（浙江專用）2019高考數學二輪復習精準提分 第三篇 滲透數學思想提升學科素養(yǎng)（四）審題路線中尋求解題策略試題.docx

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4審題路線中尋求解題策略 審題是解題的前提，只有認真閱讀題目，提煉關鍵信息，明確題目的條件與結論，才能通過分析、推理啟發(fā)解題思路，選取適當的解題方法．最短時間內把握題目條件與結論間的聯系是提高解題效率的保障．審題不僅存在于解題的開端，還要貫穿于解題思路的全過程和解答后的反思回顧．正確的審題要多角度地觀察，由表及里，由條件到結論，由數式到圖形，洞察問題實質，選擇正確的解題方向．事實上，很多考生往往對審題掉以輕心，或不知從何處入手進行審題，致使解題失誤而丟分．下面結合實例，教你正確的審題方法，制作一張漂亮的“審題路線圖”，助你尋求解題策略． 題目的條件是解題的主要素材，條件有明示的，也有隱含的，審視條件時更重要的是充分挖掘每一個條件的內涵和隱含信息，對條件進行再認識、再加工，注意已知條件中容易疏忽的隱含信息、特殊情形，明晰相近概念之間的差異，發(fā)揮隱含條件的解題功能 1．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且＝－. (1)求B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積． 審題路線圖 →→ 解　(1)由余弦定理知，cosB＝， cosC＝， 將上式代入＝－，得 ＝－， 整理得a2＋c2－b2＝－ac， ∴cosB＝＝＝－. ∵B為三角形的內角，∴B＝. (2)將b＝，a＋c＝4，B＝ 代入b2＝a2＋c2－2accosB， 得13＝42－2ac－2accos， 解得ac＝3. ∴S△ABC＝acsinB＝. 解題的最終目標就是求出結論或說明已給結論正確或錯誤，因而解題的思維過程大多都是圍繞著結論這個目標進行定向思考的.審視結論，就是在結論的啟發(fā)下，探索已知條件和結論之間的內在聯系和轉化規(guī)律.善于從結論中捕捉解題信息，善于對結論進行轉化，使之逐步靠近已知條件，從而發(fā)現和確定解題方向. 2．已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. 審題路線圖 ―→ 答案?。? 解析　∵sin＝>0， 且θ是第四象限角，易知cos＝， ∵θ－＝θ＋－， ∴sin＝sin ＝－cos＝－， cos＝cos ＝sin＝， ∴tan＝－. 3．在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝4，∠ACB＝90，E為AC邊上的點，D是AB邊的中點，點O為BE與CD的交點，且AE＝2EC，沿CD把△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD. (1)求證：平面EOB⊥平面BCD； (2)求直線AB與平面ACD所成角的正弦值． 審題路線圖 (1)―→―→ ―→ (2)―→―→―→ (1)證明　∵BC＝2，BA＝4，∠ACB＝90，D為AB邊的中點， ∴AC＝2，△BCD為等邊三角形． 又AE＝2EC，∴EC＝， ∴tan∠CBE＝， ∴∠CBE＝30， ∵BC＝CD＝DB， ∴OB⊥CD，OE⊥CD. 又OB∩OE＝O，OB，OE?平面BOE， ∴CD⊥平面BOE.又CD?平面BCD， ∴平面BCD⊥平面BOE. (2)解　連接OA.由(1)可知OB⊥平面ACD， 則∠BAO就是直線AB與平面ACD所成的角， 在△ADO中，OD＝1，AD＝2，∠ADO＝120， ∴OA＝＝， 又OB＝，∠BOA＝90， ∴AB＝， ∴sin∠BAO＝＝＝. 故直線AB與平面ACD所成角的正弦值為. 在一些數學高考試題中，問題的條件往往是以圖形的形式給出，或將條件隱含在圖形之中，因此在審題時，要善于觀察圖形，洞悉圖形所隱含的特殊關系、數值的特點、變化的趨勢.抓住圖形的特征，運用數形結合的數學思想方法，是破解題目的關鍵. 4．函數y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為(　　) 審題路線圖 ―→―→―→ 答案　D 解析　y＝f(x)＝2x2－e|x|為偶函數，當x>0時，f′(x)＝4x－ex，作y＝4x 與y＝ex的圖象如圖所示，故存在實數x0∈(0,1)，使得f′(x0)＝0，則當x∈(0，x0)時，f′(x0)<0，當x∈(x0，2)時，f′(x0)>0，所以f(x)在(0，x0)內單調遞減，在(x0，2)內單調遞增，又f(2)＝8－e2≈8－7.4＝0.6，故選D. 5.如圖，在半徑為r的定圓C中，A為圓上的一個定點，B為圓上的一個動點，若＋＝，且點D在圓C上，則＝________. 審題路線圖 ―→ ―→ 答案　 解析　根據向量加法的平行四邊形法則知， 四邊形ABDC為平行四邊形， 而||＝||＝||＝||＝r， ∴△ABC為正三角形， ∴＝. 數學問題中的條件和結論，很多都是以數式的結構形式進行搭配和呈現.在這些問題的數式結構中，往往都隱含著某種特殊關系，認真審視數式的結構特征，對數式結構進行深入分析，加工轉化，和我們熟悉的數學結構聯想比對，就可以尋找到解決問題的方案. 6．設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項公式； (2)求數列的前n項和． 審題路線圖 (1) (2) 解　(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 所以當n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 兩式相減，得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2)． 又由題設可得a1＝2，滿足上式， 所以{an}的通項公式為an＝(n∈N*)． (2)記的前n項和為Sn， 由(1)知＝＝－， 則Sn＝－＋－＋…＋－＝(n∈N*)． 審題不僅要從宏觀上、整體上去分析、去把握，還要更加注意審視一些細節(jié)上的問題.例如括號內的標注、數據的范圍、圖象的特點等.因為標注、范圍大多是對數學概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制條件，審視細節(jié)能適時地利用相關量的約束條件，調整解決問題的方向.所以說重視審視細節(jié)，更能體現審題的深刻性. 7．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F(－2,0)，離心率為. (1)求橢圓C的標準方程； (2)設O為坐標原點，T為直線x＝－3上一點，過F作TF的垂線交橢圓于P，Q兩點．當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積． 審題路線圖 (1)―→―→―→ (2)→→→→ 解　(1)由已知可得，＝，c＝2， 所以a＝. 又由a2＝b2＋c2，解得b＝， 所以橢圓C的標準方程是＋＝1. (2)設T點的坐標為(－3，m)， 則直線TF的斜率kTF＝＝－m. 當m≠0時，直線PQ的斜率kPQ＝，直線PQ的方程是x＝my－2. 當m＝0時，直線PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式． 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 聯立消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0， 其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. 所以y1＋y2＝，y1y2＝， x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝. 因為四邊形OPTQ是平行四邊形， 所以＝，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)． 所以 解得m＝1. 此時，四邊形OPTQ的面積 S四邊形OPTQ＝2S△OPQ＝2|OF||y1－y2|＝2＝2.