2019屆高考數學一輪復習 第六章 數列 課時跟蹤訓練33 數列求和 文.doc

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課時跟蹤訓練(三十三) 數列求和 [基礎鞏固] 一、選擇題 1．(2018湖南師大附中月考)已知公差不為0的等差數列{an}滿足a1，a3，a4成等比數列，Sn為數列{an}的前n項和，則的值為(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 [解析]　設等差數列的公差為d，首項為a1，所以a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d. 因為a1、a3、a4成等比數列， 所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，解得：a1＝－4d. 所以＝＝2，故選A. [答案]　A 2．(2017河南百校聯盟質量監(jiān)測)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，S5＝－20，則－6a4＋3a5＝(　　) A．－20 B．4 C．12 D．20 [解析]　設{an}的公差為d，∵S5＝＝－20，∴a1＋a5＝－8，∴a3＝－4.又－6a4＋3a5＝－6(a3＋d)＋3(a3＋2d)＝－3a3＝12.選C. [答案]　C 3．已知等比數列{an}的首項為1，若4a1,2a2，a3成等差數列，則數列的前5項和為(　　) A. B．2 C. D. [解析]　設數列{an}的公比為q，則有4＋q2＝22q，解得q＝2，所以an＝2n－1. ＝，所以S5＝＝.故選A. [答案]　A 4．已知數列{an}是等差數列，a1＝tan225，a5＝13a1，設Sn為數列{(－1)nan}的前n項和，則S2018＝(　　) A．2018 B．－2018 C．3027 D．－3027 [解析]　由題意得a1＝1，a5＝13，∵{an}是等差數列，∴公差d＝3，∴an＝3n－2，∴S2018＝－1＋4－7＋10－13＋17＋…－6049＋6052＝3＝3027，選C. [答案]　C 5．(2017安徽安慶模擬)已知數列{an}滿足an＋2＝－an(n∈N＋)，且a1＝1，a2＝2，則數列{an}的前2017項的和為(　　) A．2 B．－3 C．3 D．1 [解析]　∵an＋2＝－an＝－(－an－2)＝an－2，n>2，∴數列{an}是以4為周期的周期數列．S2017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2017＝504(a1＋a2－a1－a2)＋a5044＋1＝a1＝1.故選D. [答案]　D 6.＋＋＋…＋的值為(　　) A. B.－ C.－ D.－－ [解析]　因為＝＝＝ 所以原式＝ ＝ ＝－，故選C. [答案]　C 二、填空題 7．若數列{an}的通項公式為an＝，前n項和為Sn，則S16＝________. [解析]　由an＝＝， 得S16＝(－1＋－＋－＋…＋－＋－)＝(＋－－1)＝. [答案]　 8．數列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是數列{an}的前n項和，則S21＝________. [解析]　依題意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，則an＋2＝an，即數列{an}中的奇數項、偶數項分別相等，則a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10＋1＝6. [答案]　6 9．(2017陜西西安期中)如果數列{an}的前n項之和為Sn＝3＋2n，那么a＋a＋a＋…＋a＝________. [解析]　∵Sn＝3＋2n，∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，∴an＝2n－2n－1＝2n－1，∴a＝4n－1，n＝1時a1＝S1＝5， ∴當n≥2時，a＋a＋a＋…＋a＝25＋＝； 當n＝1時a＝25也適合上式，故a＋…＋a＝. [答案]　 三、解答題 10．(2017全國卷Ⅲ)設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項公式； (2)求數列的前n項和． [解]　(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當n≥2時， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 兩式相減得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)． 又由題設可得a1＝2也適合，從而{an}的通項公式為an＝. (2)記的前n項和為Sn. 由(1)知＝＝－. 則Sn＝－＋－＋…＋－＝. [能力提升] 11．若an>0，Sn＝a1＋a2＋…＋an，且2Sn＝an＋(n∈N*)，則S2017＝(　　) A．2017＋ B．2017－ C．2016 D. [解析]　令n＝1，則2S1＝a1＋，所以a1＝1，S1＝1；令n＝2，則2(a1＋a2)＝a2＋，所以a2＝－1，S2＝；令n＝3，則2(＋a3)＝a3＋，解得a3＝－，S3＝；依此類推，a2017＝－，S2017＝.