2018年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案 蘇教版選修5.doc

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3.3　 第一課時　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 預(yù)習(xí)課本P81～86，思考并完成以下問題 (1)如何確定二元一次不等式所確定的平面區(qū)域？ (2)如何畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域？ (3)如何用不等式組表示平面區(qū)域？ 1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域．我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線．當(dāng)我們在坐標系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線． [點睛]　確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點定域”的方法． 2．由于對直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(x，y)，把它的坐標(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的符號即可判斷Ax＋By＋C>0表示的直線是Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面 區(qū)域． 1．不等式2x－y－6>0表示的平面區(qū)域在直線2x－y－6＝0的________． 解析：作直線2x－y－6＝0，將原點(0,0)代入檢驗． 答案：右下方 2．△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，則△ABC內(nèi)任意一點(x，y)所滿足的條件為________． 解析：將點(0,0)代入直線AB：2x－y＋4＝0，得4>0，代入直線AC：2x＋y－4＝0，得－4<0，故可知△ABC的內(nèi)部位于x軸的上方，故 答案： 3．點(1,3)和點(－4,2)在直線2x＋y＋m＝0的兩側(cè)，則m的取值范圍是________． 解析：∵(1,3)和(－4,2)在2x＋y＋m＝0的兩側(cè)， ∴(21＋3＋m)[2(－4)＋2＋m]<0， 即(m＋5)(m－6)<0，即－50(<0)表示的區(qū)域不包括直線ax＋by＋c＝0，該直線要畫成虛線． (2)測試點選取要恰當(dāng)．一般地選原點(0,0)，(0,1)或(1,0)，如果測試點的坐標滿足不等式，則所求區(qū)域為包括測試點的直線一側(cè)，否則在直線的另一側(cè)，最后將區(qū)域用陰影表示出來． [活學(xué)活用] 1．圖中的平面區(qū)域(陰影部分)，用不等式表示為________． 解析：直線過(4,0)，兩點， 故直線為2x＋3y－8＝0， 則陰影部分表示為2x＋3y－8≥0. 答案：2x＋3y－8≥0 2．已知點A(0,0)，B(1,1)，C(2,0)，D(0,2)，其中不在不等式2x＋y<4所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是________． 解析：代入驗證知C(2,0)不在平面區(qū)域內(nèi)． 答案：C(2,0) 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 [典例]　畫出不等式組表示的平面區(qū)域． [解]　不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及右下方的點的集合；x＋y＋1≥0表示直線x＋y＋1＝0上及右上方的點的集合；x≤3表示直線x＝3上及左方的點的集合．所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示． 不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域的邊界就是各個不等式所對應(yīng)的直線，邊界虛實要畫清，測試點可以選一個，也可以選多個，最后把區(qū)域用陰影部分表示出來． 不等式(組)所表示的平面區(qū)域的應(yīng)用 題點一：求平面區(qū)域面積 1．已知點M(x，y)的坐標滿足不等式組則此不等式組確定的平面區(qū)域的面積S＝________. 解析：作出不等式組 表示的平面區(qū)域，如圖所示，則此平面區(qū)域為△ABC及其內(nèi)部，且點A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S＝21＝1. 答案：1 題點二：由面積求參數(shù)值 2．在平面直角坐標系中，不等式組(a為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積是9，那么a的值為________． 解析：在平面直角坐標系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，注意到直線x＋y＝0與直線x－y＋4＝0的交點坐標是(－2,2)，點(－2,2)到直線x＝a(其中a>－2)的距離為a＋2.易知直線x＝a與x＋y＝0，x－y＋4＝0的交點坐標分別是(a，－a)，(a,4＋a)．結(jié)合圖形及題意知[(4＋a)＋a](a＋2)＝9，即(a＋2)2＝9.又易知a>－2，因此a＝1. 答案：1 題點三：確定區(qū)域內(nèi)整點的個數(shù) 3．