（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 課時11 2.9 函數模型及其應用夯基提能作業(yè).docx

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2.9　函數模型及其應用 A組　基礎題組 1.小明騎車上學,開始時勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時間,后來為了趕時間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是(　　) 答案　C　小明勻速運動時,所得圖象為一條直線,且距離學校越來越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段時間,與學校的距離不變,故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛,故排除B.故選C. 2.某工廠6年來生產某種產品的情況是:前3年年產量的增長速度越來越快,后3年的年產量保持不變,將該廠6年來這種產品的總產量C與時間t(年)的函數關系用圖象表示,正確的是(　　) 答案　A　依題意,前3年年產量的增長速度越來越快,說明總產量C的增長速度越來越快,只有選項A中的圖象符合要求,故選A. 3.(2018臨沂模擬)某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊夾角為60(如圖),考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設計其橫斷面要求面積為93平方米,且高度不低于3米.記防洪堤橫斷面的腰長為x米,外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米.要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米,則其腰長x的范圍為(　　) A.[2,4] B.[3,4] C.[2,5] D.[3,5] 答案　B　根據題意知,93=12(AD+BC)h,其中AD=BC+2x2=BC+x,h=32x,所以93=12(2BC+x)32x,得BC=18x-x2,由h=32x≥3,BC=18x-x2>0,得2≤x<6,所以y=BC+2x=18x+3x2(2≤x<6),由18x+3x2≤10.5,解得3≤x≤4.因為[3,4]?[2,6),所以腰長x的范圍是[3,4]. 4.加工爆米花時,爆開且不煳的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時間t(單位:分鐘)滿足函數關系p=at2+bt+c(a,b,c是常數),下圖記錄了三次實驗的數據.根據上述函數模型和實驗數據,可以得到最佳加工時間為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.3.50分鐘 B.3.75分鐘 C.4.00分鐘 D.4.25分鐘 答案　B　由已知得9a+3b+c=0.7,16a+4b+c=0.8,25a+5b+c=0.5,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2, ∴p=-0.2t2+1.5t-2=-15t-1542+1316, ∴當t=154=3.75時p最大, 即最佳加工時間為3.75分鐘.故選B. 5.某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等,甲食堂的營業(yè)額逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的營業(yè)額也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知該年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等,則該年5月份(　　) A.甲食堂的營業(yè)額較高 B.乙食堂的營業(yè)額較高 C.甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同 D.不能確定甲、乙哪個食堂的營業(yè)額較高 答案　A　設甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m,甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a>0),乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x(x>0),由題意可得,m+8a=m(1+x)8,則5月份甲食堂的營業(yè)額y1=m+4a,乙食堂的營業(yè)額y2=m(1+x)4=m(m+8a),因為y12-y22=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故5月份甲食堂的營業(yè)額較高. 6.調查表明,酒后駕駛是導致交通事故的重要原因,交通法規(guī)規(guī)定,駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量將上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小時50%的速度減少,則至少經過　　　　小時他才可以駕駛機動車.(精確到小時) 答案　4 解析　設n小時后他可以駕駛機動車,由題意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,故至少經過4小時他才可以駕駛機動車. 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 7.A、B兩艘船分別從東西方向上相距145km的甲、乙兩地開出.A船從甲地自東向西行駛,B船從乙地自北向南行駛,A船的速度是40km/h,B船的速度是16km/h,經過　　　　h,A、B兩艘船之間的距離最短. 