2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 階段復(fù)習(xí)課 第1課 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc

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第一課　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 [核心速填] 1．導(dǎo)數(shù)的概念 (1)定義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 ，稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)． (2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(x0，f(x0))處的切線斜率． 2．幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)若y＝f(x)＝c，則f′(x)＝0. (2)若y＝f(x)＝x，則f′(x)＝1. (3)若y＝f(x)＝x2，則f′(x)＝2x. (4)若y＝f(x)＝，則f′(x)＝－. (5)若y＝f(x)＝，則f′(x)＝. 3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (1)若f(x)＝c(c為常數(shù))，則f′(x)＝0. (2)若f(x)＝xα(α∈Q*)，則f′(x)＝αxα－1. (3)若f(x)＝sin x，則f′(x)＝cos_x. (4)若f(x)＝cos x ，則f′(x)＝－sin_x. (5)若f(x)＝ax，則f′(x)＝axln_a. (6)若f(x)＝ex，則f′(x)＝ex. (7)若f(x)＝logax，則f′(x)＝. (8)若f(x)＝ln x，則f′(x)＝. 4．導(dǎo)數(shù)的運算法則 (1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝. 5．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 (1)復(fù)合函數(shù)記法：y＝f(g(x))． (2)中間變量代換：y＝f(u)，u＝g(x)． (3)逐層求導(dǎo)法則：y′x＝y(tǒng)′uu′x. 6．函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)＞0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． (2)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) ①極大值：在點x＝a附近，滿足f(a)≥f(x)，當(dāng)x＜a時，f′(x)＞0，當(dāng)x＞a時，f′(x)＜0，則點a叫做函數(shù)的極大值點，f(a)叫做函數(shù)的極大值； ②極小值：在點x＝a附近，滿足f(a)≤f(x)，當(dāng)x＜a時，f′(x)＜0，當(dāng)x＞a時，f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值． 7．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 (1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值． (2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個為最小值． 8．微積分基本定理 一般地，如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)． 9．定積分的性質(zhì) ①kf(x)dx＝kf(x)dx； ②[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx； ③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)． [體系構(gòu)建] [題型探究] 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 　已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程； (2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標(biāo)； (3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標(biāo)與切線的方程. 【導(dǎo)學(xué)號：31062107】 [解]　(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13. ∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)法一：設(shè)切點為(x0，y0)， 則直線l的斜率為f′(x0)＝3x＋1， ∴直線l的方程為 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16. 又∵直線l過點(0,0)， ∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16. 整理得，x＝－8， ∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標(biāo)為(－2，－26)． 法二：設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點為(x0，y0)， 則k＝＝， 又∵k＝f′(x0)＝3x＋1， ∴＝3x＋1. 解得，x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標(biāo)為(－2，－26)． (3)∵切線與直線y＝－＋3垂直， ∴切線的斜率k＝4. 設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)， 則f′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝1. ∴或 即切點為(1，－14)或(－1，－18)． 切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. [規(guī)律方法]　1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明確“過點P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點. 2.圍繞著切點有三個等量關(guān)系：切點(x0，y0)，則k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)滿足切線方程，在求解參數(shù)問題中經(jīng)常用到. [跟蹤訓(xùn)練] 1．直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切于點(2,3)，則b＝________. [解析]　∵y＝x3＋ax＋1過點(2,3)， ∴a＝－3，∴y′＝3x2－3， ∴k＝y(tǒng)′|x＝2＝34－3＝9， ∴b＝y(tǒng)－kx＝3－92＝－15. [答案]?。?5 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 　(1)f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)－f(x)≤0，對任意正數(shù)a，b，若a＜b，則必有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：31062108】 A．a(chǎn)f(b)＜bf(a)　　　　 B．