人教版九年級上數(shù)學(xué)第22章一元二次方程全章導(dǎo)學(xué)案.doc

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第2章 一元二次方程 2.1一元二次方程（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1． 通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程的概念給一元二次方程下定義； 2． 一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念； 3． 使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式； 4． 通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有關(guān)概念解決問題 學(xué)習(xí)難點(diǎn)： 建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念。 一． 學(xué)前準(zhǔn)備： 1．____________________________________________叫方程； _____________________________________________叫一元一次方程。 2．我們知道了利用一元一次方程可以解決生活中的一些實(shí)際問題，利用一元一次方程解決實(shí)際問題的步驟是： 二． 探究活動 （一） 獨(dú)立思考解決問題 1． 剪一塊面積為150的長方形鐵片，師它的長比寬多5cm，這塊鐵皮該怎么剪呢？如果鐵皮的寬為x（cm），那么鐵皮的長為_________cm. 根據(jù)題意，可得方程是：______________________ 2． 一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)小，且這兩數(shù)之積為6，求這兩個(gè)數(shù)。設(shè)其中較小的一個(gè)數(shù)位x，請列出滿足題意的方程__________________. 3．正方形的面積是2，求它的邊長？ _______________________________________________. 3． 矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍得柵欄的總長度是19m，如果花圃的面積是24，求花圃的長和寬。 __________________________________________________________. （二） 師生探究合作交流 議一議：1.上面的方程有哪些共同的特點(diǎn)呢？你知道什么是一元二次方程了嗎？ 2．結(jié)合上面的方程的特點(diǎn)你能夠用一個(gè)式子表示一元二次方程的一般形式嗎？ 3．其中______叫做二次項(xiàng)，a叫做______,bx叫做_______,b叫做_______.c是常數(shù)項(xiàng)。 4． 下面是一元二次方程嗎？（填“是”或“否”） 5． 方程：3x(x-1)=2(x+2)+8 (1) 是一元二次方程嗎？如果是一元二次方程請將它轉(zhuǎn)化成一般形式。 (2) 如果是，請分別說出它的二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)和它各項(xiàng)的系數(shù)。 (3) 試求的值。 練一練： 1． 下面的方程式一元二次方程嗎？如果是，請說出方程中的a,b,c分別是多少？ 2． 把下列的方程先轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般形式，再分別寫出它各項(xiàng)的系數(shù)。 三． 自我測試 1．將化為，a，b，c的值分別為（ ） A. 0, -3, -3 B. 1. -3, 3 C. 1, 3, -3 D. 1, -3, -3 2．若方程是一元二次方程，則m的值是（ ） A． B. C. D. 3．已知方程：①；②；③；④；⑤；其中一元二次方程的個(gè)數(shù)是（ ） A．0 B. 1 C. 2 D. 3 4.把方程化成一元二次方程的一般形式，再求出它的二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的和。 四． 應(yīng)用與拓展 1．下列方程中，無論a取何值，總是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ） A． B. C． D. 2．若是關(guān)于x的一元二次方程，求m，n的值。 3． 當(dāng)m取任意實(shí)數(shù)時(shí)，判斷關(guān)于x的方程的類型。 2.1一元二次方程（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1． 理解方程的解，并能利用一元二次方程的解解決簡單的數(shù)學(xué)問題； 2． 將已學(xué)過的方程知識進(jìn)一步拓展與融合，擴(kuò)大視野，提高能力； 3． 感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：一元二次方程的解的概念 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用一元二次方程的解解決數(shù)學(xué)問題 一． 學(xué)前準(zhǔn)備 1．___________________________________________________叫一元二次方程； 2．_________________________________________是一元二次方程的一般形式； 3．________________________________________ 叫方程的解。 二． 探究活動 （一） 獨(dú)立思考解決問題 1． 已知x=1是一元二次方程的一個(gè)解，則m的值是多少？請寫出你的思考過程。 2． 已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，求m的值。 （二） 師生探究合作交流 議一議： 1． 上面題目的解法給你什么啟發(fā)？我們?yōu)槭裁纯梢赃@樣去解呢？ 2． 你能否自己給自己編一道類似這樣題型的題目呢？并解答出來。 3． 已知x=1是方程的根，化簡； 4． 已知實(shí)數(shù)a滿足，求的值 5． 已知m，n是有理數(shù)，方程有一個(gè)根是，求m+n的值。 三． 自我測試 1．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ） A. m=2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠2 2．如果關(guān)于x的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，那么p的值是 （ ） A．1 B. 1 C. 2 D. 2 3.