曲線(xiàn)擬合的最小二乘法.ppt

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3 1問(wèn)題的提出函數(shù)解析式未知 通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀(guān)測(cè)得到的一組數(shù)據(jù) 即在某個(gè)區(qū)間 a b 上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值yi f xi 第三章曲線(xiàn)擬合的最小二乘法 3 2 曲線(xiàn)擬合的最小二乘法數(shù)據(jù)含有誤差 節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值是由實(shí)驗(yàn)或觀(guān)測(cè)得到的數(shù)據(jù) 不可避免地帶有測(cè)量誤差 如果要求所得的近似函數(shù)曲線(xiàn)精確無(wú)誤地通過(guò)所有的點(diǎn) xi yi 就會(huì)使曲線(xiàn)保留著一切測(cè)試誤差 當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí) 插值效果顯然是不理想的 數(shù)據(jù)量很大 由實(shí)驗(yàn)或觀(guān)測(cè)提供的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)往往很多 如果用插值法 勢(shì)必得到次數(shù)較高的插值多項(xiàng)式 這樣是不可行的 為此 我們希望從給定的數(shù)據(jù) xi yi 出發(fā) 構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù) 不要求函數(shù)完全通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn) 只要求所得的近似曲線(xiàn)能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì) 如圖3 1所示 圖3 1曲線(xiàn)擬合示意圖 曲線(xiàn)擬合 求一條曲線(xiàn) 使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線(xiàn)的上方或下方不遠(yuǎn)處 所求的曲線(xiàn)稱(chēng)為擬合曲線(xiàn) 它既能反映數(shù)據(jù)的總體分布 又不至于出現(xiàn)局部較大的波動(dòng) 更能反映被逼近函數(shù)的特性 使求得的逼近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來(lái)說(shuō)其偏差按某種方法度量達(dá)到最小 與函數(shù)插值問(wèn)題不同 曲線(xiàn)擬合不要求曲線(xiàn)通過(guò)所有已知點(diǎn) 而是要求得到的近似函數(shù)能反映數(shù)據(jù)的基本關(guān)系 在某種意義上 曲線(xiàn)擬合更有實(shí)用價(jià)值 函數(shù)插值是插值函數(shù)P x 與被插函數(shù)f x 在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同 即而曲線(xiàn)擬合函數(shù)不要求嚴(yán)格地通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn) 也就是說(shuō)擬合函數(shù)在xi處的偏差 亦稱(chēng)殘差 不都嚴(yán)格地等于零 但是 為了使近似曲線(xiàn)能盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì) 要求按某種度量標(biāo)準(zhǔn)最小 若記向量 即要求向量的某種范數(shù)最小 如的1 范數(shù)或 范數(shù)即 或 最小 為了便于計(jì)算 分析與應(yīng)用 通常要求的2 范數(shù) 即 為最小 這種要求誤差 偏差 平方和最小的擬合稱(chēng)為曲線(xiàn)擬合的最小二乘法 一般曲線(xiàn)擬合的最小二乘法的求法 例1設(shè)有某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下 12341 361 371 952 2814 09416 84418 47520 963 用最小二乘法求以上數(shù)據(jù)的擬合函數(shù) 解 把表中所給數(shù)據(jù)畫(huà)在坐標(biāo)紙上 將會(huì)看到數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布可以用一條直線(xiàn)來(lái)近似地描述 故設(shè)擬合直線(xiàn)為記x1 1 36 x2 1 37 x3 1 95x4 2 28 y1 14 094 y2 16 844 y3 18 475 y4 20 963則正規(guī)方程組為 其中 將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組 得 解得 即得擬合直線(xiàn) 例2設(shè)某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下 123456012345521123 