bf(a)＜af(b) C．a(chǎn)f(a)＜bf(b) D．bf(b)＜af(a) (2)設(shè)f(x)＝aln x＋，其中a為常數(shù)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． (1)A　[令F(x)＝，則F′(x)＝. 又當(dāng)x＞0時，xf′(x)－f(x)≤0，∴F′(x)≤0， ∴F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 又a＜b， ∴F(a)＞F(b)， ∴＞， ∴bf(a)＞af(b)，故選A.] (2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)． f′(x)＝＋＝. 當(dāng)a≥0時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 當(dāng)a＜0時，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①當(dāng)a＝－時，Δ＝0， f′(x)＝≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． ②當(dāng)a＜－時，Δ＜0，g(x)＜0， f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． ③當(dāng)－＜a＜0時，Δ＞0. 設(shè)x1，x2(x1＜x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點， 則x1＝，x2＝， 由x1＝＝＞0， 所以x∈(0，x1)時，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減， x∈(x1，x2)時，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增， x∈(x2，＋∞)時，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減， 綜上可得：當(dāng)a≥0時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a≤－時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)－＜a＜0時， 函數(shù)f(x)在， 上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增． [規(guī)律方法]　利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時，要充分利用f(x)與其導(dǎo)數(shù)f′(x)之間的對應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等知識求解.求解參數(shù)范圍的步驟為： (1)對含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到f′(x)； (2)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍； (3)驗證參數(shù)范圍中取等號時，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，則函數(shù)f(x)在(a，b)上為常函數(shù)，舍去此參數(shù)值. [跟蹤訓(xùn)練] 2．若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù)，在區(qū)間(6，＋∞)上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍． [解]　函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝x2－ax＋a－1. 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1. 當(dāng)a－1≤1，即a≤2時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，不合題意． 當(dāng)a－1＞1，即a＞2時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上為增函數(shù)，在(1，a－1)上為減函數(shù)，在(a－1，＋∞)上為增函數(shù)． 依題意當(dāng)x∈(1,4)時，f′(x)＜0， 當(dāng)x∈(6，＋∞)時，f′(x)＞0. 故4≤a－1≤6，即5≤a≤7. 因此a的取值范圍是[5,7]． 函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù) 　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b的圖象上一點P(1,0)且在點P處的切線與直線3x＋y＝0平行． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值． [解]　(1)因為f′(x)＝3x2＋2ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函數(shù)過(1,0)點，即－2＋b＝0，b＝2. 所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2， 得f′(x)＝3x2－6x. 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①當(dāng)0＜t≤2時，在區(qū)間(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在[0，t]上是減函數(shù)，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②當(dāng)2＜t＜3時，當(dāng)x變化時，f′(x)， f(x)的變化情況如下表： x 0 (0,2) 2 (2，t) t f′(x) 0 － 0 ＋ f(x) 2 －2 t3－3t2＋2 f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0， 所以f(x)max＝f(0)＝2. 母題探究：(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下，若關(guān)于x的方程f(x)＝c在區(qū)間[1,3]上恰有兩個相異的實根，求實數(shù)c的取值范圍． [解]　令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c， 則g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 在x∈[1,2)上，g′(x)＜0；在x∈(2,3]上，g′(x)＞0. 要使g(x)＝0在[1,3]上恰有兩個相異的實根， 則解得－2＜c≤0. [規(guī)律方法]　(1)求極值時一般需確定f′(x)＝0的點和單調(diào)性，對于常見連續(xù)函數(shù)，先確定單調(diào)性即可得極值點，當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點只有一個時，相應(yīng)的極值點必為函數(shù)的最值點. (2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時，對函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷，只需要直接與端點的函數(shù)值比較即可獲得. [跟蹤訓(xùn)練] 3．已知a，b為常數(shù)且a＞0，f(x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋b. (1)函數(shù)f(x)的極大值為2，求a，b間的關(guān)系式； (2)函數(shù)f(x)的極大值為2，且在區(qū)間[0,3]上的最小值為－，求a，b的值. 