已知m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為_______; 4．若方程的一個(gè)根是2，則k=__________; 5．當(dāng)k滿足條件_______時(shí)，方程不是關(guān)于x的一元二次方程。 6．若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為二次項(xiàng)系數(shù)的2倍，則一次項(xiàng)系數(shù)為________; 7.已知是一元二次的解，則=_______; 四． 應(yīng)用與拓展 1． 設(shè)一元二次方程的兩個(gè)根分別為，，求aP+bQ+cR的值。 2． 已知a,b是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，求的值。 2.2一元二次方程的解法（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1． 理解一元二次方程降次的轉(zhuǎn)化思想； 2． 會利用直接開平方法對形如的一元二次方程進(jìn)行求解； 3． 發(fā)現(xiàn)不同方程的轉(zhuǎn)化式，運(yùn)用已有知識解決新問題。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如的方程； 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：通過根據(jù)平方根的意義解形如的方程，知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如的方程。 一． 學(xué)前準(zhǔn)備： 1．9的平方根是____,用符號表示為__________; 2．25的平方根是____,用符號表示為_________; 3．a(chǎn) 的平方根是________; 二．探究活動： （一）獨(dú)立思考解決問題 1．解方程： 2．解方程： （二）師生探究合作交流 議一議： 1．上述解一元二次方程的方法是什么？它的理論依據(jù)是是什么？ 2．方程有實(shí)數(shù)解嗎？為什么？ 3．由第2題你能得到用直接開平方法解一元二次方程需要注意什么呢？ 4． 我們又如何檢驗(yàn)我們所解得方程是否正確呢？ 5． 練一練： 解方程： 6． 小明同學(xué)在解方程時(shí)是這樣解的，請同學(xué)們看看他的解法對嗎？如果是你解，該如何解呢？ 三． 自我測試： 1．方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B. 2 C. 0 D.以上答案都不對 2．方程的根是（ ） A． B. C. D. 3．方程的根是（ ） A. B. C. D. 4．方程的根是__________. 5．若方程有整數(shù)根，則m的值可以是______(只填一個(gè)) 6．當(dāng)n_____時(shí)，方程有根，其根為_______. 7．已知一元二次方程，試用直接開平方法解這個(gè)方程。 8.一塊石頭從20m高的塔上落下，石頭離地面的高度h(m)和下落時(shí)間x(s)大致有如下關(guān)系：，則石頭經(jīng)過多長時(shí)間落到地面？ 四．應(yīng)用與拓展： 已知公式。根據(jù)上述公式解答下題： 已知a是方程的根，求的值。 2.2一元二次方程的解法（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1． 會利用配方法熟練，靈活的解一元二次方程； 2． 通過對計(jì)算過程的反思，獲得解決新問題的體驗(yàn)，體會在解決問題的過程中所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想； 3． 通過配方法的探究活動，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣； 4． 感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：用配方法熟練地解數(shù)字系數(shù)為1的一元二次方程； 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：靈活地用配方法解數(shù)字系數(shù)不為1的一元二次方程； 一． 學(xué)前準(zhǔn)備： 1．完全平方和公式：______________________;完全平方差公式：______________ 2．這兩個(gè)公式都有什么共同特點(diǎn)：______________________________________ 3．解方程： 二． 探究活動： （一） 獨(dú)立思考解決問題 試一試：完成下列配方過程 解方程： （二） 師生探究合作交流 1． 上述解方程的方法你知道是什么了吧？它里面蘊(yùn)含著非常重要的數(shù)學(xué)思想，你知道是什么了嗎？ 2． 那你知道用這種方法解方程時(shí)最關(guān)鍵的一步是什么了嗎？你能說說你發(fā)現(xiàn)了什么沒有？ 3． 你能總結(jié)出來用這種方法解一元二次方程的步驟嗎？ 4． 練一練： （1） 填空 （2） 用配方法解下列方程： 三． 自我測試 1．已知一元二次方程，若用配方法解該方程時(shí)，則配方后的方程為（ ） A. B. C. D. 2．用配方法解方程，應(yīng)把方程的兩邊同時(shí)（ ） A.加 B.加 C.減 D.減 3． 4．若是一個(gè)完全平方式，則a=_______; 5．用配方法解方程： （1）； （2）； （3）； 6．用配方法證明： （1）的值恒為正； （2）的值恒小于0． 四． 應(yīng)用與拓展：閱讀理解題． 閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，則，原方程化為 ① 解得， 當(dāng)時(shí)，，，； 當(dāng)時(shí)，，，； 原方程的解為，，， 解答問題： （1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用 法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了 的數(shù)學(xué)思想． （2）解方程． 2.2一元二次方程的解法（3） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程； 2.會利用求根公式解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程； 3.經(jīng)歷探索求根公式的過程，發(fā)展學(xué)生合情合理的推理能力； 4.通過運(yùn)用公式法解一元二次方程，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，并讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗(yàn)，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：一元二次方程求根公式的推導(dǎo) 一． 