答案　258 解析　設經過xh,A、B兩艘船之間的距離為ykm,由題意可得y=(145-40x)2+(16x)2=29(64x2-400x+725),易知當x=--400264=258時,y取得最小值,即A、B兩艘船之間的距離最短. 8.(2018杭州八校聯考)一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比,且比例系數為k,除燃料費外其他費用為每小時96元.當速度為10海里/時時,每小時的燃料費是6元.若勻速行駛10海里,則當這艘輪船的速度為　　　　海里/時時,總費用最小. 答案　40 解析　設每小時的總費用為y元,行駛10海里的總費用為W元,則y=kv2+96,又當v=10時,k102=6,解得k=0.06,所以y=0.06v2+96,又勻速行駛10海里所用的時間為10v小時,故W=10vy=10v(0.06v2+96)=0.6v+960v≥20.6v960v=48,當且僅當0.6v=960v,即v=40時等號成立.故總費用最小時輪船的速度為40海里/時. 9.某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數關系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數的底數,k,b為常數).若該食品在0℃的保鮮時間是192小時,在22℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33℃的保鮮時間是　　　　小時. 答案　24 解析　依題意有192=eb,48=e22k+b=e22keb, 所以e22k=48eb=48192=14,所以e11k=12或-12(舍去),于是該食品在33℃的保鮮時間是e33k+b=(e11k)3eb=123192=24(小時). 10.某地上年度電價為0.8元,年用電量為1億千瓦時.本年度計劃將電價調至0.55元~0.75元之間(包含0.55元和0.75元),經測算,若電價調至x元,則本年度新增用電量y(億千瓦時)與(x-0.4)(元)成反比.又當x=0.65時,y=0.8. (1)求y與x之間的函數關系式; (2)若每千瓦時電的成本為0.3元,則電價調至多少時,本年度電力部門的收益將比上年增加20%? [收益=用電量(實際電價-成本價)] 解析　(1)因為y與(x-0.4)成反比, 所以可設y=kx-0.4(k≠0), 把x=0.65,y=0.8代入上式得0.8=k0.65-0.4, 解得k=0.2,所以y=0.2x-0.4=15x-2, 則y與x之間的函數關系式為y=15x-2(0.55≤x≤0.75). (2)根據題意,得1+15x-2(x-0.3)=1(0.8-0.3)(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0.解得x1=0.5,x2=0.6, 因為x的取值范圍是[0.55,0.75], 所以x=0.5不符合題意,舍去,則x=0.6, 所以當電價調至0.6元時,本年度電力部門的收益將比上年增加20%. 11.某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區(qū)的交通現狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個端點,測得點M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標系xOy,假設曲線C符合函數y=ax2+b(其中a,b為常數)模型. (1)求a,b的值; (2)設公路l與曲線C相切于P點,P的橫坐標為t. ①請寫出公路l長度的函數解析式f(t),并寫出其定義域; ②當t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度. 解析　(1)由題意知,點M,N的坐標分別為(5,40),(20,2.5). 將其分別代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5, 解得a=1000,b=0. (2)①由(1)知,y=1000x2(5≤x≤20), 則點P的坐標為t,1000t2,y=-2000x3, 設在點P處的切線l交x,y軸分別于A,B點, l的方程為y-1000t2=-2000t3(x-t), 由此得A3t2,0,B0,3000t2. 故f(t)=3t22+3000t22=32t2+4106t4,t∈[5,20]. ②設g(t)=t2+4106t4, 則g(t)=2t-16106t5. 令g(t)=0,解得t=102. 當t∈(5,102)時,g(t)<0,g(t)是減函數; 當t∈(102,20)時,g(t)>0,g(t)是增函數. 從而,當t=102時,函數g(t)有極小值,也是最小值, 所以g(t)min=300, 此時f(t)min=153. 答:當t=102時,公路l的長度最短,最短長度為153千米. B組　提升題組 1.某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產總值的年平均增長率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.p+q2 B.(p+1)(q+1)-12 C.pq D.(p+1)(q+1)-1 答案　D　設兩年前的年底該市的生產總值為a,則第二年年底的生產總值為a(1+p)(1+q).設這兩年生產總值的年平均增長率為x,則a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于連續(xù)兩年持續(xù)增加,所以x>0,所以x=(1+p)(1+q)-1,故選D. 2.