（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第22練 直線與圓的綜合問題試題 理.docx

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第22練　直線與圓的綜合問題 [明晰考情]　1.命題角度：求直線方程或圓的方程，直線、圓的位置關(guān)系.2.題目難度：圓的方程要求較高，試題難度中檔或偏上. 考點(diǎn)一　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 方法技巧　當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長(zhǎng)一般要用切線、半徑及圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形；與圓相交時(shí)，弦長(zhǎng)的計(jì)算也要用弦心距、半徑及弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形. 1.(2018常熟月考)已知圓C經(jīng)過A(－2，1)，B(5，0)兩點(diǎn)，且圓心C在直線y＝2x上. (1)求圓C的方程； (2)動(dòng)直線l: (m＋2)x＋(2m＋1)y－7m－8＝0過定點(diǎn)M，斜率為1的直線m過點(diǎn)M，直線m和圓C相交于P, Q兩點(diǎn)，求PQ的長(zhǎng)度. 解　(1)設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則 解得D＝－4, E＝－8, F＝－5， ∴圓C的方程為x2＋y2－4x－8y－5＝0. (2)動(dòng)直線l的方程為(x＋2y－7)m＋2x＋y－8＝0， 則解得 ∴動(dòng)直線l過定點(diǎn)M， ∴直線m: y＝x－1， ∴圓心C到m的距離為， ∴PQ的長(zhǎng)為2＝. 2.(2018江蘇省揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知圓M的方程為x2＋2＝1，直線l的方程為x－2y＝0，點(diǎn)P在直線l上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B. (1)若∠APB＝60，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為，過P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD＝時(shí)，求直線CD的方程. 解　(1)設(shè)P(2m，m)，由條件可知MP＝2， 所以(2m)2＋(m－2)2＝4， 解得m＝0, m＝， 故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)或. (2)由題意知直線CD的斜率存在，設(shè)斜率為k， 則直線CD的方程為y－1＝k(x－2)， 由題意知圓心M到直線CD的距離為， 所以＝，解得k＝－1或－. 故所求直線CD的方程為x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0. 3.(2018泰州市姜堰區(qū)質(zhì)檢)已知圓C：(x－4)2＋(y－1)2＝4，直線l：2mx－(3m＋1)y＋2＝0. (1)求證：直線l過定點(diǎn)； (2)求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)m的值； (3)已知點(diǎn)M(4，5)，在直線MC上(C為圓心)存在定點(diǎn)N(異于點(diǎn)M)滿足：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù). (1)證明　依題意得，m(2x－3y)＋(2－y)＝0. 令2x－3y＝0且2－y＝0，得x＝3，y＝2， ∴直線l過定點(diǎn)A(3,2). (2)解　當(dāng)AC⊥l時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短， 由題意知C(4,1)，r＝2， ∴kAC＝＝－1，得kl＝＝＝1， ∴由＝1，得m＝－1. (3)解　由題意知，直線MC的方程為x＝4，假設(shè)存在定點(diǎn)N(4，t)滿足題意， 則設(shè)P(x，y)，＝λ，得PM2＝λ2PN2 (λ>0)，且(x－4)2＝4－(y－1)2， ∴ 4－(y－1)2＋(y－5)2＝4λ2－λ2(y－1)2＋λ2(y－t)2， 整理得[(2－2t)λ2＋8]y＋(3＋t2)λ2－28＝0. ∵上式對(duì)任意y∈[－1，3]恒成立，∴ (2－2t)λ2＋8＝0且(3＋t2)λ2－28＝0， 即得t2－7t＋10＝0 ，∴t＝2，t＝5(舍去，與M重合)，λ2＝4，λ＝2. 綜上可知，在直線MC上存在定點(diǎn)N(4,2)，使得為常數(shù)2. 4.已知圓M：2x2＋2y2－4y＝23，直線l0：x＋y＝8，l0上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，過點(diǎn)A作圓M的兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為B，C，D為線段BC的中點(diǎn). (1)當(dāng)a＝0時(shí)，求直線l1，l2的方程； (2)當(dāng)直線l1，l2互相垂直時(shí)，求a的值； (3)是否存在點(diǎn)A，使得BC長(zhǎng)為？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由. 解　(1)圓M：x2＋(y－1)2＝，圓心為M(0,1)，半徑為，A(0,8)，設(shè)切線的方程為y＝kx＋8， 圓心距d＝＝. ∴k＝， 所求直線l1，l2的方程為x－5y＋40＝0或x＋5y－40＝0. (2)當(dāng)l1⊥l2時(shí)，四邊形MCAB為正方形， ∴AM＝MB＝＝5. A(a,8－a)，M(0,1)，則＝5， 即a2－7a＋12＝0， ∴a＝3或a＝4. (3)若BC＝，則BD＝，MB＝， ∴MD＝， 又MB2＝MDMA， ∴MA＝. ∵圓心M到直線l0的距離為＞， ∴點(diǎn)A不存在. 考點(diǎn)二　直線與圓的綜合 方法技巧　解決直線與圓的綜合問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質(zhì)使問題簡(jiǎn)化.數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想在解決圓的有關(guān)問題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用. 5.已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0. (1)直線l1過點(diǎn)P(2,0)，被圓C截得的弦長(zhǎng)為4，求直線l1的方程； (2)直線l2的斜率為1，且l2被圓C截得的弦為AB，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線l2的方程. 