學(xué)前準(zhǔn)備 1． 配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是_______________________________; 2． 一元二次方程中a=_____,b=_____,c=_______; 3． 一元二次方程中a=______,b=______,c=________. 4． 用配方法解一元二次方程 二． 探究活動 （一） 獨(dú)立思考解決問題 用配方法解一元二次方程；請同學(xué)們獨(dú)立完成此題。 （二） 師生探究合作交流 由上可知，一元二次方程的根由方程的系數(shù)a,b,c而定，因此： （1） 解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形，當(dāng)時(shí)，將a,b,c代入式子x=_____________，就得到方程的根；當(dāng)時(shí)就得到方程無實(shí)數(shù)根； （2） 這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式； （3） 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4） 由求根公式可知，一元二次方程最多有___個(gè)實(shí)數(shù)根。 例1：用公式法解下列方程：（1）； （2） 練習(xí)：把下列方程化成的形式，并寫出其中a,b,c的值； 三． 自我測驗(yàn) 1．用公式法解方程，下列代入公式正確的是（ ） A. B. C． D. 2．方程的根是（ ） A． B. C. D. 3．方程的正根是（ ） 4．方程的兩根=_________, =_______; 5．一元二次方程中，=_______，若=9，則m=______； 6．用公式法解方程： 四．應(yīng)用與拓展 已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足：，求方程的根。 2.2一元二次方程的解法（4） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會利用因式分解法解某些簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程； 2.經(jīng)歷探索因式分解法解一元二次方程的過程，發(fā)展學(xué)生合情合理的推理能力； 3.學(xué)會和他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：應(yīng)用因式分解法解一元二次方程； 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：將方程化為一般形式后，對方程左側(cè)二次三項(xiàng)式的因式分解； 一．學(xué)前準(zhǔn)備： 1.因式分解的定義_________________________________________; 2.因式分解與整式乘法互為___________； 3.因式分解有如下幾種方法，分別是________,_________,_________; 4.對以下整式進(jìn)行因式分解： 5.解下列方程： 二．探究活動 （一）獨(dú)立思考解決問題 思考：(1) x(2x+1)=0; (2) 3x(x+2)=0; 問題：（1）你能觀察出這兩題的特點(diǎn)嗎？ （2）你知道方程的解嗎？說說你的理由 （二）師生探究合作交流 因式分解法的理論依據(jù)是：兩個(gè)因式的積等于零，那么這兩個(gè)的值就至少有一個(gè)為____.即：若ab=0,則_____或______。 由上述過程我們知道：當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個(gè)一次因式的乘積形式而另一邊等于0時(shí)，即可解之。這種方法叫做因式分解法。 你能總結(jié)出因式分解法解一元二次方程的一般步驟嗎？ （1） （2） （3） （4） 練習(xí)： 1．解方程 2． 三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程的解，則這個(gè)三角形的周長是（ ） A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 8和18 3．用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0，可把其化為兩個(gè)一元一次方程___________,____________求解。 三．自我測試 1．方程的根為（ ） A. B. C. D. 2．關(guān)于方程(x-m)(x-n)=0的說法中，正確的是（ ） A. x-m=0 B. x-n=0 C. x-n=0或x-m=0 D. x-n=0且x-m=0 3．若與是同類項(xiàng)，則m的值為（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. -2或-3 4．關(guān)于x的方程ax(x-b)-(b-x)=0 (a≠0)的根為（ ） A．a(chǎn)或b B. 或b C. 或b D. a或-b 5．方程的根是______________; 6．方程的根是___________; 7．用因式分解法解下列方程： 四．應(yīng)用與拓展 閱讀材料：解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，然后設(shè)=y ①，那么原方程可轉(zhuǎn)化為，解得 當(dāng)y=1時(shí)，，∴，∴； 當(dāng)y=4時(shí)，，∴，∴， 故原方程的解為 解答問題： （1）上述解題過程中，在由原方程得到方程①的過程中，利用_______法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想； （2）請利用以上知識解方程： 2.2一元二次方程的解法（5） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會選擇利用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋? 2.體驗(yàn)解決問題的方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法； 3.積極探索不同的解法，并和同伴交流，勇于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，從交流中發(fā)現(xiàn)最 優(yōu)方法，在學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗(yàn)。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：能根據(jù)一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用直接開平方法，配方法，公式法及因 式分解法解一元二次方程 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解一元二次方程解法的基本思想 一． 