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單元質量測試(二)
= 時間：120分鐘 滿分：150分
第Ⅰ卷 (選擇題，共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1．(2018廣東汕頭一模)函數f(x)＝＋lg (1＋x)的定義域為( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案 C
解析 由題意知1＋x>0且x≠1．故選C．
2．(2018河北保定一模)若f(x)是定義在R上的函數，則“f(0)＝0”是“函數f(x)為奇函數”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 f(x)是定義在R上的奇函數可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函數f(x)為奇函數，例如f(x)＝x2．故選B．
3．若f(x)是冪函數，且滿足＝3，則f＝( )
A．3 B．－3 C． D．－
答案 C
解析 設f(x)＝xn，則＝＝2n＝3，
∴f＝n＝＝，故選C．
4．(2018大連測試)下列函數中，與函數y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上單調性也相同的是( )
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
答案 C
解析 函數y＝－3|x|為偶函數，在(－∞，0)上為增函數，選項B的函數是偶函數，但其單調性不符合，只有選項C符合要求．
5．已知f(x)為偶函數且f(x)dx＝8，則－6f(x)dx等于( )
A．0 B．4 C．8 D．16
答案 D
解析 因為f(x)為偶函數，圖象關于y軸對稱，所以－6f(x)dx＝2f(x)dx＝82＝16．
6．(2018山東濟寧一中月考)某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式是y＝3000＋20x－0．1x2(0
f′(3)，而f(3)－f(2)＝，表示連接點(2，f(2))與點(3，f(3))割線的斜率，根據導數的幾何意義，一定可以在(2，3)之間找到一點，該點處的切線與割線平行，則割線的斜率就是該點處的切線的斜率，即該點處的導數，則必有0f(a)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a)
C．f(a)>f(b)>f(c) D．f(a)>f(c)>f(b)
答案 A
解析 ∵f(x)是R上的奇函數，滿足f(x＋2e)＝－f(x)，∴f(x＋2e)＝f(－x)，∴函數f(x)的圖象關于直線x＝e對稱，∵f(x)在區(qū)間[e，2e]上為減函數，∴f(x)在區(qū)間[0，e]上為增函數，又易知02，即a>4時，f(x)在(2，＋∞)上的最大值為f，所以f(x)的最大值為maxf(2)，f，故最大值一定存在；當≤2時，f(x)在(2，＋∞)上單調遞減，若f(x)有最大值，則即a≤3，綜上可得實數a的取值范圍是(－∞，3]∪(4，＋∞)．
16．(2018江西七校二模)設x，y∈R，定義x?y＝x(a－y)(a∈R，且a為常數)，若f(x)＝ex，g(x)＝e－x＋2x2，F(x)＝f(x)?g(x)．
①g(x)不存在極值；
②若f(x)的反函數為h(x)，且函數y＝kx與函數y＝|h(x)|有兩個交點，則k＝；
③若F(x)在R上是減函數，則實數a的取值范圍是(－∞，－2]；
④若a＝－3，在F(x)的曲線上存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直．
其中真命題的序號有________(把所有真命題的序號都寫上)．
答案?、冖?
解析 由題意可得F(x)＝f(x)?g(x)＝ex(a－e－x－2x2)，則F′(x)＝－ex(2x2＋4x－a)．g′(x)＝－e－x＋4x，當g′(x)＝0，即4x＝x時，由函數y＝4x，y＝x的圖象可知g′(x)＝0有一解x0，且xx0時，g′(x)>0，則g(x)存在極小值g(x0)，①錯誤；函數f(x)＝ex的反函數為h(x)＝ln x，若函數y＝kx與y＝|ln x|有兩個交點，則y＝kx與y＝ln x(x>1)相切，設切點(x0，ln x0)，則＝，解得x0＝e，即切線斜率k＝，②正確；若F(x)在R上是減函數，則F′(x)＝－ex(2x2＋4x－a)≤0在R上恒成立，即2x2＋4x－a≥0在R上恒成立，則Δ＝16＋8a≤0，a≤－2，③正確；當a＝－3時，F′(x)＝－ex(2x2＋4x＋3)＝－ex[2(x＋1)2＋1]<0，即F(x)的曲線上任意點的切線斜率都是負數，所以不存在兩點的切線斜率乘積為－1，④錯誤．綜上所述，真命題序號是②③．
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)函數f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)判斷函數f(x)在(0，＋∞)上的單調性；
(2)若函數f(x)在上的值域是，求a，m的值．
解 (1)設x1>x2>0，則x1－x2>0，x1x2>0，
∵f(x1)－f(x2)＝－＝－＝>0，∴f(x1)>f(x2)．
∴函數f(x)是(0，＋∞)上的單調遞增函數．
(2)由(1)得f(x)在上是單調遞增函數，∵函數f(x)在上的值域是，∴f＝，f(2)＝m，即－2＝，且－＝m，
解得a＝，m＝2．
18．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ax2－4x＋3．
(1)若a＝－1，求f(x)的單調區(qū)間；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解 (1)當a＝－1時，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上單調遞增，在(－2，＋∞)上單調遞減，而y＝t在R上單調遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調遞減，在(－2，＋∞)上單調遞增，即函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－2，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，則f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)應有最小值－1，
因此＝－1，解得a＝1．
(3)由指數函數的性質知，要使函數f(x)的值域是(0，＋∞)，則需函數h(x)＝ax2－4x＋3的值域為R，因為二次函數的值域不可能為R，所以a＝0．
