2020高考數(shù)學刷題首選卷 考點測試23 簡單的三角恒等變換 理（含解析）.docx

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考點測試23　簡單的三角恒等變換 一、基礎(chǔ)小題 1．已知tanα＝2，則的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　C 解析　＝＝2tanα＝4，故選C． 2．已知cosα＝，α∈(π，2π)，則cos等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　B 解析　∵cosα＝，α∈(π，2π)，∴∈． ∴cos＝－＝－＝－．故選B． 3．若cos－α＝，則cos(π－2α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　C 解析　解法一：因為cos－α＝sinα＝，所以cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝－，故選C． 解法二：cos(π－2α)＝2cos2－α－1＝2－1＝－，故選C． 4．已知tan(α＋β)＝，tanβ＝，則tanα－＝(　　) A． B．－ C． D． 答案　B 解析　因為tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝＝，所以tanα－＝＝＝－，故選B． 5．若α為銳角，3sinα＝tanα＝tanβ，則tan2β＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　D 解析　因為3sinα＝tanα＝，α為銳角，所以cosα＝，sinα＝，所以tanα＝＝2＝tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝＝－．故選D． 6．cos20cos40cos80的值為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　cos20cos40cos80＝＝＝．故選C． 7．已知cos(x＋2θ)＋2sinθsin(x＋θ)＝，則cos2x的值為________． 答案　－ 解析　cos(x＋2θ)＋2sinθsin(x＋θ)＝cos(x＋θ)cosθ＋sinθsin(x＋θ)＝cosx＝，則cos2x＝2cos2x－1＝－． 8．化簡：＝________． 答案　4sinα 解析?。? ＝＝4sinα． 二、高考小題 9．(2015重慶高考)若tanα＝2tan，則＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　＝ ＝＝＝， ∵tanα＝2tan，∴＝＝3．故選C． 10．(2018全國卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________． 答案?。? 解析　解法一：因為sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，所以sinα＝，cosβ＝，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－． 解法二：由(sinα＋cosβ)2＋(cosα＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－． 11．(2016浙江高考)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，則A＝________，b＝________． 答案　　1 解析　∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x ＝sin＋1，∴A＝，b＝1． 12．(2016全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋＝，則tanθ－＝________． 答案?。? 解析　解法一：∵sinθ＋＝(sinθ＋cosθ)＝， ∴sinθ＋cosθ＝，① ∴2sinθcosθ＝－． ∵θ是第四象限角，∴sinθ＜0，cosθ＞0， ∴sinθ－cosθ＝－＝－，② 由①②得sinθ＝－，cosθ＝， ∴tanθ＝－， ∴tanθ－＝＝－． 解法二：∵θ＋＋－θ＝， ∴sinθ＋＝cos－θ＝， 又2kπ－＜θ＜2kπ，k∈Z， ∴2kπ－＜θ＋＜2kπ＋，k∈Z， ∴cosθ＋＝，∴sin－θ＝， ∴tan－θ＝＝， ∴tanθ－＝－tan－θ＝－． 解法三：∵θ是第四象限角， ∴2kπ－＜θ＜2kπ，k∈Z， ∴2kπ－＜θ＋＜2kπ＋，k∈Z， 又sinθ＋＝，∴cosθ＋＝， ∴tanθ－＝ ＝＝＝＝－． 三、模擬小題 13．(2018河北衡水中學測試)若α∈，π，且3cos2α＝sin－α，則sin2α的值為(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　C 解析　由3cos2α＝sin－α可得3(cos2α－sin2α)＝ (cosα－sinα)，又由α∈，π可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝，所以1＋2sinαcosα＝，故sin2α＝－．故選C． 14．(2018河南信陽一模)已知α，β均為銳角，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，則β等于(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵α為銳角且sinα＝，∴cosα＝．∵α，β均為銳角，∴0<α＋β<π．又∵cos(α＋β)＝－， ∴sin(α＋β)＝．∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－＋＝＝．又∵β為銳角，∴β＝．故選A． 15．(2018河南濮陽一模)設(shè)0<α<90，若sin(75＋2α)＝－，則sin(15＋α)sin(75－α)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　B 解析　因為0<α<90，所以75<75＋2α<255．又因為sin(75＋2α)＝－<0，所以180<75＋2α<255，角75＋2α為第三象限角，所以cos(75＋2α)＝－．