立體幾何中的向量方法一：平行和垂直(用).ppt

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3 2 1立體幾何中的向量方法 方向向量與法向量 A P 直線的方向向量 直線 的向量式方程 換句話說 直線上的非零向量叫做直線的方向向量 一 方向向量與法向量 2 平面的法向量 l 平面 的向量式方程 換句話說 與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 例1 如圖所示 正方體的棱長(zhǎng)為1直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為 平面OABC的一個(gè)法向量坐標(biāo)為 平面AB1C的一個(gè)法向量坐標(biāo)為 1 1 1 0 0 1 1 0 0 練習(xí)如圖 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD是正方形 側(cè)棱PD 底面ABCD PD DC 1 E是PC的中點(diǎn) 求平面EDB的一個(gè)法向量 A B C D P E 解 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)平面EDB的法向量為 因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置 所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線 平面間的平行 垂直 夾角 距離等位置關(guān)系 用向量方法解決立體問題 二 立體幾何中的向量方法 證明平行與垂直 m l 一 平行關(guān)系 二 垂直關(guān)系 l m l A B C 例1 用向量方法證明定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行 則這兩個(gè)平面平行 已知直線l與m相交 例2四棱錐P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC 6 E是PB的中點(diǎn) DF FB CG GP 1 2 求證 AE FG A B C D P G F E A 6 0 0 F 2 2 0 E 3 3 3 G 0 4 2 AE FG 證 如圖所示 建立空間直角坐標(biāo)系 AE與FG不共線 幾何法呢 例3四棱錐P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC E是PC的中點(diǎn) 1 求證 PA 平面EDB A B C D P E 解1立體幾何法 A B C D P E 解2 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)DC 1 1 證明 連結(jié)AC AC交BD于點(diǎn)G 連結(jié)EG A B C D P E 解3 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)DC 1 1 證明 設(shè)平面EDB的法向量為 A B C D P E 解4 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)DC 1 1 證明 解得x 證明 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1 為單位正交基底 建立如圖所示坐標(biāo)系D xyz 所以 證明2 E是AA1中點(diǎn) 例5正方體 平面C1BD 證明 E 求證 平面EBD 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2 建立如圖所示坐標(biāo)系 平面C1BD的一個(gè)法向量是 E 0 0 1 D 0 2 0 B 2 0 0 設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是 平面C1BD 平面EBD 證明2 E E是AA1中點(diǎn) 例5正方體 平面C1BD 求證 平面EBD