【導(dǎo)學(xué)號：31062109】 [解]　(1)f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)， 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a， 因為a＞0，所以x1＜x2. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 所以當(dāng)x＝－1時，f(x)有極大值2，即3a＋2b＝3. (2)當(dāng)0＜a＜3時，由(1)知，f(x)在[0，a)上為減函數(shù)，在(a,3]上為增函數(shù)， 所以f(a)為最小值， f(a)＝－a3－a2＋b. 即－a3－a2＋b＝－. 又由b＝，于是有a3＋3a2＋3a－26＝0， 即(a＋1)3＝27，所以a＝2，b＝－. 當(dāng)a＞3時，由(1)知f(x)在[0,3]上為減函數(shù)，即f(3)為最小值，f(3)＝－， 從而求得a＝，不合題意，舍去． 綜上，a＝2，b＝－. 生活中的優(yōu)化問題 　某企業(yè)擬建造如圖11所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱體部分每平方米建造費用為3千元，半球體部分每平方米建造費用為4千元．設(shè)該容器的總建造費用為y千元． 圖11 (1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域； (2)確定r和l為何值時，該容器的建造費用最小，并求出最小建造費用． [解]　由題意可知 ＋πr2l＝，∴l(xiāng)＝－. 又圓柱的側(cè)面積為2πrl＝－， 兩端兩個半球的表面積之和為4πr2. 所以y＝3＋4πr24＝＋8πr2. 又l＝－＞0?r＜2，所以定義域為(0,2)． (2)因為y′＝－＋16πr＝， 所以令y′＞0，得2＜r＜2； 令y′＜0，得0＜r＜2. 所以當(dāng)r＝2米時，該容器的建造費用最小，為96π千元，此時l＝米． [規(guī)律方法]　解決優(yōu)化問題的步驟 (1)要分析問題中各個數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域. (2)要通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具. (3)驗證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實際意義. [跟蹤訓(xùn)練] 4．現(xiàn)有一批貨物由海上A地運往B地，已知輪船的最大航行速度為35海里/小時，A地至B地之間的航行距離約為500海里，每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費用為每小時960元． (1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時)的函數(shù)； (2)為了使全程運輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？ [解]　(1)依題意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函數(shù)的定義域為(0,35]，即y＝＋300x(0＜x≤35)． (2)由(1)知y＝＋300x(0＜x≤35)，所以y′＝－＋300.令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因為函數(shù)的定義域為(0,35]，所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有極值．又當(dāng)0＜x≤35時，y′＜0，所以y＝＋300x在(0,35]上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝35時，函數(shù)y＝＋300x取得最小值． 故為了使全程運輸成本最小，輪船應(yīng)以35海里/小時的速度行駛. 函數(shù)方程思想 　設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求f(x)的極值點； (2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有3個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍； (3)已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：31062110】 [解]　(1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0， 得x1＝－，x2＝. 當(dāng)x∈(－∞，－)∪(，＋∞)時，f′(x)＞0，當(dāng)x∈(－，) 時，f′(x)＜0， 因此x1＝－，x2＝分別為f(x)的極大值點、極小值點． (2)由(1)的分析可知y＝f(x)圖象的大致形狀及走向如圖所示．要使直線y＝a與y＝f(x)的圖象有3個不同交點需5－4＝f()＜a＜f(－)＝5＋4.則方程f(x)＝a有3個不同實根時，所求實數(shù)a的取值范圍為(5－4，5＋4)． (3)法一：f(x)≥k(x－1)， 即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)， 因為x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立， 令g(x)＝x2＋x－5，由二次函數(shù)的性質(zhì)得g(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以g(x)＞g(1)＝－3， 所以所求k的取值范圍是為(－∞，－3]． 法二：直線y＝k(x－1)過定點(1,0)且f(1)＝0， 曲線f(x)在點(1,0)處切線斜率f′(1)＝－3， 由(2)中草圖知要使x∈(1，＋∞)時，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故實數(shù)k的取值范圍為(－∞，－3]． [規(guī)律方法]　討論方程根的個數(shù)，研究函數(shù)圖象與x軸或某直線的交點個數(shù)、不等式恒成立問題的實質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)極(最)值的應(yīng)用.問題破解的方法是根據(jù)題目的要求，借助導(dǎo)數(shù)將函數(shù)的單調(diào)性與極(最)值列出，然后再借助單調(diào)性和極(最)值情況，畫出函數(shù)圖象的草圖，數(shù)形結(jié)合求解. [跟蹤訓(xùn)練] 5．已知函數(shù)f(x)＝ex＋，a∈R，試討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)． [解]　函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠a}． (1)當(dāng)x＞a時，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0， 即f(x)在(a，＋∞)上無零點． (2)當(dāng)x＜a時，f(x)＝， 令g(x)＝ex(x－a)＋1，則g′(x)＝ex(x－a＋1)． 由g′(x)＝0得x＝a－1. 當(dāng)x＜a－1時，g′(x)＜0； 當(dāng)x＞a－1時，g′(x)＞0， ∴g(x)在(－∞，a－1)上單調(diào)遞減，在(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1. ∴當(dāng)a＝1時，g(a－1)＝0，∴x＝a－1是f(x)的唯一零點； 當(dāng)a＜1時，g(a－1)＝1－ea－1＞0，∴f(x)沒有零點； 當(dāng)a＞1時，g(a－1)＝1－ea－1＜0，∴f(x)有兩個零點．