用最小二乘法求一個(gè)多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù) 解 將已給數(shù)據(jù)點(diǎn)描在坐標(biāo)系中 可以看出這些點(diǎn)接近一條拋物線(xiàn) 因此設(shè)所求的多項(xiàng)式為 由法方程組 經(jīng)計(jì)算得 m 6 其法方程組為 解之得 所求的多項(xiàng)式為 4 可化為線(xiàn)性擬合的非線(xiàn)性擬合對(duì)于一個(gè)實(shí)際的曲線(xiàn)擬合問(wèn)題 一般先按觀(guān)測(cè)值在直角坐標(biāo)平面上描出散點(diǎn)圖 看一看散點(diǎn)的分布同哪類(lèi)曲線(xiàn)圖形接近 然后選用合適的擬合函數(shù) 非線(xiàn)性擬合函數(shù)可以通過(guò)變量替換轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性擬合問(wèn)題 按線(xiàn)性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線(xiàn)擬合方程 表3 4列舉了幾類(lèi)經(jīng)適當(dāng)變換后化為線(xiàn)性擬合求解的曲線(xiàn)擬合方程及變換關(guān)系 表3 4 曲線(xiàn)擬合方程變換關(guān)系變換后線(xiàn)性擬合方程 幾種常見(jiàn)的數(shù)據(jù)擬合情況 圖 a 數(shù)據(jù)接近于直線(xiàn) 故宜采用線(xiàn)性函數(shù)擬合 圖 b 數(shù)據(jù)分布接近于拋物線(xiàn)可采擬合二次多項(xiàng)式擬合 a b 圖 c 開(kāi)始曲線(xiàn)上升較快隨后逐漸變慢 宜采用雙曲線(xiàn)型函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)圖 d 開(kāi)始曲線(xiàn)下降快 隨后逐漸變慢 宜采用或或等數(shù)據(jù)擬合 c d 例3設(shè)某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下 12345600 511 522 52 01 00 90 60 40 3 用最小二乘法求擬合曲線(xiàn) 解 將已給數(shù)據(jù)點(diǎn)描在坐標(biāo)系中下圖所示 可以看出這些點(diǎn)接近指數(shù)曲線(xiàn) 因而可取指數(shù)函數(shù)作為擬合函數(shù) 對(duì)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)得 令就得到線(xiàn)性模型 則正規(guī)方程組為 其中 將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組 得 解得 由得 由得 于是得到擬合指數(shù)函數(shù)為 小結(jié) 插值法和曲線(xiàn)擬合的最小二乘法都是實(shí)用性很強(qiáng)的方法 它們解決的實(shí)際問(wèn)題雖然各式各樣 但抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題卻有它的共性 即利用已知的數(shù)據(jù)去尋求某個(gè)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)P x 來(lái)逼近f x 插值法和曲線(xiàn)擬合的最小二乘法分別給出了尋求這種近似函數(shù)的兩類(lèi)不同的原則 以及構(gòu)造近似函數(shù)的幾種具體方法 其中插值法要求近似函數(shù)在已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)必須與f x 完全一致 曲線(xiàn)擬合法不要求點(diǎn)點(diǎn)一致而只須滿(mǎn)足一定的整體逼近條件 插值法中的拉格朗日插值多項(xiàng)式是研究數(shù)值微積分與微分方程數(shù)值解的重要工具 牛頓插值多項(xiàng)式是拉格朗日插值多項(xiàng)式的變形 具有承襲性 比拉格朗日插值多項(xiàng)式節(jié)省計(jì)算量 分段低次多項(xiàng)式插值由于具有良好的穩(wěn)定性與收斂性 且算法簡(jiǎn)單 便于應(yīng)用 特別是應(yīng)用廣泛的三次樣條插值 不但有較好的穩(wěn)定性和收斂性 而且具有較好的光滑性 從而滿(mǎn)足了許多實(shí)際問(wèn)題的要求 需對(duì)樣條函數(shù)作進(jìn)一步了解的讀者可參閱有關(guān)文獻(xiàn) 曲線(xiàn)擬合的最小二乘法是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的常用方法 本章主要介紹了最小二乘法的基本原理和線(xiàn)性最小二乘問(wèn)題的求解方法 多項(xiàng)式擬合是線(xiàn)性最小二乘擬合問(wèn)題的一種特殊情況 其特點(diǎn)是擬合多項(xiàng)式形式簡(jiǎn)單 但當(dāng)n較大時(shí) 法方程組往往是病態(tài)的 用正交多項(xiàng)式進(jìn)行曲線(xiàn)擬合 避免了法方程組病態(tài)所造成的麻煩 關(guān)于非線(xiàn)性最小二乘曲線(xiàn)擬合問(wèn)題 一般求解比較困難 但對(duì)一些特殊情形 可以轉(zhuǎn)換為線(xiàn)性最小二乘擬合問(wèn)題 作業(yè)P89習(xí)題三 1 Thankyouverymuch