2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 第1課時(shí) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法學(xué)案 新人教A版必修5.doc
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第1課時(shí) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解數(shù)列的概念(重點(diǎn)).2.掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用(重點(diǎn)).3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．?dāng)?shù)列的概念及一般形式 思考1：(1)數(shù)列的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是否相同？ (2)數(shù)列1,2,3,4,5，數(shù)列5,3,2,4,1與{1,2,3,4,5}有什么區(qū)別？ [提示] (1)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念．?dāng)?shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值，也就是相當(dāng)于f(n)，而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值，相當(dāng)于f(n)中的n.(2)數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,3,2,4,1為兩個(gè)不同的數(shù)列，因?yàn)槎叩脑仨樞虿煌?，而集合{1,2,3,4,5}與這兩個(gè)數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有無(wú)序性． 2．?dāng)?shù)列的分類 類別 含義 按項(xiàng)的 個(gè)數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列 無(wú)窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列 按項(xiàng)的 變化趨 勢(shì) 遞增數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 遞減數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 常數(shù)列 各項(xiàng)相等的數(shù)列 擺動(dòng)數(shù)列 從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 3.數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． 4．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系 從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表： 定義域 正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 數(shù)列的通項(xiàng)公式 值域 自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成 表示方法 (1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法 思考：數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝f(n)與函數(shù)解析式y(tǒng)＝f(x)有什么異同？ [提示] 如圖，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})為定義域的函數(shù)，an＝f(n)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．不同之處是定義域，數(shù)列中的n必須是從1開(kāi)始且連續(xù)的正整數(shù)，函數(shù)的定義域可以是任意非空數(shù)集． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)數(shù)列1,1,1，…是無(wú)窮數(shù)列．( ) (2)數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,2,4,3是同一個(gè)數(shù)列．( ) (3)有些數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式．( ) [答案] (1)√ (2) (3)√ 提示：(1)正確．每項(xiàng)都為1的常數(shù)列，有無(wú)窮多項(xiàng)． (2)錯(cuò)誤．雖然都是由1,2,3,4四個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，但是兩個(gè)數(shù)列中后兩個(gè)數(shù)順序不同，不是同一個(gè)數(shù)列． (3)正確．某些數(shù)列的第n項(xiàng)an和n之間可以建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，這個(gè)數(shù)列就有通項(xiàng)公式，否則，不能建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，這個(gè)數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式． 2．600是數(shù)列12,23,34,45，…的第________項(xiàng)． 24 [an＝n(n＋1)＝600＝2425，所以n＝24.] 3．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝log2(n2＋3)－2，則log23是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432112】 3 [令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.] 4．?dāng)?shù)列1,2, ，，，…中的第26項(xiàng)為_(kāi)_______． 2 [因?yàn)閍1＝1＝，a2＝2＝， a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝， 所以a26＝＝＝2.] [合 作 探 究攻 重 難] 數(shù)列的概念及分類 已知下列數(shù)列： ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1,0，－1，…，sin，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有窮數(shù)列是________，無(wú)窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動(dòng)數(shù)列是________(填序號(hào))． ①⑥?、冖邰堍荨、佗荨、凇、蕖、邰堋①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無(wú)窮、遞減數(shù)列；③為無(wú)窮、擺動(dòng)數(shù)列；④是擺動(dòng)數(shù)列，是無(wú)窮數(shù)列，也是周期為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無(wú)窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列．] [規(guī)律方法] 1．與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有以下特點(diǎn)： (1)確定性：一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的，集合中的元素也具有確定性； (2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即互異性)； (3)有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素沒(méi)有順序(即無(wú)序性)； (4)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物． 2．判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時(shí)要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn)．對(duì)于遞增、遞減、擺動(dòng)還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢(shì)來(lái)分析；而有窮還是無(wú)窮數(shù)列則看項(xiàng)的個(gè)數(shù)有限還是無(wú)限． [跟蹤訓(xùn)練] 1．給出下列數(shù)列： (1)2010～2017年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬(wàn)人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,118,132,147,163,180. (2)無(wú)窮多個(gè)構(gòu)成數(shù)列， ， ， ，…. (3)－2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構(gòu)成數(shù)列－2,4，－8,16，－32，…. 其中，有窮數(shù)列是________，無(wú)窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動(dòng)數(shù)列是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432113】 (1) (2)(3) (1) (2) (3) [(1)為有窮數(shù)列；(2)(3)是無(wú)窮數(shù)列，同時(shí)(1)也是遞增數(shù)列；(2)為常數(shù)列；(3)為擺動(dòng)數(shù)列．] 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式 寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)是下列各數(shù)： (1)－1，，－，； (2)，3，，； (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9； (4)3,5,3,5. 思路探究：①求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，是否應(yīng)考慮將個(gè)別項(xiàng)或各項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?？②?shù)列的通項(xiàng)公式唯一嗎？ [解] (1)任何一個(gè)整數(shù)都可以看成一個(gè)分?jǐn)?shù)，所以此數(shù)列可以看做是自然數(shù)列的倒數(shù)， 正負(fù)相間用(－1)的多少次冪進(jìn)行調(diào)整，其一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n. (2)數(shù)列可化為，，，，即，，，，…，每個(gè)根號(hào)里面可分解成兩數(shù)之積，前一個(gè)因數(shù)為常數(shù)3，后一個(gè)因數(shù)為2n－1，故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝＝. (3)原數(shù)列可變形為，，，，…，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝1－. (4)數(shù)列給出前4項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5，所以通項(xiàng)公式的一種表示方法為an＝.此數(shù)列還可以這樣考慮，3與5的算術(shù)平均數(shù)為＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式又可以寫為an＝4＋(－1)n. [規(guī)律方法] 1．據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相鄰項(xiàng)的變化特征； ③拆項(xiàng)后的特征； ④各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想． 2．觀察、分析數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn)是最重要的，觀察出項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問(wèn)題得到解決，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整． [跟蹤訓(xùn)練] 2．寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1，2，3，4，…； (4)1,11,111,1 111，…. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432114】 [解] (1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝n2－1(n∈N*)． (2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)． (3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，…恰好是序號(hào)n，分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)n的關(guān)系為，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋＝(n∈N*)． (4)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?，99，999，9 999，…，易知數(shù)列9,99,999,9 999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)(n∈N*)． 數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 1．?dāng)?shù)列，，，，，…的通項(xiàng)公式是什么？該數(shù)列的第7項(xiàng)是什么？是否為該數(shù)列中的一項(xiàng)？為什么？ 提示：由數(shù)列各項(xiàng)的特點(diǎn)可歸納出其通項(xiàng)公式為an＝，當(dāng)n＝7時(shí)，a7＝＝，若為該數(shù)列中的一項(xiàng)，則＝，解得n＝8，所以是該數(shù)列中的第8項(xiàng)． 2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋2n＋1，該數(shù)列的圖象有何特點(diǎn)？試?yán)脠D象說(shuō)明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項(xiàng)． 提示：由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列{an}的圖象是分布在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋1圖象上的離散的點(diǎn)，如圖所示，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列，且前兩項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，從第3項(xiàng)往后各項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)． 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n. (1)寫出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)； (2)問(wèn)－49是否是該數(shù)列的一項(xiàng)？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？68是否是該數(shù)列的一項(xiàng)呢？ 思路探究：(1)將n＝4，n＝6分別代入an求出數(shù)值即可； (2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否為正整數(shù)判斷． [解] (1)a4＝342－284＝－64， a6＝362－286＝－60. (2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝(舍去)， 所以－49是該數(shù)列的第7項(xiàng)； 由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合題意，所以68不是該數(shù)列的項(xiàng)． 母題探究：1.(變結(jié)論)若本例中的條件不變， (1)試寫出該數(shù)列的第3項(xiàng)和第8項(xiàng)； (2)問(wèn)20是不是該數(shù)列的一項(xiàng)？若是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？ [解] (1)因?yàn)閍n＝3n2－28n， 所以a3＝332－283＝－57，a8＝382－288＝－32. (2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)， 所以20是該數(shù)列的第10項(xiàng)． 2．(變條件，變結(jié)論)若將例題中的“an＝3n2－28n”變?yōu)椤癮n＝n2＋2n－5”，試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性． [解] ∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3. ∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an. ∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列． [規(guī)律方法] 1．由通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的指定項(xiàng)，主要是對(duì)n進(jìn)行取值，然后代入通項(xiàng)公式，相當(dāng)于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值． 2．判斷一個(gè)數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng)，其方法是可由通項(xiàng)公式等于這個(gè)數(shù)求方程的根，根據(jù)方程有無(wú)正整數(shù)根便可確定這個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)． 3．在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要注意它的定義域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})這一約束條件． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．下列說(shuō)法正確的是( ) A．?dāng)?shù)列1,3,5,7，…，2n－1可以表示為1,3,5,7，… B．?dāng)?shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列 C．?dāng)?shù)列的第k項(xiàng)為1＋ D．?dāng)?shù)列0,2,4,6,8，…可記為{2n} C 2．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432115】 A．11 B．12 C．13 D．14 C [觀察可知該數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)都等于它前面相鄰兩項(xiàng)的和，故x＝5＋8＝13.] 3．已知數(shù)列2，，4，…，，…，則8是該數(shù)列的第________項(xiàng)． 11 [令＝8，得n＝11.] 4．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3－2n，則a2n＝________，＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432116】 3－4n [根據(jù)通項(xiàng)公式我們可以求出這個(gè)數(shù)列的任意一項(xiàng)．因?yàn)閍n＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n， ＝＝.] 5．已知數(shù)列. (1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)； (2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？ (3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)． [解] 設(shè)f(n)＝ ＝＝. (1)令n＝10，得第10項(xiàng)a10＝f(10)＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程無(wú)正整數(shù)解，所以不是該數(shù)列中的項(xiàng)． (3)證明：∵an＝＝＝1－， 又n∈N*， ∴0<<1，∴0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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