學(xué)前準(zhǔn)備 1、解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為______，即______ 2、一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據(jù)和適用范圍如下表： 方法名稱 理論根據(jù) 適用方程的形式 直接開平方法 平方根的定義 配方法 完全平方公式 公式法 配方法 因式分解法 兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于0 3、一般考慮選擇方法的順序是： ________法、________法、______法或______法 二． 探究活動 （一） 獨(dú)立思考解決問題 解下列方程： （二） 師生探究解決問題 通過對以上方程的解法，你能總結(jié)出對于不同特點(diǎn)的一元二次方程選擇什么樣的方法去解了嗎？ 練習(xí)： 選擇合適的方法解下列方程: 三． 自我測試 1．下列方程一定能用直接開平方法解的是（ ） A. B. C. D. 2．解方程的最適當(dāng)?shù)姆椒☉?yīng)是（ ） A. 直接開平方法 B. 配方法 C. 公式法 D.因式分解法 3．設(shè)a是方程較大的一根，b是方程較小的一根，那么a+b的值為（ ） A. -4 B. -3 C. 1 D. 2 4．已知，當(dāng)A=B時(shí)，x的值為（ ） A. x=3或x=1 B. x=-3或x=-1 C. x=3或x=-1 D. x=-3或x=1 5．方程的解是________; 6．已知x+y=7且xy=12，則當(dāng)x0時(shí)， （2）當(dāng)=0時(shí)， （3）當(dāng)<0時(shí)，方程_________. （二）師生探究合作交流 1．定義：把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示，即=，一般地，方程 當(dāng)>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。 反過來，同樣成立，即 2．小英說：“不解方程”，我也知道它的根的情況，現(xiàn)在你知道她是怎么做的了吧？那我們也來嘗試一下。 例1：不解方程，判別下列方程根的情況： 例2：m為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程； （1） 有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根； （2） 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （3） 無實(shí)數(shù)根。 三． 自我測試 1．方程x2-ax+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則a=________ 2．關(guān)于x的方程(m+1)x2-2x-(m-1)+0 的根的判別式等于４，m=_________ 3．已知 a、b、c是△ABC的三條邊，且一元二次方程(a-b)x2+2(a-b)-(b-c)=0 有兩個(gè)相等 的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀 . 4．當(dāng)m為何值時(shí)，（1）關(guān)于x的方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。 （2）關(guān)于x的一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有實(shí)數(shù)根。 （3）關(guān)于x的方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有實(shí)數(shù)根。 四． 應(yīng)用與拓展 已知關(guān)于x的方程和，且，證明：這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根。 2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過觀察，歸納，猜想根與系數(shù)的關(guān)系，并證明成立，使學(xué)生理解其理論依據(jù)； 2.使學(xué)生會運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解決有關(guān)問題； 3.培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系及推導(dǎo) 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系 一． 學(xué)前準(zhǔn)備 解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個(gè)解的和與積，它們和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？ ⑴　x2 + ２x = 0 ⑵　x2 + ３x －４= 0 ⑶　x2 －５x + ６= 0 方程 x1 x2 x1 + x2 x1x2 二． 探究活動 （一）嘗試探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 1．若x1、x2為方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，結(jié)合上表，說明x1+x2與x1x2與a、b、c有何關(guān)系？請你寫出關(guān)系式 2、請用文字語言概括一元二次方程的兩個(gè)解的和、積與原來的方程有什么聯(lián)系？ 小結(jié)： 1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____． 2．如果方程x2+px+q=0（p、q為已知常數(shù)，p2－4ｑ≥0）的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________； 以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是________________________． 注意：根與系數(shù)的關(guān)系使用的前提條件___________________________ （二）例題分析 例１.不解方程，求出方程兩根的和與兩根的積（直接口答）： ①　x2 + 3x -1= 0?、凇2 + 6x +2= 0 ③　3x2 －4x+1= 0 (4)x2 + 3x +3= 0 例2.已知關(guān)于x的方程x2 + ｋx －6= 0的一個(gè)根是2，求另一個(gè)根及ｋ的值 三． 自我測試 1．