2018-2019高中數(shù)學 第3章 導數(shù)及其應用 習題課 導數(shù)的應用學案 蘇教版選修1 -1.docx
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習題課導數(shù)的應用學習目標1.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.2.理解函數(shù)的極值、最值與導數(shù)的關系.3.掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的綜合應用.知識點一函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)yf(x)f(x)的正負f(x)的單調(diào)性f(x)0單調(diào)遞增f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極大值.(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值.知識點三函數(shù)yf(x)在a,b上最大值與最小值的求法1.求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值.2.將函數(shù)yf(x)的極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.1.函數(shù)yxlnx在上是減函數(shù).()2.若函數(shù)yaxlnx在內(nèi)單調(diào)遞增,則a的取值范圍為(2,).()3.設函數(shù)f(x)x(xc)2在x2處有極大值,則c2.()4.函數(shù)f(x)x(1x2)在0,1上的最大值為.()類型一導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)lnx,g(x)f(x)ax2bx,其中g(x)的函數(shù)圖象在點(1,g(1)處的切線平行于x軸.(1)確定a與b的關系;(2)若a0,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解(1)依題意得g(x)lnxax2bx,則g(x)2axb.由函數(shù)g(x)的圖象在點(1,g(1)處的切線平行于x軸得g(1)12ab0,b2a1.(2)由(1)得g(x).函數(shù)g(x)的定義域為(0,),當a0時,g(x).由g(x)0得0x1,由g(x)0得x1,即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減;當a0時,令g(x)0得x1或x,若1,即a,由g(x)0得x1或0x,由g(x)0得x1,即函數(shù)g(x)在,(1,)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;若1,即0a,由g(x)0得x或0x1,由g(x)0得1x,即函數(shù)g(x)在(0,1),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;若1,即a,在(0,)上恒有g(x)0,即函數(shù)g(x)在(0,)上單調(diào)遞增.綜上可得,當a0時,函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減;當0a0,故f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當a0時,f(x)0,故f(x)在(0,)上單調(diào)遞減;當0a1時,令f(x)0,解得x,則當x時,f(x)0,故f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述,當a1時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當a0時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞減;當0a1時,f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.例2已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)在R上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解(1)f(x)3x2a.當a0時,f(x)0,所以f(x)在(,)上為增函數(shù).當a0時,令3x2a0得x;當x或x時,f(x)0;當x時,f(x)0.因此f(x)在,上為增函數(shù),在上為減函數(shù).綜上可知,當a0時,f(x)在R上為增函數(shù);當a0時,f(x)在,上為增函數(shù),在上為減函數(shù).(2)因為f(x)在(,)上是增函數(shù),所以f(x)3x2a0在(,)上恒成立,即a3x2對xR恒成立.因為3x20,所以只需a0.又因為a0時,f(x)3x20,f(x)x31在R上是增函數(shù),所以a0,即a的取值范圍為(,0.引申探究1.函數(shù)f(x)不變,若f(x)在區(qū)間(1,)上為增函數(shù),求a的取值范圍.解因為f(x)3x2a,且f(x)在區(qū)間(1,)上為增函數(shù),所以f(x)0在(1,)上恒成立,即3x2a0在(1,)上恒成立,所以a3x2在(1,)上恒成立,所以a3,即a的取值范圍為(,3.2.函數(shù)f(x)不變,若f(x)在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù),試求a的取值范圍.解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立,得a3x2在(1,1)上恒成立.因為1x1,所以3x23,所以a3.即當a的取值范圍為3,)時,f(x)在(1,1)上為減函數(shù).3.函數(shù)f(x)不變,若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1),求a的值.解由例題可知,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,1,即a3.4.