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現在人均一年占有糧食360千克,如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2%,糧食總產量平均每年增長4%,那么x年后若人均一年占有y千克糧食,則y關于x的解析式為(　　) A.y=3601.041.012x-1 B.y=3601.04x C.y=3601.04x1.012 D.y=3601.041.012x 答案　D　設該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現在人口總量為M,則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現在一年的糧食總產量為360M千克,1年后,該鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食總產量為360M(1+4%)千克,人口總量為 M(1+1.2%),則人均占有糧食360M(1+4%)M(1+1.2%)千克,2年后,人均占有糧食360M(1+4%)2M(1+1.2%)2千克,……,x年后,人均占有糧食360M(1+4%)xM(1+1.2%)x千克,即所求解析式為y=3601.041.012x. 3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是(　　) A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米 B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多 C.甲車以80km/h的速度行駛1小時,消耗10升汽油 D.某城市機動車最高限速80km/h.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油 答案　D　對于A選項:由題圖可知,當乙車速度大于40km/h時,乙車每消耗1升汽油,行駛里程都超過5km,則A錯; 對于B選項:由題意可知,以相同速度行駛相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三輛車中甲車耗油最少,則B錯; 對于C選項:甲車以80km/h的速度行駛時,燃油效率為10km/L,則行駛1小時,消耗了汽油80110=8(L),則C錯; 對于D選項:當行駛速度小于80km/h時,在相同條件下,丙車的燃油效率高于乙車,則在該市用丙車比用乙車更省油,則D對.綜上,選D. 4.某公司為了實現1000萬元銷售利潤的目標,準備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按照銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金不超過5萬元,同時獎金不超過銷售利潤的25%,則下列函數最符合要求的是(　　) A.y=14x B.y=lgx+1 C.y=32x D.y=x 答案　B　由題意知,x∈[10,1000],符合公司要求的模型需同時滿足:①函數為增函數;②函數的最大值不超過5;③y≤x25%.對于y=14x,易知滿足①,但當x>20時,y>5,不滿足要求;對于y=32x,易知滿足①,因為324>5,故當x>4時,不滿足要求;對于y=x,易知滿足①,但當x>25時,y>5,不滿足要求;對于y=lgx+1,易知滿足①,當x∈[10,1000]時,2≤y≤4,滿足②,再證明lgx+1≤x25%,即4lgx+4-x≤0,設F(x)=4lgx+4-x,則F(x)=4xln10-1<0,x∈[10,1000],所以F(x)為減函數,f(x)max=F(10)=4lg10+4-10=-2<0,滿足③,故選B. 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 5.(2019湯溪中學月考)某遠程教育網推出兩種上網學習卡收取傭金的方案:A方案是先收取20元學習傭金,再按上網學習的累計時間收取傭金,B方案是直接按上網學習的累計時間收取傭金.已知一個月的學習累計時間t(小時)與上網費用s(元)的函數關系如圖所示,則當累計學習150小時時,這兩種方案收取的傭金相差　　　　元. 答案　10 解析　設A方案對應的函數解析式為s1=k1t+20,B方案對應的函數解析式為s2=k2t,當t=100時,100k1+20=100k2,∴k2-k1=15,當t=150時,150k2-150k1-20=15015-20=10. 6.(2018遼寧撫順模擬)食品安全問題越來越引起人們的重視,農藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來了一定的危害,為了給消費者帶來放心的蔬菜,某農村合作社每年投入200萬元,搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據以往的種菜經驗,發(fā)現種西紅柿的年收入P(單位:萬元)、種黃瓜的年收入Q(單位:萬元)與投入a(單位:萬元)滿足P=80+42a,Q=14a+120,設甲大棚的投入為x(單位:萬元),每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位:萬元). (1)求f(50)的值; (2)如何安排甲、乙兩個大棚的投入,才能使總收益f(x)最大? 解析　(1)∵甲大棚投入了50萬元, ∴乙大棚投入了150萬元, ∴f(50)=80+4250+14150+120=277.5. (2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250, 依題意得x≥20,200-x≥20?20≤x≤180, 故f(x)=-14x+42x+250(20≤x≤180). 令t=x,則t∈[25,65], f(t)=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282, 當t=82,即x=128時,f(x)max=282. 所以甲大棚投入128萬元,乙大棚投入72萬元時,總收益最大,且最大收益為282萬元.