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，則這個(gè)方程是（ ） A. B. C. D. 2．若方程的兩根是2和-3，則p，q分別為（ ） A. 2,-3 B. -1,-6 C. 1,-6 D. 1,6 3．方程，當(dāng)m=_____時(shí)，此方程兩個(gè)根互為相反數(shù)；當(dāng)m=_____時(shí)，兩根互為倒數(shù)。 4．如果-2和是一元二次方程的兩根，那么該一元二次方程為___________; 5．一元二次方程的兩根為，則=______。 6．若是方程的兩根，且，求k的值。 7．關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 （1）求k的取值范圍； （2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。 四．應(yīng)用與拓展 已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且。 求（1）求及a的值； （2）求的值。 2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.使學(xué)生熟練運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解決有關(guān)問題； 2.滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識事物的規(guī)律； 3.培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：根與系數(shù)的變式應(yīng)用 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：根與系數(shù)延伸式的推導(dǎo) 一． 學(xué)前準(zhǔn)備 1.應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是______,內(nèi)容是______________________________ 2.不解方程，寫出兩方程的兩根之和與兩根之積。 3.一般地，以為根的一元二次方程為___________________________; 4.已知兩個(gè)數(shù)的和為-7，積為12，則以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是____________. 二． 探究活動 若是一元二次方程的兩根，請大家推導(dǎo)出韋達(dá)定理以下的變式： 例：設(shè)方程的兩根分別為，不解方程求出下列各式的值。 練習(xí)：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求：（1）k的值；（2）的值。 三． 自我測試 1．關(guān)于的方程中，如果，那么根的情況是（ ） （A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （C）沒有實(shí)數(shù)根 （D）不能確定 2．設(shè)是方程的兩根，則的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 3．下列方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（ ） （A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2－x+2=0（D）3x2－2x+1=0 4．以方程x2＋2x－3＝0的兩個(gè)根的和與積為兩根的一元二次方程是（ ） （A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0 5．如果x1，x2是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，且滿足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1， 那么x1x2等于（ ） （A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 6.關(guān)于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情況是（ ） （A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （C）沒有實(shí)數(shù)根 （D）不能確定 7.設(shè)x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的兩根，則x12＋x22的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 8．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么k＝ 9．如果關(guān)于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是 10．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的兩根，則x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，（x1－x2）2＝ 11．若關(guān)于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的兩個(gè)根互為倒數(shù)，則m＝ . 四．應(yīng)用與拓展 1．如果x2－2(m+1)x+m2+5是一個(gè)完全平方式，則m= ; 2．方程2x(mx－4)=x2－6沒有實(shí)數(shù)根，則最小的整數(shù)m= ; 3．已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)兩根的和與兩根的積相等，則m= ; 4．設(shè)關(guān)于x的方程x2－6x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為 ; 5．設(shè)方程4x2－7x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值: (1) x12+x22 (2)x1－x2　?。?）　（4）x1x22＋x1 2.5一元二次方程的應(yīng)用（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解決有關(guān)增長率問題． 2. 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)會用列方程的方法解決有關(guān)增長率問題 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：有關(guān)增長率之間的數(shù)量關(guān)系． 一． 學(xué)前準(zhǔn)備 1．