由滿足上題中的a所確定的區(qū)域內(nèi)的整點有________個． 解析：滿足上題中的a所確定的平面區(qū)域如圖中的△ABC的內(nèi)部(包括邊界)．△ABC三個頂點為A(－2,2)，B(1,5)，C(1，－1)． 則在直線x＝1上的整點有7個． 在直線x＝0上的整點有5個， 在直線x＝－1上的整點有3個， 在直線x＝－2上的整點有1個， 故共有7＋5＋3＋1＝16個． 答案：16 (1)求區(qū)域面積的2個注意點 ①求平面區(qū)域的面積，先要畫出不等式組表示的區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積． ②求面積時，注意與坐標軸垂直的直線及區(qū)域端點坐標，這樣易求底與高，必要時分割區(qū)域為特殊圖形． (2)求區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)的方法 ①畫出滿足不等式組的區(qū)域． ②作出直線x＝n(n∈Z)，觀察x＝n上有滿足不等式組的區(qū)域內(nèi)的多少個整點． ③求出所有整點的和． 層級一　學(xué)業(yè)水平達標 1．若點P(a,3)在y<－2x＋3表示的區(qū)域內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：點P(a,3)在y<－2x＋3表示的區(qū)域內(nèi)，則3<－2a＋3，解得a<0. 答案：(－∞，0) 2．點A(0,0)，B(2,1)，C(3,0)，D(0,4)在不等式x＋2y－3>0表示的平面區(qū)域內(nèi)的有________． 解析：把各點坐標逐一代入不等式檢驗知B，D點符合不等式． 答案：B，D 3．圖中陰影部分表示的區(qū)域滿足不等式____________． 解析：把原點(0,0)代入檢測可知，陰影部分表示的區(qū)域滿足不等式2x＋2y－1≥0. 答案：2x＋2y－1≥0 4．若直線y＝2x上存在點(x，y)滿足不等式組則實數(shù)m的最大值為________． 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．所以，若直線y＝2x上存在點(x，y)滿足不等式組，則3－m≥2m，即m≤1.故實數(shù)m的最大值為1. 答案：1 5．由直線x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)用不等式組表示為________． 解析：畫出三條直線，并用陰影表示三角形區(qū)域，如圖所示． 取原點(0,0)，將x＝0，y＝0代入x＋y＋2得2>0，代入x＋2y＋1得1>0；代入2x＋y＋1得1>0. 結(jié)合圖形可知，三角形區(qū)域用不等式組可表示為 答案： 6．設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)滿足x0－2y0＝2，則m的取值范圍是________． 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示：要使平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)滿足x0－2y0＝2，必須使點A位于直線x－2y－2＝0的右下側(cè)，即m－2(－m)－2>0，∴m>. 答案： 7．在平面區(qū)域{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}上恒有ax＋3by≤4，則動點P(a，b)所形成平面區(qū)域的面積為________． 解析：由條件可知，已知區(qū)域是以(－2，－2)，(－2,2)，(2,2)，(2，－2)為頂點的正方形內(nèi)部及邊界， 從而動點P(a，b)所形成平面區(qū)域是一個菱形，所求面積為S＝42＝. 答案： 8．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為M，若函數(shù)y＝k(x＋1)＋1的圖象經(jīng)過區(qū)域M，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：作出平面區(qū)域，如圖所示．因為函數(shù)的圖象是過點P(－1,1)，且斜率為k的直線l，由圖知，當(dāng)直線l過點A(1,2)時，k取最大值；當(dāng)直線l過點B(3,0)時，k取最小值－，故k∈. 答案： 9．畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域． (1)2x－y－6≥0； (2) 解：(1)如圖，先畫出直線2x－y－6＝0， 取原點O(0,0)代入2x－y－6中， ∵20－10－6＝－6＜0， ∴與點O在直線2x－y－6＝0同一側(cè)的所有點(x，y)都滿足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直線下方的區(qū)域(包含邊界)(如圖中陰影部分所示)． (2)不等式x＋y≤5表示直線x＋y－5＝0及左下方的區(qū)域． 不等式x－2y＞3表示直線x－2y－3＝0右下方的區(qū)域． 不等式x＋2y≥0表示直線x＋2y＝0及右上方的區(qū)域． 所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示． 10．已知不等式組表示的平面區(qū)域為Ⅰ，求當(dāng)a從－2連續(xù)變化到1時，動直線x＋y－a＝0掃過Ⅰ中的那部分區(qū)域的面積． 解：如圖所示，Ⅰ為△BOE所表示的區(qū)域，而動直線x＋y＝a掃過Ⅰ中的那部分區(qū)域為四邊形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，△CDE為直角三角形． ∴S四邊形BOCD＝22－1＝. 