解　圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心為C(1，－2) ，半徑為3， (1)∵直線l1過點(diǎn)P(2,0)， ①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，l1：x＝2， 此時(shí)l1被圓C截得的弦長(zhǎng)為4， ∴l(xiāng)1：x＝2； ②當(dāng)直線斜率存在時(shí)， 可設(shè)l1的方程為y＝k(x－2) 即kx－y－2k＝0， 由l1被圓C截得的弦長(zhǎng)為4，則圓心C到l1的距離為＝1， ∴＝1，解得k＝， ∴l(xiāng)1的方程為y＝(x－2)， 即3x－4y－6＝0， 綜上可知，l1的方程為x＝2或3x－4y－6＝0. (2)設(shè)直線l2的方程為y＝x＋b，代入圓C的方程得x2＋(x＋b)2－2x＋4(x＋b)－4＝0. 即2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0. (*) 以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，則OA⊥OB. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1x2＋y1y2＝0， 即x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0， ∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0， ∵x1,2＝＝. ∴x1＋x2＝－b－1，x1x2＝， ∴b2＋4b－4＋b(－b－1)＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0， ∴b＝－4或b＝1. 將b＝－4或b＝1代入(*)式，對(duì)應(yīng)的Δ＞0. 故直線l2：x－y－4＝0或x－y＋1＝0. 6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行于x軸且過點(diǎn)A(3，2)的入射光線l1被直線l：y＝x反射.反射光線l2交y軸于B點(diǎn)，圓C過點(diǎn)A且與l1，l2都相切. (1)求l2所在直線的方程和圓C的方程； (2)設(shè)P，Q分別是直線l和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求PB＋PQ的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 解　(1)直線l1：y＝2，設(shè)l1交l于點(diǎn)D，則D(2，2)， ∵l的傾斜角為30，∴l(xiāng)2的傾斜角為60， ∴k2＝. ∴反射光線l2所在直線的方程為y－2＝(x－2)， 即x－y－4＝0. 已知圓C與l1切于點(diǎn)A，設(shè)C(a，b)， ∵圓心C在過點(diǎn)D且與l垂直的直線上， ∴b＝－a＋8. ① 又圓心C在過點(diǎn)A且與l1垂直的直線上，∴a＝3， ② 由①②得圓C的半徑r＝3， 故所求圓C的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝9. (2)設(shè)點(diǎn)B(0，－4)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B′(x0，y0)， 則＝， 且＝－， 得B′(－2，2)，固定點(diǎn)Q可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)B′，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，PB＋PQ最小，故PB＋PQ的最小值為B′C－3， 設(shè)P(x，y)， 由解得P. ∴PB＋PQ的最小值為B′C－3＝2－3. 7.已知圓M：x2＋(y－2)2＝1，設(shè)點(diǎn)B，C是直線l：x－2y＝0上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t，t＋4(t∈R)，點(diǎn)P在線段BC上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA，切點(diǎn)為A. (1)若t＝0，MP＝，求直線PA的方程； (2)經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心是D，求線段DO長(zhǎng)的最小值L(t). 解　(1)設(shè)P(2a，a)(0≤a≤2). ∵M(jìn)(0,2)，MP＝， ∴＝. 解得a＝1或a＝－(舍去). ∴P(2,1).由題意知切線PA的斜率存在，設(shè)斜率為k. ∴直線PA的方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0. ∵直線PA與圓M相切， ∴＝1， 解得k＝0或k＝－. ∴直線PA的方程為y＝1或4x＋3y－11＝0. (2)設(shè)P(2a，a)(t≤2a≤t＋4). ∵PA與圓M相切于點(diǎn)A，∴PA⊥MA. ∴經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心D是線段MP的中點(diǎn). ∵M(jìn)(0,2)， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是. 設(shè)DO2＝f(a)， ∴f(a)＝a2＋2＝a2＋a＋1＝2＋. 當(dāng)＞－，即t＞－時(shí)，f(a)min＝f＝t2＋＋1； 當(dāng)≤－≤＋2， 即－≤t≤－時(shí)，f(a)min＝f＝； 當(dāng)＋2＜－，即t＜－時(shí)，f(a)min＝f＝2＋＋1＝t2＋3t＋8， 綜上所述，L(t)＝ 8.(2018江蘇太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)月考)已知⊙O：x2＋y2＝1和點(diǎn)M(4，m).過O作⊙M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B且直線AB的方程為4x＋2y－11＝0. (1)求⊙M的方程； (2)設(shè)P為⊙M上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P向⊙O引切線，切點(diǎn)為Q, 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得為定值？