2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3.1-2.3.2 第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案 蘇教版必修5.docx

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第2課時　等比數(shù)列的性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項公式.2.熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).3.系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法． 知識點一　等比數(shù)列的性質(zhì) 思考　在等比數(shù)列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N*)是否成立？ 答案　∵a5＝a1q4，a9＝a1q8， ∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，∴a＝a1a9成立． 同理a＝a3a7成立，a＝an－2an＋2也成立． 梳理　一般地，在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝s＋t，則有aman＝asat(m，n，s，t∈N*)． 若m＋n＝2k，則aman＝a(m，n，k∈N*)． 知識點二　由等比數(shù)列衍生的等比數(shù)列 思考　等比數(shù)列{an}的前4項為1,2,4,8，下列判斷正確的是 (1){3an}是等比數(shù)列； (2){3＋an}是等比數(shù)列； (3)是等比數(shù)列； (4){a2n}是等比數(shù)列． 答案　由定義可判斷出(1)，(3)，(4)正確． 梳理　(1)在等比數(shù)列{an}中按序號從小到大取出若干項：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差數(shù)列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比數(shù)列． (2)如果{an}，{bn}均為等比數(shù)列，那么數(shù)列，{anbn}，，{|an|}是等比數(shù)列． 1．a(chǎn)n＝amqn－m(n，m∈N*)，當(dāng)m＝1時，就是an＝a1qn－1.(√) 2．在等比數(shù)列{an}中，若公比q<0，則{an}一定不是單調(diào)數(shù)列．(√) 3．若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則{an＋bn}是等比數(shù)列．() 類型一　等比數(shù)列通項公式的推廣應(yīng)用 例1　在等比數(shù)列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)若{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通項公式an. 考點　等比數(shù)列的通項公式 題點　已知數(shù)列為等比數(shù)列求通項公式 解　(1)∵＝q7－4＝，即q3＝4，∴q＝， ∴an＝a4qn－4＝2()n－4＝2＝. (2)由a＝a10＝a5q10－5，且a5≠0， 得a5＝q5，即a1q4＝q5，又q≠0，∴a1＝q. 由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan， ∵an≠0， ∴2(1＋q2)＝5q，解得q＝或q＝2. ∵a1＝q，且{an}為遞增數(shù)列， ∴ ∴an＝22n－1＝2n. 反思與感悟　(1)應(yīng)用an＝amqn－m，可以憑借任意已知項和公比直接寫出通項公式，不必再求a1. (2)等比數(shù)列的單調(diào)性由a1，q共同確定，但只要單調(diào)，必有q>0. 跟蹤訓(xùn)練1　(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＝4，a7＝16，則a5＝________； (2)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為__________． 考點　等比數(shù)列的通項公式 題點　已知數(shù)列為等比數(shù)列求通項公式 答案　(1)8　(2)64 解析　(1)∵＝q7－3＝q4＝＝4，∴q2＝2. ∴a5＝a3q5－3＝4q2＝42＝8. (2)設(shè)該等比數(shù)列{an}的公比為q， ∴即解得 ∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4) ＝， 當(dāng)n＝3或4時，取得最小值－6， 此時取得最大值26， ∴a1a2…an的最大值為64. 類型二　等比數(shù)列的性質(zhì) 命題角度1　序號的數(shù)字特征 例2　已知{an}為等比數(shù)列． (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　利用項數(shù)的規(guī)律解題 解　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5. (2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10) ＝log395＝10. 反思與感悟　抓住各項序號的數(shù)字特征，靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)，可以順利地解決問題． 跟蹤訓(xùn)練2　在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a3a5＝4，則a1a2a3a4a5a6a7＝________. 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　等比數(shù)列各項積的問題 答案　128 解析　∵a3a5＝a＝4，an>0，∴a4＝2. ∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4 ＝432＝128. 命題角度2　未知量的設(shè)法技巧 例3　有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)． 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　等比數(shù)列的性質(zhì)的其他應(yīng)用問題 解　方法一　設(shè)這四個數(shù)依次為a－d，a，a＋d，， 由條件得解得或 所以當(dāng)a＝4，d＝4時，所求的四個數(shù)為0,4,8,16； 當(dāng)a＝9，d＝－6時，所求的四個數(shù)為15,9,3,1. 故所求的四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二　設(shè)這四個數(shù)依次為－a，，a，aq(q≠0)， 由條件得解得或 當(dāng)a＝8，q＝2時，所求的四個數(shù)為0,4,8,16； 當(dāng)a＝3，q＝時，所求的四個數(shù)為15,9,3,1. 故所求的四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1. 反思與感悟　合理地設(shè)出未知數(shù)是解決此類問題的技巧．一般地，三個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為，a，aq；三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a－d，a，a＋d.若四個同號的數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為，，aq，aq3；四個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 跟蹤訓(xùn)練3　有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項和為21，中間兩項和為18，求這四個數(shù)． 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　等比數(shù)列的性質(zhì)的其他應(yīng)用問題 解　設(shè)這四個數(shù)分別為x，y,18－y,21－x， 則由題意得 解得或 故所求的四個數(shù)為3,6,12,18或，，，. 1．在等比數(shù)列{an}中，a2＝8，a5＝64，則公比q為________． 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　求等比數(shù)列公比 答案　2 解析　由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2. 2．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a1a10＝27，則log3a2＋log3a9＝________. 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　等比數(shù)列的性質(zhì)與對數(shù)運算綜合 答案　3 解析　因為a2a9＝a1a10＝27， 所以log3a2＋log3a9＝log327＝3. 3．在1與2之間插入6個正數(shù)，使這8個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的6個數(shù)的積為________． 