函數(shù)f(x)不變,若f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍.解f(x)x3ax1,f(x)3x2a.由f(x)0,得x(a0).f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào),01,得0a3,即a的取值范圍為(0,3).反思與感悟f(x)為(a,b)上的增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)0.應注意此時式子中的等號不能省略,否則漏解.跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)x2ax在上是增函數(shù),求a的取值范圍.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解因為f(x)x2ax在上是增函數(shù),故f(x)2xa0在上恒成立,即a2x在上恒成立.令h(x)2x,則h(x)2,當x時,h(x)0,則h(x)為減函數(shù),所以h(x)h3.所以a3.故a的取值范圍是3,).類型二利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值例3已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點P(1,0),且在點P處的切線與直線3xy0平行.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,t(0t3)上的最大值和最小值;(3)在(1)的結(jié)論下,關于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個相異的實根,求實數(shù)c的取值范圍.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值解(1)因為f(x)3x22ax,曲線在點P(1,0)處的切線斜率為f(1)32a,即32a3,a3.又函數(shù)過(1,0)點,即2b0,b2.所以a3,b2,f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22,得f(x)3x26x.由f(x)0,得x0或x2.當0t2時,在區(qū)間(0,t)上,f(x)0,f(x)在0,t上是減函數(shù),所以f(x)maxf(0)2,f(x)minf(t)t33t22.當2t3時,當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x0(0,2)2(2,t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2,f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個.因為f(t)f(0)t33t2t2(t3)0,所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c,則g(x)3x26x3x(x2).當x1,2)時,g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有兩個相異的實根,則解得2c0.即實數(shù)c的取值范圍為(2,0.反思與感悟(1)求極值時一般需確定f(x)0的點和單調(diào)性,對于常見連續(xù)函數(shù),先確定單調(diào)性即可得極值點,當連續(xù)函數(shù)的極值點只有一個時,相應的極值點必為函數(shù)的最值點.(2)求閉區(qū)間上可導函數(shù)的最值時,對函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷,只需要直接與端點的函數(shù)值比較即可獲得.跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的圖象關于原點成中心對稱.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;(3)當x1,5時,求函數(shù)的最值.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值解(1)函數(shù)f(x)的圖象關于原點成中心對稱,則f(x)是奇函數(shù),f(x)f(x),即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb,于是2(a1)x22b0恒成立,解得a1,b0.(2)由(1)得f(x)x348x,f(x)3x2483(x4)(x4),令f(x)0,得x14,x24;令f(x)0,得4x0,得x4.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(4,4),單調(diào)遞增區(qū)間為(,4)和(4,),f(x)極大值f(4)128,f(x)極小值f(4)128.(3)由(2)知,函數(shù)在1,4上單調(diào)遞減,在4,5上單調(diào)遞增,則f(4)128,f(1)47,f(5)115,函數(shù)的最大值為47,最小值為128.1.已知函數(shù)f(x)x33axa在(0,1)內(nèi)有最小值,則a的取值范圍為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的最值答案(0,1)解析f(x)3x23a3(x2a),顯然a0,f(x)3(x)(x),由已知條件01,解得0a1.2.已知f(x)2x36x2m(m為常數(shù))在2,2上有最大值3,則此函數(shù)在2,2上的最小值為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值答案37解析f(x)6x212x6x(x2),f(x)在x0,2上單調(diào)遞減,在2,0上單調(diào)遞增,f(x)的最大值為f(0)m3,f(x)的最小值為f(2)1624337.3.