二階與三階行列式-線性代數(shù).ppt

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1 線性代數(shù) 2 數(shù)學(xué)好玩 陳省身 但得此中味 勿為醒者傳 李白 武林高手的最高境界 無招 3 數(shù)學(xué)的好玩之處 主要在于數(shù)學(xué)中有些極具實用意義的內(nèi)容 包含了深刻的奧妙 發(fā)人深思 使人驚訝 比如以數(shù)學(xué)家Euler命名的一個公式 其中i是虛數(shù)單位 是圓周率 e是一個無理數(shù) 4 主要內(nèi)容 第一章行列式第二章矩陣第三章向量組的線性相關(guān)性第四章線性方程組第五章矩陣對角化第六章二次型 5 參考書目 同濟大學(xué)線性代數(shù)高等教育出版社湘潭大學(xué)線性代數(shù)科學(xué)出版社北京大學(xué)高等代數(shù)高等教育出版社 第三版 6 線性代數(shù)簡史 線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支 我們知道一次方程叫做線性方程 討論線性方程及線性運算的代數(shù)就叫做線性代數(shù) 在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣 行列式和矩陣在十九世紀受到很大的注意 而且寫了成千篇關(guān)于這兩個課題的文章 向量的概念 從數(shù)學(xué)的觀點來看不過是有序三元數(shù)組的一個集合 然而它以力或速度作為直接的物理意義 并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫出物理上所說的事情 7 線性代數(shù)學(xué)科和矩陣理論是伴隨著線性系統(tǒng)方程系數(shù)研究而引入和發(fā)展的 行列式的概念最早是由十七世紀日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的 他在1683年寫了一部叫做 解伏題之法 的著作 意思是 解行列式問題的方法 書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述 歐洲第一個提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家 微積分學(xué)奠基人之一萊布尼茲 Leibnitz 1693年 8 1750年克萊姆 Cramer 發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式 既人們熟悉的克萊姆法則 1764年 貝佐特 Bezout 把確定行列式每一項的符號的手續(xù)系統(tǒng)化了 對給定了含n個未知量的n個齊次線性方程 Bezout證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件 9 范德蒙 Vandermonde 是第一個對行列式理論進行系統(tǒng)的闡述 即把行列式理論與線性方程組求解相分離 的人 并且給出了一條法則 用二階子式和它們的余子式來展開行列式 就對行列式本身進行研究這一點而言 他是這門理論的奠基人 10 拉普拉斯 Laplace 在1772年的論文 對積分和世界體系的探討 中 證明了Vandermonde的一些規(guī)則 并推廣了他的展開行列式的方法 用r行中所含的子式和它們的余子式的集合來展開行列式 這個方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名 德國數(shù)學(xué)家雅可比 Jacobi 也于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論 11 另一個研究行列式的是法國最偉大的數(shù)學(xué)家柯西 Cauchy 他大大發(fā)展了行列式的理論 在行列式的記號中他把元素排成方陣并首次采用了雙重足標的新記法 與此同時發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進并證明了Laplace的展開定理 12 高斯 Gauss 大約在1800年提出了高斯消元法并用它解決了天體計算和后來的地球表面測量計算中的最小二乘法問題 這種涉及測量 求取地球形狀或當?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱為測地學(xué) 雖然高斯由于這個技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名 但早在幾世紀中國人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運用 高斯 消去的方法求解帶有三個未知量的三方程系統(tǒng) 在當時的幾年里 高斯消去法一直被認為是測地學(xué)發(fā)展的一部分 而不是數(shù)學(xué) 13 矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展 人們需要有合適的符號和合適的矩陣乘法定義 二者要在大約同一時間和同一地點相遇 1848年英格蘭的西爾維斯特 J J Sylvester 首先提出了矩陣這個詞 它來源于拉丁語 代表一排數(shù) 14 1855年矩陣代數(shù)得到了凱萊 ArthurCayley 的工作培育 Cayley研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義 使得復(fù)合變換ST的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃嘢和矩陣T的乘積 他還進一步研究了那些包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問題 15 數(shù)學(xué)家試圖研究向量代數(shù) 但在任意維數(shù)中并沒有兩個向量乘積的自然定義 第一個涉及一個不可交換向量積 即v w不等于w v 的向量代數(shù)是由格拉斯曼 HermannGrassmann 在1844年他的 線性擴張論 一書中提出的 他的觀點還被引入一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中 結(jié)果就是現(xiàn)在稱之為秩數(shù)為1的矩陣 或簡單矩陣 19世紀末美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉布斯 WillardGibbs 發(fā)表了關(guān)于 向量分析基礎(chǔ) 的著名論述 16 其后英國物理學(xué)家狄拉克 P A M Dirac1902 1984 提出了行向量和列向量的乘積為標量 矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的 現(xiàn)代向量空間的定義是由皮亞諾 Peano 于1888年提出的 到19世紀它還僅占線性變換理論形成中有限的空間 我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在20世紀由物理學(xué)家給出的 17 二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計算機的發(fā)展 