故選D. [答案]　D 12．(2017全國卷Ⅰ)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪．那么該款軟件的激活碼是(　　) A．440 B．330 C．220 D．110 [解析]　設第一項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依此類推，則第n組的項數為n，前n組的項數和為.由題意可知，N>100，令>100，所以n≥14，n∈N*，即N出現在第13組之后．易得第n組的所有項的和為＝2n－1，前n組的所有項的和為－n＝2n＋1－n－2.設滿足條件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)組，且第N項為第k＋1組的第t(t∈N*)個數，第k＋1組的前t項的和2t－1應與－2－k互為相反數，即2t－1＝k＋2，所以2t＝k＋3，所以t＝log2(k＋3)，所以當t＝4，k＝13時，N＝＋4＝95<100，不滿足題意，當t＝5，k＝29時，N＝＋5＝440，當t>5時，N>440，故選A. [答案]　A 13．(2017安徽馬鞍山期中)設數列{an}的通項公式為an＝(－1)n(2n－1)cos＋1(n∈N*)，其前n項和為Sn，則S120＝(　　) A．－60 B．－120 C．180 D．240 [解析]　由an＝(－1)n(2n－1)cos＋1，得 a1＝－cos＋1＝1，a2＝3cosπ＋1＝－2， a3＝－5cos＋1＝1，a4＝7cos2π＋1＝8， a5＝－9cos＋1＝1，a6＝11cos3π＋1＝－10， a7＝－13cos＋1＝1，a8＝15cos4π＋1＝16， … 由上可知，數列{an}的奇數項為1，每兩個偶數項的和為6，∴S120＝(a1＋a3＋…＋a119)＋(a2＋a4＋…＋a58＋a120)＝60＋306＝240.故選D. [答案]　D 14．(2017河北邯鄲質量檢測)在公差大于1的等差數列{an}中，已知a＝64，a2＋a5＋a8＝36，則數列{|an|}的前20項和為________． [解析]　∵a2＋a5＋a8＝3a5＝36，∴a5＝12，∵a＝64，∴a1＝8. 當a1＝8，d＝1，不合題意． 當a1＝－8，d＝5>1，∴an＝5n－13. 故數列{|an|}的前20項和為8＋3＋2＋＝812. [答案]　812 15．(2017廣東珠海模擬)已知等差數列{an}的首項為a，公差為d，n∈N*，且不等式ax2－3x＋2<0的解集為(1，d)． (1)求數列{an}的通項公式an； (2)若bn＝3an＋an－1，n∈N*，求數列{bn}的前n項和Tn. [解析]　(1)易知a≠0，由題設可知 解得 故數列{an}的通項公式為an＝1＋(n－1)2＝2n－1. (2)由(1)知bn＝32n－1＋2n－1－1， 則Tn＝(3＋1)＋(33＋3)＋…＋(32n－1＋2n－1)－n ＝(31＋33＋…＋32n－1)＋(1＋3＋…＋2n－1)－n ＝＋－n ＝(9n－1)＋n2－n. 16．(2017山東棗莊期末質量檢測)已知Sn為各項均為正數的數列{an}的前n項和，a1∈(0,2)，a＋3an＋2＝6Sn. (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝，數列{bn}的前n項和為Tn，若對?n∈N*，t≤4Tn恒成立，求實數t的最大值． [解]　(1)當n＝1時，由a＋3an＋2＝6Sn，得a＋3a1＋2＝6a1，即a－3a1＋2＝0. 又a1∈(0,2)，解得a1＝1. 由a＋3an＋2＝6Sn，可知a＋3an＋1＋2＝6Sn＋1. 兩式相減，得a－a＋3(an＋1－an)＝6an＋1， 即(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0.由于an>0，可得an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，所以{an}是首項為1，公差為3的等差數列． 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)由an＝3n－2，可得 bn＝＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝. 因為Tn＋1－Tn＝－＝>0， 所以Tn＋1>Tn，所以數列{Tn}是遞增數列． 所以t≤4Tn?≤Tn?≤T1＝?t≤1， 所以實數t的最大值是1. [延伸拓展] 　下面的圖形無限向內延續(xù)，最外面的正方形的邊長是2，從外到內，第n個正方形與其內切圓之間的深色圖形面積記為Sn(n∈N*)． (1)證明：Sn＝2Sn＋1(n∈N*)； (2)證明：S1＋S2＋…＋Sn<8－2π. [證明]　(1)設第n(n∈N*)個正方形的邊長為an，則其內切圓半徑為，第n＋1個正方形的邊長為an，其內切圓半徑為an，所以Sn＝a－π2＝a(n∈N*)，Sn＋1＝2－π2＝a＝Sn(n∈N*)．所以Sn＝2Sn＋1(n∈N*)． (2)由(1)可知，S1＝22＝4－π，S2＝2－，…，Sn＝ (4－π)n－1，所以Tn＝S1＋S2＋…＋Sn＝(4－ π)＝(4－π)＝(8－2π)<8－2π.