（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量． （2）單位時(shí)間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量增長率． （3）實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量（1+增長率）． 2．（1）某工廠一月份生產(chǎn)零件1000個(gè)，二月份生產(chǎn)零件1200個(gè)，那么二月份比一月份增產(chǎn)_______個(gè)？增長率是多少 。 （2）銀行的某種儲蓄的年利率為6%，小民存1000元，存滿一年連本帶利的錢數(shù)是 。 （3）某廠第一個(gè)月生產(chǎn)了彩電m臺,第二個(gè)月比第一個(gè)月產(chǎn)量增長的百分率為x,，則第二個(gè)月生產(chǎn)了________臺;第三個(gè)月比第二個(gè)月又增長了相同的百分率,則第三個(gè)月的產(chǎn)量為___________ 臺。 二．探究活動 例1、某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月上升到7200噸,這兩個(gè)月平均每個(gè)月增長的百分率是多少? 分析: 這兩個(gè)月平均每個(gè)月增長的百分率是x,則2月份比一月份增產(chǎn)________ 噸； 2月份的產(chǎn)量是 _______________噸 3月份比2月份增產(chǎn)________ 噸； 3月份的產(chǎn)量是 ____________ 噸 解： 歸納：兩次增長后的量=原來的量(1+增長率) 反之，若為兩次降低，則平均降低率公式為：兩次降低后的量=原來的量(1-增長率) 例2 某產(chǎn)品原來每件600元，由于連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為384元，如果兩個(gè)降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同，求每次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)？ 分析：設(shè)每次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)為x． 第一次降價(jià)后，每件為600-600x=600（1-x）（元）． 第二次降價(jià)后，每件為600（1-x）-600（1-x）x=600（1-x）2（元）． 解： 例3 某人想把10000元錢存入銀行，存兩年。一年期定期年利率6%,兩年期定期年利率為6.2%.哪一種存款更劃算？ 例4 2009年我市實(shí)現(xiàn)國民生產(chǎn)總值為1600億元，計(jì)劃全市國民生產(chǎn)總值以后三年都以相同的增長率一實(shí)現(xiàn)，并且2011年全市國民生產(chǎn)總值要達(dá)到1960億元． （1）求全市國民生產(chǎn)總值的年平均增第率 （2）求2010年至2012年全市三年可實(shí)現(xiàn)國民生產(chǎn)總值多少億元？（精確到1億元） 小結(jié)： （1）為計(jì)算簡便、直接求得，可以直接設(shè)增長的百分率為x． （2）認(rèn)真審題，弄清基數(shù)，增長了，增長到、總共 季度總和 等詞語的關(guān)系． （3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開． 三．自我測試 1.某商品兩次價(jià)格上調(diào)后，單位價(jià)格從4元變?yōu)?.84元,則平均每次調(diào)價(jià)的百分率是( )　 A、9% 　　　B、10％ 　　　C、11％ 　　　D、12％ 2.某商品連續(xù)兩次降價(jià)，每次都降20﹪后的價(jià)格為元，則原價(jià)是（ ） （A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元 3.一工廠計(jì)劃2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率為x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( ) 　　A、(1-x)2=15% 　B、(1+x)2=1+15%　C、(1-x)2=1+15%　 D、(1-x)2=1-15% 4.某林場第一年造林200畝，第一年到第三年共造林728畝，若設(shè)每年增長率為x，則應(yīng)列出的方程是________________________。 5..某工廠第一季度生產(chǎn)機(jī)床400臺，如果每季度比上一季度增長的百分?jǐn)?shù)相同，結(jié)果第二季度與第三季度共生產(chǎn)了1056臺機(jī)床，這個(gè)百分?jǐn)?shù)是______ 6..某工廠計(jì)劃兩年內(nèi)把產(chǎn)量翻一番，如果每年比上一年提高的百分?jǐn)?shù)相同，求這個(gè)百分?jǐn)?shù)。 7.．某廠1月份生產(chǎn)零件2萬個(gè)，一季度共生產(chǎn)零件7.98萬個(gè)，若每月的增長率相同，求每月的增長率 四．應(yīng)用與拓展 某服裝店花2000元進(jìn)了批服裝，按50%的利潤定價(jià)，無人購買。決定打折出售，但仍無人購買，結(jié)果又一次打折后才售完。經(jīng)結(jié)算，這批服裝共盈利430元。如果兩次打折相同，每次打了幾折？ 2.5一元二次方程的應(yīng)用（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解有關(guān)面積、體積方面的應(yīng)用問題． 2.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會用列一元二次方程的方法解有關(guān)面積、體積方面的應(yīng)用題． 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：會用列一元二次方程的方法解有關(guān)面積、體積方面的應(yīng)用題． 一．學(xué)前準(zhǔn)備：1. 列方程解應(yīng)用題的一般步驟是： （１）_______________________________ ；（２）_______________________________； （３）________________________________；（４）________________________________； （５）________________________________；（６）________________________________。 2．長方形的周長___________,面積_________長方體的體積公式______________ 二．探究活動 例1. 如圖，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個(gè)相等的小正方形，制成高是5cm， 容積是500 的長方體容器，求這塊鐵皮的長和寬． 