已知函數(shù)f(x)在(2,)內(nèi)單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性答案解析因為f(x),所以f(x).由函數(shù)f(x)在(2,)內(nèi)單調(diào)遞減,知f(x)0在(2,)內(nèi)恒成立,即0在(2,)內(nèi)恒成立,因此a.當a時,f(x),此時函數(shù)f(x)為常函數(shù),故a不符合題意,舍去.故實數(shù)a的取值范圍為.4.已知a,b為正實數(shù),函數(shù)f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值為4,則f(x)在1,0上的最小值為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值答案解析因為函數(shù)f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值為4,所以函數(shù)g(x)ax3bx在0,1上的最大值為2,而g(x)是奇函數(shù),所以g(x)在1,0上的最小值為2,故f(x)在1,0上的最小值為221.5.已知aR,且函數(shù)yexax(xR)有大于零的極值點,則實數(shù)a的取值范圍為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值答案(,1)解析因為yexax,所以yexa.令y0,即exa0,則exa,即xln(a),又因為x0,所以a1,即a1.導數(shù)作為一種重要的工具,在研究函數(shù)中具有重要的作用,例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問題,都可以通過導數(shù)得以解決.不但如此,利用導數(shù)研究得到函數(shù)的性質(zhì)后,還可以進一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問題,所以一定要熟練掌握利用導數(shù)來研究函數(shù)的各種方法.一、填空題1.函數(shù)yexlnx的值域為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值答案2,)解析由ye(x0)知函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且函數(shù)連續(xù)、無上界,從而yexlnx的值域為2,).2.函數(shù)y在定義域內(nèi)的最大值、最小值分別是_.考點題點答案2,2解析函數(shù)的定義域為R.令y0,得x1.當x變化時,y,y隨x的變化情況如下表:x(,1)1(1,1)1(1,)y00y極小值極大值當x趨近于負無窮大時,y趨近于0;當x趨近于正無窮大時,y趨近于0.由上表可知,當x1時,y取極小值也是最小值2;當x1時,y取極大值也是最大值2.3.設f(x)4x3mx2(m3)xn(m,nR)是R上的單調(diào)增函數(shù),則m的值為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性答案6解析因為f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù),故f(x)12x22mx(m3)0在xR上恒成立,于是4m248(m3)0,即(m6)20,得m6.4.已知函數(shù)f(x)2f(1)lnxx,則f(x)的極大值為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值答案2ln22解析f(x)1,令x1得,f(1)2f(1)1,f(1)1,所以f(x)2lnxx,f(x)1,f(x)1的零點是x2,所以當0x0,f(x)是增函數(shù),當x2時,f(x)0,f(x)是減函數(shù),所以x2是f(x)的極大值點,極大值為f(2)2ln22.5.已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸相切于點(1,0),則函數(shù)f(x)的極大值為_,極小值為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值答案0解析f(x)3x22pxq,f(1)32pq0.又f(1)1pq0,由解得p2,q1,f(x)x32x2x,f(x)3x24x1.令3x24x10,解得x1,x21.當x0;當x1時,f(x)1時,f(x)0,當x時,f(x)有極大值為;當x1時,f(x)有極小值為0.6.若函數(shù)ya(x3x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,則實數(shù)a的取值范圍為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性答案(0,)解析ya(3x21),令y0,得x.由函數(shù)ya(x3x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,得導函數(shù)ya(3x21)的圖象是開口向上的拋物線,所以a0.7.若函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù),在區(qū)間(6,)上為增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性答案5,7解析函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)x2axa1.令f(x)0,解得x1或xa1.當a11,即a2時,函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù),不合題意.當a11,即a2時,函數(shù)f(x)在(,1)上為增函數(shù),在(1,a1)上為減函數(shù),在(a1,)上為增函數(shù).依題意有當x(1,4)時,f(x)0,當x(6,)時,f(x)0,所以4a16,即5a7,所以a的取值范圍為5,7.8.已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值,若m,n1,1,則f(m)f(n)的最小值是_.