2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.4 等比數(shù)列 第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版必修5.doc

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第2課時　等比數(shù)列的性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標：1.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用(重點).2.熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用(難點、易錯點).3.能用遞推公式求通項公式(難點)． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．推廣的等比數(shù)列的通項公式 {an}是等比數(shù)列，首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1，an＝amqn－m(m，n∈N*)． 2．“子數(shù)列”性質(zhì) 對于無窮等比數(shù)列{an}，若將其前k項去掉，剩余各項仍為等比數(shù)列，首項為ak＋1，公比為q；若取出所有的k的倍數(shù)項，組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，首項為ak，公比為qk. 思考：如何推導(dǎo)an＝amqn－m? [提示]　由＝＝qn－m， ∴an＝amqn－m. 3．等比數(shù)列項的運算性質(zhì) 在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則aman＝apaq. ①特別地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時，aman＝a. ②對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1＝…. 4．兩等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì) 若數(shù)列{an}，{bn}均為等比數(shù)列，c為不等于0的常數(shù)，則數(shù)列{can}，{a}{anbn}，也為等比數(shù)列. 思考：等比數(shù)列{an}的前4項為1,2,4,8，下列判斷正確的是 (1){3an}是等比數(shù)列； (2){3＋an}是等比數(shù)列； (3)是等比數(shù)列； (4){a2n}是等比數(shù)列． [提示]由定義可判斷出(1)，(3)，(4)正確． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積．(　　) (2)當q>1時，{an}為遞增數(shù)列．(　　) (3)當q＝1時，{an}為常數(shù)列．(　　) [答案]　(1)　√　(2)　(3)√　 提示：(2)當a1>0且q>1時{an}為遞增數(shù)列，故(2)錯． 2．等比數(shù)列{an}中，a1＝3，q＝2，則a4＝________，an＝________. 24　32n－1　[a4＝a1q3＝323＝24，an＝a1qn－1＝32n－1.] 3．在等比數(shù)列{an}中，a5＝4，a7＝6，則a9＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：91432203】 9　[因為a7＝a5q2， 所以q2＝. 所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4＝9.] 4．在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11的值為________． 25　[因為a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.] [合 作 探 究攻 重 難] 靈活設(shè)項求解等比數(shù)列 　已知4個數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為1，第2項與第3項之和為－，則此4個數(shù)為________． 8，－2，，－或－，，－2,8　[設(shè)此4個數(shù)為a，aq，aq2，aq3. 則a4q6＝1，aq(1＋q)＝－，① 所以a2q3＝1，當a2q3＝1時，q>0，代入①式化簡可得q2－q＋1＝0，此方程無解； 當a2q3＝－1時，q<0，代入①式化簡可得q2＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－. 當q＝－4時，a＝－； 當q＝－時，a＝8. 所以這4個數(shù)為8，－2，，－或－，，－2,8.] [規(guī)律方法]　巧設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的方法： (1)若三數(shù)成等差數(shù)列，常設(shè)成a－d，a，a＋d.若三數(shù)成等比數(shù)列，常設(shè)成，a，aq或a，aq，aq2. (2)若四個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為，a，aq，aq2.若四個正數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為，，aq，aq3. [跟蹤訓(xùn)練] 1．有四個實數(shù)，前三個數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的積是－8，后三個數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積為－80，求出這四個數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：91432204】 [解]　由題意設(shè)此四個數(shù)為，b，bq，a， 則有 解得或 所以這四個數(shù)為1，－2,4,10或－，－2，－5，－8. 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　已知{an}為等比數(shù)列， (1)等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 思路探究：利用等比數(shù)列的性質(zhì)，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq求解． [解]　(1)等比數(shù)列{an}中，因為a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. (2)由等比中項，化簡條件得 a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5＝5. (3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. [規(guī)律方法]　 有關(guān)等比數(shù)列的計算問題，基本方法是運用方程思想列出基本量a1和q的方程組，先解出a1和q，然后利用通項公式求解.但有時運算稍繁，而利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，卻簡便快捷，為了發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，要充分發(fā)揮項的“下標”的指導(dǎo)作用. [跟蹤訓(xùn)練] 2．(1)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a3＝3，a11＝27，求a7. (2)已知{an}為等比數(shù)列，a2a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q. 【導(dǎo)學(xué)號：91432205】 [解]　(1)法一：相除得q8＝9. 所以q4＝3，所以a7＝a3q4＝9. 