矩陣又有了新的含義 特別是在矩陣的數(shù)值分析等方面 由于計算機的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用 許多實際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到定量的解決 于是作為處理離散問題的線性代數(shù) 成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 18 阿貝爾 Abel 與伽羅瓦 Galois 挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾 1802 8 5 1829 4 6 以證明五次元方程的根式解的不可能性而聞名 法國數(shù)學(xué)家厄米特 Hermite1822 1901 在談到阿貝爾的貢獻時曾說過 阿貝爾留下的工作 可以使以后的數(shù)學(xué)家足夠忙碌150年 在和阿貝爾同時期的一個法國少年讀到了他的著作 于是在不到20歲的時候在代數(shù)方程論推陳出新創(chuàng)立了一門新的數(shù)學(xué)理論 伽羅瓦理論 這個發(fā)現(xiàn)者伽羅瓦還建立了群論的基礎(chǔ)理論 19 法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦 1811 10 25 1832 5 31 與阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人 伽羅瓦理論是當代代數(shù)與數(shù)論的基本支柱之一 它直接推論的結(jié)果十分豐富 3 他解決了古代三大作圖問題中的兩個 不能任意三等分角 倍立方不可能 2 它漂亮地證明高斯的論斷 若尺規(guī)作圖能作出正p邊形 p為質(zhì)數(shù)且此同時 1 它系統(tǒng)化地闡釋了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解 而四次以下有公式解 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 20 第一章行列式 第一節(jié)二階與三階行列式 21 用消元法解二元線性方程組 一 二階行列式的引入 其中 是未知量 其它字母是已知量 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 22 方程組的解為 由方程組的四個系數(shù)確定 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 23 由四個數(shù)排成二行二列 橫排稱行 豎排稱列 的數(shù)表 定義 即 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 24 主對角線 副對角線 對角線法則 二階行列式的計算 其中元素aij的第一個下標i為行指標 第二個下標j為列指標 即aij位于行列式的第i行第j列 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 25 若記 對于二元線性方程組 系數(shù)行列式 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 26 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 27 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 28 則二元線性方程組的解為 注意分母都為原方程組的系數(shù)行列式 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 29 例1 解 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 30 二 三階行列式 定義 記 6 式稱為數(shù)表 5 所確定的三階行列式 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 31 1 沙路法 三階行列式的計算 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 32 2 對角線法則 注意紅線上三元素的乘積冠以正號 藍線上三元素的乘積冠以負號 說明1對角線法則只適用于二階與三階行列式 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 33 如果三元線性方程組 的系數(shù)行列式 利用三階行列式求解三元線性方程組 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 34 若記 或 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 35 記 即 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 36 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 37 得 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 38 得 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 39 則三元線性方程組的解為 是將D的第i列換成右端項得到 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 40 例 解 按對角線法則 有 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 41 例3 解 方程左端 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 42 例4 利用對角線法則計算下列三階行列式 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 43 1 2 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 44 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 45 例5解線性方程組 解 由于方程組的系數(shù)行列式 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 46 同理可得 故方程組的解為 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 47 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的 三 小結(jié) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 48 思考題 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院王文強 49 思考題解答 解 設(shè)所求的二次多項式為 由題意得 得一個關(guān)于未知數(shù)的線性方程組 又 得