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　等比數(shù)列各項積的問題 答案　8 解析　設(shè)這8個數(shù)組成的等比數(shù)列為{an}， 則a1＝1，a8＝2. 插入的6個數(shù)的積為a2a3a4a5a6a7 ＝(a2a7)(a3a6)(a4a5) ＝(a1a8)3＝23＝8. 4．已知an＝2n＋3n，判斷數(shù)列{an}是不是等比數(shù)列？ 考點　等比數(shù)列的判定 題點　判斷數(shù)列為等比數(shù)列 解　不是等比數(shù)列． ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a，∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列． 1．解題時，應(yīng)該首先考慮通式通法，而不是花費大量時間找簡便方法． 2．所謂通式通法，指應(yīng)用通項公式，前n項和公式，等差中項，等比中項等列出方程(組)，求出基本量． 3．巧用等比數(shù)列的性質(zhì)，減少計算量，這一點在解題中也非常重要． 一、填空題 1．在等比數(shù)列{an}中，a2015＝8a2012，則公比q的值為______． 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　求等比數(shù)列公比 答案　2 解析　∵a2015＝8a2012＝a2012q3， ∴q3＝8，∴q＝2. 2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，點(an，an＋1)在直線y＝2x上，則a4的值為________． 考點　等比數(shù)列的判定 題點　判斷數(shù)列為等比數(shù)列 答案　8 解析　點(an，an＋1)在直線y＝2x上，∴an＋1＝2an， ∵a1＝1≠0，∴an≠0，∴{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴a4＝123＝8. 3．已知在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1a15的值為________． 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　利用項數(shù)的規(guī)律解題 答案　10000 解析　∵lg(a3a8a13)＝lga＝6， ∴a＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a＝10000. 4．在正項等比數(shù)列{an}中，an＋10，∴q>0，q＝1＋. ∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2. 8．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________. 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　利用項數(shù)的規(guī)律解題 答案　18 解析　由題意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3. ∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝32＝18. 9．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2＝________. 考點　等比中項 題點　利用等比中項解題 答案?。? 解析　由題意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6. ∵a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴a＝a1a4， ∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6. 10．在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，則a41a42a43a44＝________. 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　等比數(shù)列各項積的問題 答案　1024 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， a1a2a3a4＝a1a1qa1q2a1q3＝aq6＝1，① a13a14a15a16＝a1q12a1q13a1q14a1q15＝aq54＝8，② ②①得q48＝8，q16＝2， ∴a41a42a43a44＝a1q40a1q41a1q42q1q43＝aq166＝aq6q160＝(aq6)(q16)10＝210＝1024. 11．已知在等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9＝________. 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　利用項數(shù)的規(guī)律解題 答案　8 解析　由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a11＝a，∴a＝4a7. ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4. 再由等差數(shù)列的性質(zhì)知b5＋b9＝2b7＝8. 二、解答題 12．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求{an}的通項公式． 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　利用基本量法解題 解　設(shè){an}的公差為d. 由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3. 由S1，S2，S4成等比數(shù)列，得S＝S1S4. 又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d， 故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)． 若a2＝0，則d2＝－2d2， 所以d＝0，此時Sn＝0，不合題意； 若a2＝3，則(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d＝0或d＝2. 因此{(lán)an}的通項公式為an＝3或an＝2n－1，n∈N*. 13．在等比數(shù)列{an}(n∈N*)中，a1＞1，公比q＞0.設(shè)bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求{bn}的前n項和Sn及{an}的通項an； (3)試比較an與Sn的大小． 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　等比數(shù)列的性質(zhì)與對數(shù)運算綜合 (1)證明　因為bn＝log2an， 所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2 ＝log2q(q＞0)為常數(shù)， 所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列且公差d＝log2q. (2)解　因為b1＋b3＋b5＝6， 所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2. 又因為a1＞1，所以b1＝log2a1＞0， 又因為b1b3b5＝0，所以b5＝0， 即即解得 因此Sn＝4n＋(－1)＝. 又因為d＝log2q＝－1， 所以q＝，b1＝log2a1＝4，即a1＝16， 所以an＝25－n(n∈N*)． (3)解　由(2)知，an＝25－n＞0， 當(dāng)n≥9時，Sn＝≤0，所以當(dāng)n≥9時，an＞Sn. 又因為a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝， a7＝，a8＝， S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7， S8＝4， 所以當(dāng)n＝3,4,5,6,7,8時，an0，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，則當(dāng)n≥3時，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝______. 考點　等比數(shù)列的性質(zhì) 題點　等比數(shù)列的性質(zhì)與對數(shù)運算綜合 答案　n2 解析　log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2(a1a2n－1)＝log2(a5a2n－5)＝log2＝＝n2. 15．在等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比數(shù)列，已知數(shù)列a1，a3，，，…，，…也成等比數(shù)列，求數(shù)列{kn}的通項公式． 考點　等比數(shù)列基本量的計算 題點　利用基本量法解題 解　由題意得a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 得d(d－a1)＝0，又d≠0，∴a1＝d.又a1，a3，，，…，，…成等比數(shù)列，∴該數(shù)列的公比q＝＝＝3， ∴＝a13n＋1.又＝a1＋(kn－1)d＝kna1， ∴數(shù)列{kn}的通項公式為kn＝3n＋1.