若存在，請(qǐng)舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解　(1)以O(shè)M為直徑的圓為x＋y＝0，設(shè)圓M的半徑為R， 故⊙M的方程為2＋2＝R2， ∴直線AB的方程為4x＋my－16－m2＋R2＝0， ∴解得R＝3， 故⊙M的方程為2＋2＝9. (2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R，點(diǎn)P的坐標(biāo)為， 相應(yīng)的定值為λ(λ>0)， 根據(jù)題意可得PQ＝， ∴＝λ， 即x2＋y2－1＝λ2， (*) 又點(diǎn)P為⊙M上一點(diǎn)，∴2＋2＝9，即x2＋y2＝8x＋4y－11，代入(*)式得 8x＋4y－12＝λ2， 若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則等式恒成立， ∴ 解得a＝2，b＝1，λ＝或a＝，b＝，λ＝， ∴可以找到這樣的定點(diǎn)R，使得為定值. 如點(diǎn)R的坐標(biāo)為時(shí)，比值為； 點(diǎn)R的坐標(biāo)為時(shí)，比值為. 例　(14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－3,4)，B(9,0)，C，D分別為線段OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC＝BD. (1)若AC＝4，求直線CD的方程； (2)證明：△OCD的外接圓恒過定點(diǎn)(異于原點(diǎn)O). 審題路線圖 (1)―→ (2)―→ 規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) (1)解　因?yàn)锳(－3,4)，所以O(shè)A＝＝5. 1分 又因?yàn)锳C＝4，所以O(shè)C＝1，所以C. 3分 由BD＝4，得D(5,0)， 4分 所以直線CD的斜率k＝＝－， 5分 所以直線CD的方程為y＝－(x－5)，即x＋7y－5＝0. 6分 (2)證明　設(shè)C(－3m,4m)(0＜m≤1)，則OC＝5m. 7分 所以AC＝OA－OC＝5－5m. 因?yàn)锳C＝BD，所以O(shè)D＝OB－BD＝5m＋4， 所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5m＋4,0). 8分 又設(shè)△OCD的外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則有 10分 解得D＝－(5m＋4)，F(xiàn)＝0，E＝－10m－3， 所以△OCD的外接圓的方程為 x2＋y2－(5m＋4)x－(10m＋3)y＝0， 12分 整理得x2＋y2－4x－3y－5m(x＋2y)＝0. 令所以(舍去)或 所以△OCD的外接圓恒過定點(diǎn)(2，－1). 14分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　設(shè)直線方程：關(guān)鍵是求出直線斜率，通過線段長(zhǎng)構(gòu)建方程求斜率. [第二步]　求圓的方程：根據(jù)題意設(shè)出圓的一般式，求出圓的一般方程. [第三步]　整理圓的方程：利用等式恒成立的思想求出定點(diǎn)坐標(biāo). 1.已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直線l1過定點(diǎn)A(1,0). (1)若l1與圓相切，求l1的方程； (2)若l1與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2：x＋2y＋2＝0的交點(diǎn)為N，判斷AMAN是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由. 解　(1)①若直線l1的斜率不存在，即直線是x＝1，符合題意， ②若直線l1的斜率存在，設(shè)直線l1為y＝k(x－1)， 即kx－y－k＝0. 由題意知，圓心(3,4)到直線l1的距離等于半徑2， 即＝2， 解得k＝，所求直線方程是x＝1,3x－4y－3＝0. (2)直線與圓相交，斜率必定存在，且斜率為正數(shù)，可設(shè)直線方程為kx－y－k＝0， 由得N. 又直線CM與l1垂直，由得 M， ∴AMAN＝ ＝＝6為定值. 故AMAN是定值，且定值為6. 2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：x2＋(y－4)2＝4，有一動(dòng)點(diǎn)P在直線x－2y＝0上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B. (1)求切線長(zhǎng)PA的最小值； (2)試問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦AB所在的直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由. 解　(1)因?yàn)镻A是圓C的一條切線，所以∠CAP＝90，在Rt△CAP中，PA＝＝. 因?yàn)镻C的最小值為圓心C到直線x－2y＝0的距離d，且d＝＝， 所以切線長(zhǎng)PA的最小值(PA)min＝＝. (2)設(shè)P(2b，b)，易知經(jīng)過A，P，C三點(diǎn)的圓E以CP為直徑， 圓E的方程為x(x－2b)＋(y－4)(y－b)＝0， 即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0， ① 又圓C：x2＋(y－4)2＝4， 即x2＋y2－8y＋12＝0， ② ②－①，得圓E與圓C的相交弦AB所在直線的方程為 2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0， 即(2x＋y－4)b－4y＋12＝0. 由解得 所以弦AB所在的直線恒過定點(diǎn). 3.(2018鹽城調(diào)研)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2＋y2＝4與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心的圓A：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)與圓O交于B，C兩點(diǎn). (1)當(dāng)r＝時(shí)，求BC的長(zhǎng)； (2)當(dāng)r變化時(shí)，求的最小值； (3)過點(diǎn)P(6，0)的直線l與圓A切于點(diǎn)D，與圓O分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，試求直線l的方程. 解　(1)當(dāng)r＝時(shí)， 由得B，C，BC＝. (2)由對(duì)稱性，設(shè)B(x0，y0)，C(x0，－y0)，則x＋y＝4， 所以＝(x0－2)2－y＝(x0－2)2－(4－x) ＝2(x0－1)2－2. 因?yàn)椋?

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