層級二　應(yīng)試能力達標 1．直線x＋2y－1＝0上方的區(qū)域可用不等式________表示． 解析：作圖知，原點(0,0)在直線下方，所以直線上方區(qū)域不包括原點(0,0)，把(0,0)代入得0＋0－1＝－1<0，所以直線上方的區(qū)域應(yīng)用不等式x＋2y－1>0表示． 答案：x＋2y－1>0 2．若mx＋ny－6>0(mn≠0)所表示的區(qū)域不含第三象限的點，則點(m，n)在第________象限． 解析：由題意知，直線mx＋ny－6＝0在兩軸上的截距均大于0，∴m>0，n>0，∴點(m，n)在第一象限． 答案：一 3．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是____________． 解析：如圖，當(dāng)直線y＝a位于直線y＝5和y＝7之間(不含y＝7)時滿足條件，故5≤a<7. 答案：[5,7) 4．在平面直角坐標系中，若不等式組(a為常數(shù))，所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為________． 解析：由題意知不等式組所表示的平面區(qū)域為如圖所示的一個三角形區(qū)域，設(shè)其為△ABC， 則A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)，且a>－1， ∵S△ABC＝2，∴(1＋a)1＝2，∴a＝3. 答案：3 5．若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是________． 解析：由圖可知，不等式組所表示的平面區(qū)域為△ABC邊界及內(nèi)部，y＝kx＋恰過C，y＝kx＋將區(qū)域平均分成面積相等的兩部分，故過AB的中點D，所以＝k＋，k＝. 答案： 6．不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標為________． 解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，區(qū)域圖形為直角三角形(不包括x軸和y軸)，∴x的整數(shù)值只有1,2. 當(dāng)x＝1時，代入4x＋3y≤12，得y≤，∴整點坐標為(1,2)，(1,1)． 當(dāng)x＝2時，代入4x＋3y≤12，得y≤， ∴整點坐標為(2,1)． 綜上所述，平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標為(1,1)，(1,2)和(2,1)． 答案：(1,1)，(1,2)和(2,1) 7．已知點P(1，－2)及其關(guān)于原點對稱點均在不等式2x＋by＋1>0表示的平面區(qū)域內(nèi)，求b的取值范圍． 解：點P(1，－2)關(guān)于原點對稱點P′(－1,2)． 由題意知解得1. 答案：(1，＋∞) 4．若變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為________． 解析：如圖，畫出約束條件表示的可行域，當(dāng)目標函數(shù)z＝x－2y經(jīng)過x＋y＝0與x－y－2＝0的交點A(1，－1)時，取到最大值3. 答案：3 5．如圖所示，點(x，y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運動，那么2x－y的最小值為________． 解析：由圖知，目標函數(shù)在點A(1,1)時，2x－y＝1； 在點B(，)時，2x－y＝2－>1； 在點C(，1)時，2x－y＝2－1>1； 在點D(1,0)時，2x－y＝2－0＝2>1，故最小值為1. 答案：1 6．已知實數(shù)x，y滿足若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個，則a的值為________． 解析：依題意，在坐標平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個，則直線z＝y(tǒng)－ax必平行于直線y－x＋1＝0，于是有a＝1. 答案：1 7．如果實數(shù)x，y滿足條件那么z＝4－x2y的最大值為________． 解析：可行域為如圖所示的陰影部分，A，B，C三點的坐標分別為(－1,0)，(－2，－1)，(0，－1)，直線y＝2x＋t過點B(－2，－1)時，t取得最大值3，故z＝4－x2y＝2－2x＋y的最大值為8. 答案：8 8．設(shè)變量x，y滿足約束條件且不等式x＋2y≤14恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，顯然a≥8，否則可行域無意義．由圖可知x＋2y在點(6，a－6)處取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10. 答案：[8,10] 9．直線l：x＝my＋n(n＞0)過點A(4,4)，若可行域的外接圓直徑為.求實數(shù)n的值． 解：作出可行域如圖所示，過原點的直線OA的傾斜角為60，由直線l：x＝my＋n(n＞0)過點A(4，4)，可得4＝4m＋n.又由可解得兩直線的交點坐標即為A(4,4)， 又點B坐標為(n,0)， ∴＝， ∴AB＝7， ∴(4－n)2＋(4)2＝49， ∴n＝3或5. 10．已知x，y滿足條件：求： (1)4x－3y的最大值和最小值； (2)x2＋y2的最大值和最小值． 解：(1)作出不等式組 表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示． 其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)， 設(shè)z＝4x－3y.