（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)22 4.7 正弦定理和余弦定理夯基提能作業(yè).docx

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4.7　正弦定理和余弦定理 A組　基礎(chǔ)題組 1.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,若a,b,c成等差數(shù)列,∠B=30,△ABC 的面積為32,則b=(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.1+32 B.1+3 C.2+32 D.2+3 答案　B　由條件知12acsin B=32,得ac=6,又a+c=2b,則由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-3ac,即b2=4b2-12-63,解得b1=b2=1+3. 2.如圖,正三棱錐P-ABC的所有棱長(zhǎng)都為4.點(diǎn)D,E,F分別在棱PA,PB,PC上,則滿足DE=EF=3,DF=2的△DEF的個(gè)數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C　令PD=x,PE=y,PF=z,則x2+y2-xy=9,y2+z2-zy=9,z2+x2-xz=4,當(dāng)x=z時(shí),x=z=2,y=1+6,當(dāng)x≠z時(shí),有兩解. 3.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)在△ABC中,BC=2,AC=22,則A的最大值是(　　) A.30 B.45 C.60 D.90 答案　B　由余弦定理,知cos A=c2+8-42c22=142c+4c≥22(當(dāng)且僅當(dāng)c=2時(shí),取等號(hào)),故A的最大值為45,故選B. 4.(2017浙江臺(tái)州調(diào)研)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=1,2b-3c=2acos C,sin C=32,則△ABC的面積為(　　) A.32 B.34 C.32或34 D.3或32 答案　C　由正弦定理知,2sin B-3sin C=2sin Acos C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以cos A=32,故A=30. 因?yàn)閟in C=32,所以C=60或C=120. 當(dāng)C=60時(shí),B=90,由asinA=csinC,得c=3,故S=12311=32; 當(dāng)C=120時(shí),B=30,此時(shí)b=a=1,故S=1211sin 120=34.故選C. 5.(2018杭州高三期末)設(shè)點(diǎn)P在△ABC的BC邊所在的直線上從左到右運(yùn)動(dòng),設(shè)△ABP與△ACP的外接圓面積之比為λ,當(dāng)點(diǎn)P不與B,C重合時(shí)(　　) A.λ先變小再變大 B.當(dāng)M為線段BC中點(diǎn)時(shí),λ最大 C.λ先變大再變小 D.λ是一個(gè)定值 答案　D　設(shè)△ABP與△ACP的外接圓半徑分別為r1,r2,則2r1=ABsin∠APB,2r2=ACsin∠APC,因?yàn)椤螦PB+∠APC=180,所以sin∠APB=sin∠APC,所以r1r2=ABAC,所以λ=r12r22=AB2AC2.故選D. 6.已知a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,其面積滿足S△ABC=14a2,則cb的最大值為(　　) A.2-1 B.2 C.2+1 D.2+2 答案　C　根據(jù)題意,有S△ABC=14a2=12bcsin A,應(yīng)用余弦定理,可得b2+c2-2bccos A=2bcsin A,令t=cb,于是t2+1-2tcos A=2tsin A.于是2tsin A+2tcos A=t2+1,所以22sinA+π4=t+1t,從而t+1t≤22,解得t的最大值為2+1. 7.(2017浙江測(cè)試)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若a=23,C=π3,tan A=34,則sin A=　　　　,b=　　　　. 答案　35;4+3 解析　由tan A=34得sin A=35,cos A=45,由正弦定理,得c=sinCsinAa=5,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,∴b=acos C+ccos A=4+3. 8.(2017浙江名校協(xié)作體)已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積.若a=4,b=5,C=2A,則c=　　　　,S=　　　　. 答案　6;1574 解析　由題意可知,asinA=bsinB=bsin(π-3A)=bsin3A, 所以asin 3A=bsin A, 即4(3sin A-4sin3A)=5sin A, 整理得7=16sin2A, 從而cos2A=916,即cos A=34. 由正弦定理得,c=sinCsinAa=2cos Aa=6. ∴S=12bcsin A=125674=1574. 9.(2018杭州七校高三聯(lián)考)設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊依次為a、b、c,若△ABC的面積為S,且S=a2-(b-c)2,則sinA1-cosA=　　　　. 