例2.現(xiàn)有長方形紙片一張，長19cm，寬15cm，需要剪去邊長是多少的小正方 形才能做成底面積為77cm2的無蓋長方體型的紙盒？ 例3. 如圖所示，在一個(gè)長為５０米，寬為３０米的矩形空地上，建造一個(gè)花園，要求花園的面積占整塊面積的７５％，等寬且互相垂直的兩條路的面積占２５％，求路的寬度。 三．自我測試 1、有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺布的面積是桌面面積的二倍， 并且鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長度相同，求臺布的長和寬各是多少？ （只列不解） 2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示，要在這塊地上沿東西和南北方向各挖4條和2條水渠，如果水渠的寬相等，且要保證余下的面積為9600m2,那么水渠應(yīng)挖多寬？ 3、有一張長40cm，寬25cm的長方形硬紙片，裁去角上四個(gè)小正方形之后，折成如圖那樣的無蓋紙盒，若紙盒的底面積是450，那么紙盒的高是多少？ 4、、有一張長為80cm，寬為60cm的薄鋼片，在4個(gè)角上截去相同的4個(gè)邊長為的小正方形，然后做成底面積為1500cm3　無蓋的長方體盒子。求截去小正方形的邊長。 四．應(yīng)用與拓展 要建一個(gè)面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠著原有的一面墻，如圖，墻長為am，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長為35m． ①求養(yǎng)雞場的長與寬； ②當(dāng)a<15或15≤a<20或a≥20時(shí)，求養(yǎng)雞場的長與寬． （2）若（1）題變?yōu)椋喝鐖D（2），有一面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，墻長18m，墻對面有一個(gè)寬為2m的門，另三邊（門除外）用33m的竹籬笆 圍成，求養(yǎng)雞場的長與寬． 2.5一元二次方程的應(yīng)用（3） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)字方面的應(yīng)用問題． 2、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識． 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)字方面的應(yīng)用問題 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：設(shè)元的靈活性和解的討論 學(xué)前準(zhǔn)備： １、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是： （１）__________________________；（２）__________________________； （３）__________________________；（４）__________________________； （５）__________________________；（６）__________________________。 2、列方程的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出_______________關(guān)系。 二．探究活動 例１.已知兩個(gè)數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個(gè)數(shù) 例2. 兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是323, 求這兩個(gè)數(shù) 例3. 一個(gè)三位數(shù)，十位上的數(shù)字比它個(gè)位上的數(shù)字大３，百位上的數(shù)字等于個(gè)位上的數(shù)字的平方。已知這個(gè)三位數(shù)比它的個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的積的２５倍大２０２，求這個(gè)三位數(shù)。 思考：（１）一個(gè)三位數(shù)與它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字有何關(guān)系？也就是如何用各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字表示三位數(shù)？ （２）由題意知，十位上的數(shù)字、百位上的數(shù)字都與個(gè)位上的數(shù)字有關(guān)，因此你可以設(shè)_____上的數(shù)字為______，那么______位上的數(shù)字為______，______位上的數(shù)字為________。這個(gè)三位數(shù)可表示為_________。 解： 例4、某旅行社的一則廣告如下：我社組團(tuán)去龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：如果人數(shù)不超過30人，人均旅游費(fèi)用為800元；如果人數(shù)多于30人且不超過40人，那么每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低10，但人均旅游費(fèi)用不得低于500元。甲公司分批組織員工到龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，現(xiàn)計(jì)劃用28000元組織第一批員工去旅游，問這次旅游可以安排多少人參加？ 分析：首先應(yīng)得到總費(fèi)用是28000，即有等量關(guān)系“人均費(fèi)用人數(shù)=28000”，若人數(shù)不超過30人，則總費(fèi)用不超過30800=24000＜28000，所以人數(shù)應(yīng)超過30人，因此又得等量關(guān)系“800元－（參加人數(shù)－30人）10元=實(shí)際人均費(fèi)用”，由此可以列出方程”[800－10(x－30)]x = 28000”， 解： 三．自我測試 １、兩個(gè)數(shù)的和為１６，積為４８。求這兩個(gè)數(shù)。 ２、有一個(gè)兩位數(shù)，等于它的兩個(gè)數(shù)字的積的3倍，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2,求這個(gè)兩位數(shù)。 3、三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，前兩個(gè)數(shù)的積是第三個(gè)的3倍，求這三個(gè)數(shù)。 四．