考點導數(shù)的綜合應用題點導數(shù)的綜合應用答案13解析由題意求導得f(x)3x22ax,由函數(shù)f(x)在x2處取得極值知f(2)0,即342a20,a3.由此可得f(x)x33x24,f(x)3x26x,易知f(x)在(1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,當m1,1時,f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的圖象開口向下,且對稱軸為x1,當n1,1時,f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值為13.9.若函數(shù)f(x)x33axb(a0)的極大值為6,極小值為2,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.考點導數(shù)的綜合應用題點導數(shù)的綜合應用答案(1,1)解析令f(x)3x23a0,得x,則f(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)極大值極小值從而解得所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1).10.設函數(shù)f(x)ax33x1(xR),若對于任意的x(0,1都有f(x)0成立,則實數(shù)a的取值范圍為_.考點導數(shù)的綜合應用題點導數(shù)的綜合應用答案4,)解析x(0,1,f(x)0可化為a.令g(x),則g(x),令g(x)0,得x.當0x0;當x1時,g(x)0),則f(x).令f(x)0,解得x11,x2(舍去).當x(0,1)時,f(x)0,故f(x)在(1,)上為增函數(shù).故f(x)在x1處取得極小值f(1)3.12.已知函數(shù)f(x)axlnx,其中a為常數(shù).(1)當a1時,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在區(qū)間(0,e上的最大值為3,求a的值.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點利用導數(shù)研究函數(shù)的最值解(1)當a1時,f(x)xlnx,f(x)1,當0x0;當x1時,f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,)上是減函數(shù).f(x)maxf(1)1.(2)f(x)a,當x(0,e時,若a,則f(x)0,f(x)在(0,e上是增函數(shù),f(x)maxf(e)ae10不合題意;若a0,即a0,得0x,由f(x)0,即a0,得xe.從而f(x)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),f(x)maxf1ln,令1ln3,則ln2,e2,即ae2.e2,且當x1,4a時,|f(x)|12a恒成立,試確定a的取值范圍.考點導數(shù)的綜合應用題點導數(shù)的綜合應用解(1)當a1時,f(x)x33x29x1,且f(x)3x26x9,由f(x)0,解得x1或x3.當x0;當1x3時,f(x)0.因此x1是函數(shù)的極大值點,極大值為f(1)6;當1x3時,f(x)3時,f(x)0.因此x3是函數(shù)的極小值點,極小值為f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a2的圖象是一條開口向上且對稱軸為直線xa的拋物線,因此,若a1,則f(x)在1,4a上單調(diào)遞增,所以f(x)在1,4a上的最小值為f(1)36a9a2,最大值為f(4a)15a2.由|f(x)|12a,得12a3x26ax9a212a,于是36a9a212a,且15a212a,結(jié)合a1,解得1,則|f(a)|12a212a,故當x1,4a時,|f(x)|12a不恒成立.所以使|f(x)|12a(x1,4a)恒成立的a的取值范圍為.三、探究與拓展14.設f(x)x3x,xR,若當0時,f(msin)f(1m)0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為_.考點導數(shù)的綜合應用題點導數(shù)的綜合應用答案(,1)解析因為f(x)x3x,xR,故f(x)3x210,則f(x)在xR上為單調(diào)增函數(shù),又因為f(x)f(x),故f(x)也為奇函數(shù),由f(msin)f(1m)0,即f(msin)f(1m)f(m1),得msinm1,即m(sin1)1,因為0,故當時,01恒成立;當時,m恒成立,即mmin1,故m0)上的最小值;(2)若函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象恰有一個公共點,求實數(shù)a的值;(3)若函數(shù)yf(x)g(x)有兩個不同的極值點x1,x2(x1ln 2,求實數(shù)a的取值范圍.考點導數(shù)的綜合應用題點導數(shù)的綜合應用解(1)令f(x)lnx10得x,當0t0),則h(x)1(x2)(x1)(x0),易知h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增,所以ah(x)minh(1)3.(3)由題意得,yf(x)g(x)xlnxx2ax2,則其導函數(shù)為ylnx2x1a,由題意知ylnx2x1a0有兩個不同的實根x1,x2,等價于alnx2x1有兩個不同的實根x1,x2,且x10)的圖象有兩個不同的交點.由G(x)2(x0),得G(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,畫出函數(shù)G(x)圖象的大致形狀(如圖).由圖象易知,當aG(x)minGln2時,x1,x2存在,且x2x1的值隨著a的增大而增大.而當x2x1ln2時,則有兩式相減可得ln2(x2x1)2ln2,得x24x1,代入上述方程組解得x1,x2ln2,此時實數(shù)aln2ln1,所以實數(shù)a的取值范圍為.- 配套講稿:
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