所以sin(15＋α)sin(75－α)＝sin(15＋α)cos(15＋α)＝sin(30＋2α)＝sin[(75＋2α)－45]＝ [sin(75＋2α)cos45－cos(75＋2α)sin45]＝－＋＝，故選B． 16．(2018湖南湘東五校聯(lián)考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，則log 2等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　由sin(α＋β)＝，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，① 由sin(α－β)＝，得sinαcosβ－cosαsinβ＝，② 由①②可得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝． 所以＝＝＝5． 所以log 2＝log 25＝4，故選C． 17．(2018河北、河南兩省重點中學4月聯(lián)考)已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且α＋與β的終邊相同，則的值為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　已知等式可化為atanα＋b＝atanβ－btanαtanβ，即b(1＋tanαtanβ)＝a(tanβ－tanα)，∴＝＝tan(β－α)，又∵α＋與β的終邊相同，即β＝2kπ＋α＋(k∈Z)，∴tan(β－α)＝tan2kπ＋＝tan＝，即＝，故選B． 18．(2018湖北八校第一次聯(lián)考)已知3π<θ<4π，且＋＝，則θ＝(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 答案　D 解析　∵3π<θ<4π，∴<<2π， ∴cos>0，sin<0， ∴＋＝＋＝cos－sin＝cos＋＝，∴cos＋＝，∴＋＝＋2kπ，k∈Z或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ，k∈Z或θ＝－＋4kπ，k∈Z， 又∵3π<θ<4π，∴θ＝或．故選D． 一、高考大題 1．(2015廣東高考)已知tanα＝2． (1)求tanα＋的值； (2)求的值． 解　(1)因為tanα＝2， 所以tanα＋＝＝＝－3． (2)因為tanα＝2， 所以 ＝ ＝ ＝＝＝1． 二、模擬大題 2．(2018咸陽質(zhì)檢)已知角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點P(－3，)． (1)求sin2α－tanα的值； (2)若函數(shù)f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函數(shù)g(x)＝f－2f2(x)在區(qū)間上的取值范圍． 解　(1)∵角α的終邊經(jīng)過點P(－3，)， ∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－． ∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－． (2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R， ∴g(x)＝cos－2cos2x ＝sin2x－1－cos2x＝2sin－1， ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤． ∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1， 故函數(shù)g(x)＝f－2f2(x)在區(qū)間上的取值范圍是[－2，1]． 3．(2018南昌調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝cosxsinx＋－sinx＋＋． (1)若f＝，0<θ<，求tanθ的值； (2)求f(x)的最小正周期及函數(shù)g(x)＝f的單調(diào)增區(qū)間． 解　f(x)＝cosx＋ ＝cosx＋ ＝cosx＋ ＝sinxcosx－cos2x＋ ＝sin2x－cos2x－＋ ＝sin2x－cos2x ＝sin． (1)由于f＝， 所以sin＝， 即cosθ＝，所以cosθ＝． 又θ∈，所以sinθ＝＝， 從而tanθ＝＝． (2)f(x)的最小正周期T＝＝π． 又g(x)＝f＝sin ＝－sin， 令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z， 故g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(k∈Z)． 4．(2018豫南九校4月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin－2x－2sinx－cosx＋． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若x∈，，且F(x)＝－4λf(x)－cos4x－的最小值是－，求實數(shù)λ的值． 解　(1)∵f(x)＝sin－2x－2sinx－cosx＋＝cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx) ＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x ＝cos2x＋sin2x－cos2x ＝sin2x－， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 kπ－，kπ＋(k∈Z)． (2)F(x)＝－4λf(x)－cos4x－ ＝－4λsin2x－－1－2sin22x－ ＝2sin22x－－4λsin2x－－1 ＝2sin2x－－λ2－1－2λ2． ∵x∈，，∴0≤2x－≤， ∴0≤sin2x－≤1． ①當λ<0時，當且僅當sin2x－＝0時，f(x)取得最小值，最小值為－1，這與已知不相符； ②當0≤λ≤1時，當且僅當sin2x－＝λ時，f(x)取得最小值，最小值為－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝－(舍去)或λ＝； ③當λ>1時，當且僅當sin2x－＝1時，f(x)取得最小值，最小值為1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，這與λ>1矛盾．綜上所述，λ＝．