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第2課時 一元二次不等式的應用
學習目標：1.掌握一元二次不等式的實際應用(重點).2.理解三個“二次”之間的關系.3.會解一元二次不等式中的恒成立問題(難點)．
[自 主 預 習探 新 知]
1．分式不等式的解法
主導思想：化分式不等式為整式不等式
類型
同解不等式
>0(<0)
法一：
或
法二：
f(x)g(x)>0(<0)
≥0(≤0)
法一：
或
法二：
>a
先移項轉化為上述兩種形式
思考：>0與(x－3)(x＋2)>0等價嗎？將>0變形為(x－3)(x＋2)>0，有什么好處？
[提示] 等價；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式．
2．(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
(2)有關不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法
f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a
f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a
思考：x－1>0在區(qū)間[2,3]上恒成立的幾何意義是什么？區(qū)間[2,3]與不等式x－1>0的解集有什么關系？
[提示] x－1>0在區(qū)間[2,3]上恒成立的幾何意義是函數(shù)y＝x－1在區(qū)間[2,3]上的圖象恒在x軸上方．區(qū)間[2,3]內的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故區(qū)間[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．
3．從實際問題中抽象出一元二次不等式模型的步驟：
(1)閱讀理解，認真審題，分析題目中有哪些已知量和未知量，找準不等關系．
(2)設出起關鍵作用的未知量，用不等式表示不等關系(或表示成函數(shù)關系)．
(3)解不等式(或求函數(shù)最值)．
(4)回扣實際問題．
思考：解一元二次不等式應用題的關鍵是什么？
[提示] 解一元二次不等式應用題的關鍵在于構造一元二次不等式模型，選擇其中起關鍵作用的未知量為x，用x來表示其他未知量，根據(jù)題意，列出不等關系再求解．
[基礎自測]
1．思考辨析
(1)不等式>1的解集為x<1.( )
(2)求解m>f(x)恒成立時，可轉化為求解f(x)的最小值，從而求出m的范圍．( )
[答案] (1) (2)
提示：(1)>1?－1>0?<0?{x|0
f(x)恒成立轉化為m>f(x)max，(2)錯．
2．不等式≥5的解集是________．
[原不等式?≥?≤0?解得00在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.
【導學號：91432292】
(0,8) [因為x2－ax＋2a>0在R上恒成立，
所以Δ＝a2－42a<0，所以00，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，將y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.]
[合 作 探 究攻 重 難]
分式不等式的解法
解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1.
【導學號：91432293】
[解] (1)<0?(x－3)(x＋2)<0?－23.
即知原不等式的解集為{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可改寫為－3<0，即<0.
可將這個不等式轉化成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－10恒成立，如何求實數(shù)a的取值范圍？
提示：若a＝0，顯然f(x)>0不能對一切x∈R都成立．所以a≠0，此時只有二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋2的圖象與直角坐標系中的x軸無交點且拋物線開口向上時，才滿足題意，則解得a>.
2．若函數(shù)f(x)＝x2－ax－3對x∈[－3，－1]上恒有f(x)<0成立，如何求a的范圍？
提示：要使f(x)<0在[－3，－1]上恒成立，則必使函數(shù)f(x)＝x2－ax－3在[－3，－1]上的圖象在x軸的下方，由f(x)的圖象可知，此時a應滿足
即
解得a<－2.
故當a∈(－∞，－2)時，有f(x)<0在x∈[－3，－1]時恒成立．
3．若函數(shù)y＝x2＋2(a－2)x＋4對任意a∈[－3,1]時，y<0恒成立，如何求x的取值范圍？
提示：由于本題中已知a的取值范圍求x，所以我們可以把函數(shù)f(x)轉化為關于自變量是a的函數(shù)，求參數(shù)x的取值問題，則令g(a)＝2xa＋x2－4x＋4.
要使對任意a∈[－3,1]，y<0恒成立，只需滿足即
因為x2－2x＋4<0的解集是空集，
所以不存在實數(shù)x，使函數(shù)y＝x2＋2(a－2)x＋4對任意a∈[－3,1]，y<0恒成立．
已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.
【導學號：91432295】
思路探究：對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于零的問題，可以利用函數(shù)的圖象與性質求解．
[解] 設函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3－a在x∈[－2,2]時的最小值為g(a)，則
(1)當對稱軸x＝－<－2，即a>4時，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，與a>4矛盾，不符合題意．
(2)當－∈[－2,2]，即－4≤a≤4時，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此時－4≤a≤2.
(3)當－>2，即a<－4時，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，此時－7≤a<－4.
綜上，a的取值范圍為－7≤a≤2.
母題探究：1.(變結論)本例條件不變，若f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍．
[解] 若x∈[－2,2]，f(x)≥2恒成立可轉化為：當x∈[－2,2]時，f(x)min≥2
?
或
或
解得a的取值范圍為[－5，－2＋2]．
2．(變條件)將例題中的條件“f(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立”變?yōu)椤安坏仁絰2＋2x＋a2－3>0的解集為R”求a的取值范圍．
[解] 法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集為R，
∴函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a2－3的圖象應在x軸上方，
∴Δ＝4－4(a2－3)<0，
解得a>2或a<－2.
法二：令f(x)＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集為R，則a滿足f(x)min＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，
即a2>－(x＋1)2＋4，要使該不等式在R上恒成立，必須使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2.
[規(guī)律方法]
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0
時，b＝0，c>0；
當a≠0時，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0
時，b＝0，c<0；
當a≠0時，
3．f(x)≤a恒成立?a≥[f(x)]max，f(x)≥a恒成立?a≤[f(x)]min.
[當 堂 達 標固 雙 基]
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，則A∩B等于( )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|00時，相應二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|00的解集為________．
{x|－4－1} [原式可轉化為(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)>0，
根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為－4－1.]
4．設x2－2x＋a－8≤0對于任意x∈(1,3)恒成立，則a的取值范圍是________.
【導學號：91432297】
(－∞，5] [原不等式x2－2x＋a－8≤0轉化為a≤－x2＋2x＋8對任意x∈(1,3)恒成立，設f(x)＝－x2＋2x＋8，易知f(x)在[1,3]上的最小值為f(3)＝5.
∴a∈(－∞，5]．]
5．某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞．為了使這批臺燈每天能獲得400元以上的銷售收入，應怎樣制定這批臺燈的銷售價格？
[解] 設每盞臺燈售價x元，則x≥15，并且日銷售收入為x[30－2(x－15)]，由題意知，當x≥15時，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20.
所以為了使這批臺燈每天獲得400元以上的銷售收入，應當制定這批臺燈的銷售價格為x∈[15,20)．
2018年秋高中數(shù)學 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2課時 一元二次不等式的應用學案 新人教A版必修5.doc
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