19．(2018河北邢臺一中月考)(本小題滿分12分)已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，且f(x)的圖象關于x＝1對稱，當x∈[0，1]時，f(x)＝2x－1．
(1)當x∈[1，2]時，求f(x)的解析式；
(2)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)的值．
解 (1)當x∈[1，2]時，2－x∈[0，1]，
又f(x)的圖象關于x＝1對稱，
則f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1，2]．
(2)已知函數f(x)為奇函數，則f(－x)＝－f(x)，
又函數f(x)的圖象關于x＝1對稱，
則f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，
所以f(x)是以4為周期的周期函數．
因為f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
又f(x)是以4為周期的周期函數．
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝504(0＋1＋0－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝1．
20．(2018山東臨沂一中月考)(本小題滿分12分)據某氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(單位：km/h)與時間t(單位：h)的函數圖象如圖所示．過線段OC上一點T(t，0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即時間t內沙塵暴所經過的路程s(單位：km)．
(1)當t＝4時，求s的值；
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數學關系式表示出來；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．
解 (1)由題中給出的函數圖象可知，當t＝4時，v＝34＝12(km/h)，
∴s＝412＝24(km)．
(2)當0≤t≤10時，s＝t3t＝t2；
當102．
解 (1)∵f(x)＝ex－x2－ax，∴f′(x)＝ex－x－a．
設g(x)＝ex－x－a，則g′(x)＝ex－1．
令g′(x)＝ex－1＝0，解得x＝0．
∴當x∈(－∞，0)時，g′(x)<0，函數g(x)單調遞減；
當x∈(0，＋∞)時，g′(x)>0，函數g(x)單調遞增．
∴g(x)min＝g(0)＝1－a．
當a≤1時，f′(x)＝g(x)≥0，函數f(x)單調遞增，無極值點；
當a>1時，g(0)＝1－a<0，且當x→＋∞時，g(x)→＋∞；
當x→－∞時，g(x)→＋∞．
∴當a>1時，f′(x)＝g(x)＝ex－x－a有兩個零點x1，x2．
不妨設x10)，
則h′(x)＝－－ex＋2<0，
∴h(x)在(0，＋∞)上單調遞減，
∴h(x)f(－x2)，
∴要證f(x1)＋f(x2)>2，
只需證f(－x2)＋f(x2)>2，
即證ex2＋e－x2－x－2>0．
設函數k(x)＝ex＋e－x－x2－2(x>0)，
則k′(x)＝ex－e－x－2x．
設φ(x)＝k′(x)＝ex－e－x－2x，
φ′(x)＝ex＋e－x－2>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
∴φ(x)>φ(0)＝0，即k′(x)>0，
∴k(x)在(0，＋∞)上單調遞增，k(x)>k(0)＝0，
∴當x∈(0，＋∞)時，ex＋e－x－x2－2>0，
則ex2＋e－x2－x－2>0，
∴f(－x2)＋f(x2)>2，∴f(x1)＋f(x2)>2．
22．(2018太原五中模擬)(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝aex，g(x)＝ln (ax)＋，a>0．
(1)若y＝f(x)的圖象在x＝1處的切線過點(3，3)，求a的值并討論h(x)＝xf(x)＋m(x2＋2x－1)(m∈R)在(0，＋∞)上的單調遞增區(qū)間；
(2)定義：若直線l：y＝kx＋b與曲線C1：f1(x，y)＝0，C2：f2(x，y)＝0都相切，則我們稱直線l為曲線C1，C2的公切線．若曲線y＝f(x)與y＝g(x)存在公切線，試求實數a的取值范圍．
解 (1)由f(x)＝aex，得f′(x)＝aex．
又f(1)＝ae，
故f(x)在x＝1處的切線方程為y－ae＝ae(x－1)．
將點(3，3)代入切線方程，得a＝．
所以f(x)＝ex－1．
從而h(x)＝xex－1＋m(x2＋2x－1)(m∈R)，
h′(x)＝(x＋1)(ex－1＋2m)．
①當m≥0時，h′(x)>0在x∈(0，＋∞)上恒成立，故h(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)；
②當1＋ln (－2m)≤0，即－≤m<0時，h′(x)≥0，x∈(0，＋∞)，故h(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)；
③當1＋ln (－2m)>0，即m<－時，
由h′(x)>0得x>1＋ln (－2m)，
故h(x)的單調遞增區(qū)間為(1＋ln (－2m)，＋∞)．
綜上，當m≥－時，h(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)；
當m<－時，h(x)的單調遞增區(qū)間為(1＋ln (－2m)，＋∞)．
(2)設f(x)＝aex的切點橫坐標為x＝x1，f′(x)＝aex，則f(x)在x＝x1處的切線方程為
y－aex1＝aex1(x－x1)．①
設g(x)＝ln (ax)＋的切點橫坐標為x＝x2，g′(x)＝，
則g(x)在x＝x2處的切線方程為
y－ln (ax2)－＝(x－x2)．②
聯(lián)立①②，得
消去x2得a＝(x1≠1)．
考慮函數φ(x)＝，
φ′(x)＝－．
令φ′(x)＝0，得x＝或2．
當x<或x>2時，φ′(x)<0，函數y＝φ(x)在－∞，，(2，＋∞)上單調遞減；當0，函數y＝φ(x)在，1，(1，2)上單調遞增．
而φ＝，φ(2)＝，
故當a∈0，∪，＋∞時，方程a＝有解，
從而，若函數f(x)＝aex與g(x)＝ln (ax)＋存在公切線，則a的取值范圍為0，∪，＋∞．
2020高考數學刷題首選卷 單元質量測試（二）函數、導數及其應用 理（含解析）.docx
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