答案　4 解析　因?yàn)椤鰽BC的面積為S,且S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=12bcsin A, 所以由余弦定理可得-2bccos A+2bc=12bcsin A, 所以4-4cos A=sin A, 所以sinA1-cosA=4-4cosA1-cosA=4. 10.(2017浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知csin A=3acos C,則C=　　　　;若c=31,△ABC的面積為332,則a+b=　　　　. 答案　π3;7 解析　由正弦定理可得sin Csin A=3sin Acos C, 因?yàn)閟in A≠0,所以tan C=3,所以C=π3. 由12absin C=332,得ab=6. 又由余弦定理得(31)2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab, 所以a+b=7. 11.(2017浙江臺(tái)州質(zhì)量評(píng)估)已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=2a,3cos B=2cos A,c=3+1,則△ABC的面積為　　　　. 答案　3+12 解析　由3cos B=2cos A,得 3a2+c2-b22ac=2b2+c2-a22bc, 又b=2a,c=3+1,所以上式可化簡(jiǎn)為a2=3-13+1c2=2, 所以a=2,b=2. 所以cos B=a2+c2-b22ac=22,所以sin B=1-cos2B=22. 故△ABC的面積S=12acsin B=122(3+1)22=3+12. 12.(2017浙江寧波期末)已知△ABC的三邊分別為a,b,c,且a2+c2=b2+ac,則邊b所對(duì)的角B為　　　　;此時(shí),若b=23,則ABAC的最大值為　　　　. 答案　π3;6+43 解析　由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=12,∴B=π3, 由正弦定理得c=bsinCsinB=4sin C. ∴ABAC=bccos A=83sin Ccos A,又C=2π3-A, ∴ABAC=8332cosA+12sinAcos A=12cos2A+43sin Acos A=6(1+cos 2A)+23sin 2A=6+43sin2A+π3. ∵00, 所以sin B=32, 因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形,所以B=π3. (2)已知b=3,則3=a2+c2-2accosπ3 =a2+c2-ac=(a+c)2-3ac, 所以a+c=23, 所以三角形ABC的周長(zhǎng)為33. 15.已知f(x)=sin x(cos x+sin x)-1,x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知f(A)=0,a=1,求a2+b2+c2的取值范圍. 解析　(1)f(x)=sin xcos x+sin2x-1=12sin 2x+1-cos2x2-1=22sin2x-π4-12. 令π2+2kπ≤2x-π4≤2kπ+3π2(k∈Z), 得3π8+kπ≤x≤kπ+7π8(k∈Z). 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為3π8+kπ,7π8+kπ(k∈Z). (2)由f(A)=0得sin2A-π4=22. ∵A∈0,π2,∴2A-π4∈-π4,3π4, ∴2A-π4=π4, ∴A=π4. 易得bc=asinA2sin Bsin C=2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)-cos(π-A)=22+cos(B-C),又在銳角△ABC中,A=π4,故B-C∈-π4,π4,bc∈2,1+22, 又cos A=b2+c2-a22bc,∴b2+c2-a2=2bc, ∴a2+b2+c2=2bc+2∈(4,3+2]. B組　提升題組 1.(2018金華東陽二中高三調(diào)研)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,則tan A的值是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-22 B.-2 C.22 D.2 答案　C　在△ABC中,由余弦定理得 ccos A+acos C=cb2+c2-a22bc+aa2+b2-c22ab=b. 所以3bcos A=ccos A+acos C=b, 兩邊約去b,得3cos A=1,所以cos A=13>0, 所以A為銳角,且sin A=1-cos2A=223, 因此,tan A=sinAcosA=22. 2.若滿足條件AB=3,C=π3的三角形ABC有兩個(gè),則邊BC的長(zhǎng)的取值范圍是(　　) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,2) D.(2,2) 答案　C　設(shè)BC=a,∵C=π3,AB=3, 由正弦定理得ABsinC=BCsinA,即332=asinA,∴sin A=a2. 由題意得,當(dāng)A∈π3,2π3且A≠π2時(shí),滿足條件的△ABC有兩個(gè),∴32

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