2019屆高考數學總復習 第九單元 解析幾何 第64講 圓錐曲線的綜合應用檢測.doc
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第64講 圓錐曲線的綜合應用 1．(2014新課標卷Ⅱ) 設F1，F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. (1)根據c＝及題設知M(c，)， 因為＝，所以2b2＝3ac， 將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， 得2c2＋3ac－2a2＝0，解得＝或＝－2(舍去)． 故C的離心率為. (2)由題意，原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸， 所以直線MF1與y軸的交點D(0,2) 是線段MF1的中點， 故＝4，即b2＝4a，① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 代入C的方程，得＋＝1. 將①及c＝代入②得＋＝1， 解得a＝7，b2＝4a＝28， 故a＝7，b＝2. 2．(2016北京卷)已知橢圓C：＋＝1過A(2,0)，B(0,1)兩點． (1)求橢圓C的方程及離心率； (2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值． (1)由題意得a＝2，b＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. 又c＝＝，所以離心率e＝＝. (2)證明：設P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，則x＋4y＝4. 又A(2,0)，B(0,1)， 所以直線PA的方程為y＝(x－2)． 令x＝0，得yM＝－，從而|BM|＝1－yM＝1＋. 直線PB的方程為y＝x＋1. 令y＝0，得xN＝－， 從而|AN|＝2－xN＝2＋. 所以四邊形ABNM的面積 S＝|AN||BM| ＝ ＝ ＝＝2. 從而四邊形ABNM的面積為定值． 3．(2017湖南省六校聯考)在圓x2＋y2＝1上任取一個動點P，作PQ⊥x軸于Q，M滿足＝2，當P在圓上運動時，M 的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)曲線C與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A，B，直線y＝kx(k>0)與曲線C交于E，F，當四邊形AEBF面積最大時，求k的值． (1)設M(x，y)，P(x0，y0)， 則 得 而P(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上， 即x＋y＝1，故x2＋＝1，此即曲線C的方程． (2)由(1)知A(1,0)，B(0,2)， 則直線AB的方程為2x＋y－2＝0. 設E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1
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