直線4x－3y＝0經(jīng)過原點(0,0)． 作一組與4x－3y＝0平行的直線l：4x－3y＝t. 則當(dāng)l過C點時，t值最?。划?dāng)l過B點時，t值最大． ∴z最大值＝4(－1)－3(－6)＝14， z最小值＝4(－3)－32＝－18. 故4x－3y的最大值為14，最小值為－18. (2)設(shè)u＝x2＋y2，則為點(x，y)到原點(0,0)的距離．結(jié)合不等式組所表示的區(qū)域，不難知道：點B到原點距離最大；而當(dāng)(x，y)在原點時，距離為0. ∴u最大值＝(－1)2＋(－6)2＝37，u最小值＝0， ∴x2＋y2的最大值為37，最小值為0. 層級二　應(yīng)試能力達標 1．設(shè)D為不等式組所表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點與點(1,0)之間的距離的最小值為________． 解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，點B(1，0)到直線2x－y＝0的距離最小，d＝＝<1，故最小距離為. 答案： 2．若實數(shù)x，y滿足則z＝3x＋2y的最小值是________． 解析：由已知不等式組作可行域如圖陰影部分所示． 令x＋2y＝k， 則y＝－x＋， 問題由求k的最小值轉(zhuǎn)化為求直線y＝－x＋的縱截距的最小值． 顯然當(dāng)直線y＝－x＋過原點O時，截距最小， 此時kmin＝0， z＝3x＋2y的最小值為1. 答案：1 3．已知x，y滿足不等式組且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，則a＝________. 解析：依題意可知a<1.作出可行域如圖所示，z＝2x＋y在A點和B點處分別取得最小值和最大值．由得A(a，a)，由得B(1,1)．∴zmax＝3，zmin＝3a. ∴a＝. 答案： 4．設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M，使函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是________． 解析：作二元一次不等式組的可行域如圖所示，由題意得A(1,9)，C(3,8)．當(dāng)y＝ax過A(1,9)時，a取最大值，此時a＝9；當(dāng)y＝ax過C(3,8)時，a取最小值，此時a＝2， ∴2≤a≤9. 答案：[2,9] 5．設(shè)變量x，y滿足約束條件則滿足函數(shù)y＝2x－t的t最大值為________． 解析：由約束條件作出可行域如圖所示，可知(x，y)是由點A(1,0)，B(2,1)，C(2，－1)三點組成的三角形區(qū)域，令t＝2x－y，即當(dāng)經(jīng)過C(2，－1)時，t有最大值5. 答案：5 6．若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b，則loga(－b)＝________. 解析：由線性約束條件得可行域為如圖所示的陰影部分．由z＝5y－x，得y＝＋. 由圖知目標函數(shù)y＝＋，過點A(8,0)時，zmin＝5y－x＝50－8＝－8，即b＝－8. 目標函數(shù)y＝＋過點B(4,4)時，zmax＝5y－x＝54－4＝16，即a＝16.所以loga(－b)＝log168＝. 答案： 7．某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過10小時．若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元． (1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤ω(元)； (2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？ 解：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100－x－y， 所以利潤ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300. (2)約束條件為 整理得 目標函數(shù)為ω＝2x＋3y＋300， 作出可行域，如圖所示， 作初始直線l0：2x＋3y＝0，平移l0，當(dāng)l0經(jīng)過點A時，ω有最大值， 由得 ∴最優(yōu)解為A(50,50)，此時ωmax＝550元． 故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，且最大利潤為550元． 8．已知x，y滿足約束條件 (1)求目標函數(shù)z＝2x＋y的最大值和最小值； (2)若目標函數(shù)z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，求a的值； (3)求z＝的取值范圍． 解：作可行域如圖所示． (1)作直線l：2x＋y＝0，并平移此直線，當(dāng)平移直線過可行域內(nèi)的A點時，z取最小值；當(dāng)平移直線過可行域內(nèi)的B點時，z取得最大值． 由得A. 由得B(5,3)． ∴zmax＝25＋3＝13，zmin＝21＋＝. (2)一般情況下，當(dāng)z取得最大值時，直線所經(jīng)過的點都是唯一的，但若直線平行于邊界直線，即直線z＝ax＋y平行于直線3x＋5y＝30時，線段BC上的任意一點均使z取得最大值，此時滿足條件的點即最優(yōu)解有無數(shù)個． 又kBC＝－，∴－a＝－.∴a＝. (3)z＝＝，可看作區(qū)域內(nèi)的點(x，y)與點D(－5，－5)連線的斜率， 由圖可知，kBD≤z≤kCD.由得C. ∴kBD＝＝，kCD＝＝， ∴z＝的取值范圍是.