法二：因為a＝a3a11＝81，所以a7＝9， 又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9. (2)因為a2a8＝36＝a3a7，而a3＋a7＝15， 所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3. 所以q4＝＝4或，所以q＝或q＝. 由遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項 [探究問題] 1．如果數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，(n∈N*)，你能判斷出{an}是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列嗎？ 提示：由等差數(shù)列與等比數(shù)列的遞推關(guān)系，可知數(shù)列{an}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列． 2．在探究1中，若將an＋1＝2an＋1兩邊都加1，再觀察等式的特點，你能構(gòu)造出一個等比數(shù)列嗎？ 提示：在an＋1＝2an＋1兩邊都加1得 an＋1＋1＝2(an＋1)，顯然數(shù)列{an＋1}是以a1＋1＝2為首項，以q＝2為公比的等比數(shù)列． 3．在探究1中，若將an＋1＝2an＋1改為an＋1＝3an＋5，又應(yīng)如何構(gòu)造出一個等比數(shù)列？你能求出an嗎？ 提示：設(shè)將an＋1＝3an＋5變形為an＋1＋x＝3(an＋x)．將該式整理為an＋1＝3an＋2x與an＋1＝3an＋5對比可知2x＝5，即x＝；所以在an＋1＝3an＋5兩邊都加，可構(gòu)造出等比數(shù)列.利用等比數(shù)列求出an＋即可求出an. 　已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值． (2)若bn＝an－1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． 思路探究：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的關(guān)系得{an}的遞推關(guān)系，然后構(gòu)造出數(shù)列{an－1}利用定義證明． [解]　(1)因為Sn＝2an＋n－4， 所以當n＝1時，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3. (2)證明：因為Sn＝2an＋n－4， 所以當n≥2時， Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4， Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1， 所以an－1＝2(an－1－1)， 又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1， 且b1＝a1－1＝2≠0， 所以數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列． 母題探究：1.將本例條件“Sn＝2an＋n－4”改為“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改為“bn＝an＋1－2an”，試證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求{bn}的通項公式． [證明]　an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an. ＝ ＝＝＝2. 所以數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列， 首項為a2－2a1. 因為S2＝a1＋a2＝4a1＋2， 所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3. 所以bn＝32n－1. 2．將本例條件“Sn＝2an＋n－4”改為“a1＝1，a＝2a＋anan＋1”，試證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式． [解]　由已知得a－anan＋1－2a＝0，所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0. 所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0， (1)當an＋1－2an＝0時，＝2.又a1＝1， 所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．所以an＝2n－1. (2)當an＋1＋an＝0時，＝－1，又a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為－1的等比數(shù)列， 所以an＝1(－1)n－1＝(－1)n－1. 綜上：an＝2n－1或(－1)n－1. [規(guī)律方法]　 1．已知數(shù)列的前n項和，或前n項和與通項的關(guān)系求通項，常用an與Sn的關(guān)系求解． 2．由遞推關(guān)系an＋1＝Aan＋B(A，B為常數(shù)，且A≠0，A≠1)求an時，由待定系數(shù)法設(shè)an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，這樣就構(gòu)造了等比數(shù)列{an＋λ}． [當 堂 達 標固 雙 基] 1．在等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a7＝，則a3a6＋a4a5的值是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C.　　　　D. C　[a3a6＝a4a5＝a2a7＝4＝， ∴a3a6＋a4a5＝.] 2．在正項等比數(shù)列{an}中，3a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432206】 A．3或－1 B．9或1 C．1 D．9 D　[由3a1，a3,2a2成等差數(shù)列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q， ∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0. 解得q＝3或q＝－1(舍)． ∴＝＝＝q2＝9.] 3．已知數(shù)列：4，a,12，b中，前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，則b等于(　　) A．20 B．18 C．16 D．14 B　[由題意可得2a＝4＋12＝16?a＝8，又122＝8b?b＝18.] 4．在和8之間插入3個數(shù)，使它們與這兩個數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列，則這3個數(shù)的積為________． 8　[設(shè)插入的3個數(shù)依次為a，b，c，即，a，b，c,8成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得b2＝ac＝8＝4，因為a2＝b>0，∴b＝2(舍負)．所以這3個數(shù)的積為abc＝42＝8.] 5．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列， (1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q. 【導(dǎo)學(xué)號：91432207】 [解]　(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36. 又∵a1＋a3＝21－a2＝15， ∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的兩根3和12. 當a1＝3時，q＝＝2，an＝32n－1； 當a1＝12時，q＝，an＝12n－1. (2)∵a4a8＝a3qa5q3＝a3a5q4＝18q4＝72， ∴q4＝4，∴q＝.