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值 可得 5 2 2勞斯判據(jù)特殊情況 勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零 而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒(méi)有其余項(xiàng) 若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化 其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目 相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定 如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同 則表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在 相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定 是以一個(gè)很小的正數(shù) 來(lái)代替為零的這項(xiàng) 1 解決的辦法 據(jù)此算出其余的各項(xiàng) 完成勞斯表的排列 請(qǐng)看例題 已知系統(tǒng)的特征方程式為 試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 例5 3 由于表中第一列 上面的符號(hào)與其下面系數(shù)的符號(hào)相同 表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在 相應(yīng)的系統(tǒng)為 臨界 不穩(wěn)定 解 列勞斯表 勞斯表中出現(xiàn)全零行 用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式 并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替表中系數(shù)為全零的行 完成勞斯表的排列 2 解決的辦法 這些大小相等 徑向位置相反的根可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程式得到 而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的 相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根 相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定 請(qǐng)看例題 例如 一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為 列勞斯表 顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界 不 穩(wěn)定狀態(tài) 5 2 3勞斯判據(jù)的應(yīng)用 實(shí)際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離 為變量的特征方程式 然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線(xiàn) 此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠(yuǎn) 從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的 程度 代入原方程式中 得到以 穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況 而不能確定根的具體數(shù)據(jù) 1 2 解決的辦法 設(shè) 右側(cè) 請(qǐng)看例題 5 2 3勞斯判據(jù)的應(yīng)用 用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程 是否有根在S的右半平面上 并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂線(xiàn) 的右方 例5 4 解 列勞斯表 第一列全為正 所有的根均位于左半平面 系統(tǒng)穩(wěn)定 令 代入特征方程 式中有負(fù)號(hào) 顯然有根在 的右方 列勞斯表 第一列的系數(shù)符號(hào)變化了一次 表示原方程有一個(gè)根在垂直直線(xiàn) 的右方 請(qǐng)看例題 已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3 21所示 試回答 例5 5 時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定 圖3 21單位反饋控制系統(tǒng)方塊圖 時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么 特征方程為 排勞斯表 第一列均為正值 S全部位于左半平面 故 時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)的 解 系統(tǒng)穩(wěn)定 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)特征方程為 列勞斯表 未完待續(xù) 利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一個(gè)或兩個(gè)可調(diào)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值 例題 P1855 5系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖如圖所示 試確定K和取何值時(shí) 系統(tǒng)將維持以角頻率的持續(xù)振蕩 解法 由題意知系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài) 這說(shuō)明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的 又振蕩頻率為2rad s 即閉環(huán)系統(tǒng)必具有共軛虛根 j2 上述情況在與Routh計(jì)算表中出現(xiàn)S1行各元素均為零的現(xiàn)象對(duì)應(yīng) 因?yàn)橹挥羞@樣才可能由S2行元素構(gòu)成的輔助方程式解出一對(duì)共軛虛根 令此共軛虛根等于 j2便可確定參數(shù)K和a的值 勞斯表 依據(jù) 等幅振蕩狀態(tài) 臨界穩(wěn)定 有純虛根 1 P157最后一段話(huà) 2 P164第2點(diǎn) 3 P1655 2節(jié)最后一句話(huà) 另解 將 jW代入閉環(huán)特征方程式 得到關(guān)于實(shí)部和虛部的兩個(gè)方程 可求解出未知參數(shù) 簡(jiǎn)便 補(bǔ)充題 某系統(tǒng)閉環(huán)特征方程如下 試判斷系統(tǒng)不在左半平面的極點(diǎn)數(shù) 勞斯表