應(yīng)用與拓展 合肥白馬旅行社為吸引市民組團(tuán)去黃山風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)： 如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低20元，但人均旅游費(fèi)用不得低于700元 如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費(fèi)用為1000元 某單位組織員工去黃山風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給白馬旅行社旅游費(fèi)用27000元，請問該單位這次共有多少員工去白馬風(fēng)景區(qū)旅游？ 2.5一元二次方程的應(yīng)用（4） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握利用一元二次方程來解決生活中的經(jīng)濟(jì)問題； 2.進(jìn)一步提高邏輯思維能力和分析問題，解決問題的能力； 3．培養(yǎng)學(xué)生主動探索事物之間內(nèi)在聯(lián)系的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：由應(yīng)用問題的條件列方程的方法 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：設(shè)“元”的靈活性和解的討論 一．知識回顧： 1.李明同學(xué)在演算某數(shù)的平方時(shí)，將這個(gè)數(shù)的平方誤寫成它的2倍，使答案減少了35，則這個(gè)數(shù)為（ ） A. -7 B. -5或7 C. 5或7 D. 7 2.一款手機(jī)連續(xù)兩次降價(jià)，由原來的1299元降到688元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,則列方程為（ ） A. B. C. D. 3.某中學(xué)準(zhǔn)備建一個(gè)面積為375 的矩形游泳池且游泳池的寬比長短10m，設(shè)游泳池的長為x m，則可列方程為（ ） A. x(x-10)=375 B. x(x+10)=375 C. 2x(2x-10)=375 D. 2x(2x+10)=375 4.生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各互贈一本，全組共互贈了182本，如果全組有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是（ ） A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182 C. 2x(x+1)=182 D. x(x-1)=1822 二．探究活動 例1：某襯衣店將進(jìn)價(jià)為30元的一種襯衣以40元售出，平均每月能售出600件，調(diào)查表明：這種襯衣售價(jià)每上漲1元，其銷售量將減少10件，為了實(shí)現(xiàn)平均每月12000元的銷售利潤，這種襯衣的售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)進(jìn)這種襯衣多少件？ 例2：某西瓜經(jīng)營戶以2元／千克的價(jià)格購進(jìn)一批小型西瓜，以3元／千克的價(jià)格出售，每天可售出200kg，為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價(jià)0.1元／千克，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低多少元？ 例3: 2011年春節(jié)前，某經(jīng)銷商按市場價(jià)每千克30元收購了活螃蟹1000千克，據(jù)測算，此后每千克活螃蟹的市場價(jià)每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用400元，且平均每天還有10千克螃蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是每千克20元，如果該經(jīng)銷商將這批蟹出售后能獲利6250元，那么他應(yīng)放養(yǎng)多少天后才出售？ 例4：某百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“米琪”牌童裝平均每天可銷售出20件，每件盈利40元，為了迎接“六一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價(jià)2元，那么平均每天可多售出4件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？ 三．自我測試 1.紅旗商場購進(jìn)一種單價(jià)為40元的籃球，如果以單價(jià)50元售出，那么每月可售出500個(gè)，根據(jù)銷售的經(jīng)驗(yàn)，售價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)地減少10個(gè)。 （1）假設(shè)銷售單價(jià)提高x元，那么銷售每個(gè)籃球所獲得的利潤是____遠(yuǎn)；這種籃球每月的銷售量是_______個(gè)。（用含x的代數(shù)式表示） （2）8000元是否為每月銷售這種籃球的最大利潤？如果是，說明理由；如果不是，求出最大利潤，以及此時(shí)籃球的售價(jià)。 2.某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克?，F(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？ 四．應(yīng)用與拓展 讀詩詞解題（通過列方程，算出周瑜去世時(shí)的年齡） 大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物。而立之年督東吳，早逝英才兩位數(shù)。 十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符。哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜。 周瑜去世時(shí)______歲。 2.5一元二次方程的應(yīng)用（5） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握分式方程的計(jì)算方法； 2.進(jìn)一步掌握列一元二次方程解應(yīng)用題的方法和技能； 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：用換元法解分式方程 一． 學(xué)前準(zhǔn)備 1. 分式方程的定義：_________________________________________________; 2. 解分式方程的思想是______________,步驟有__________________________ 3. 解下列分式方程 二． 探究活動 （一） 師生互動合作交流 1. 某校組織學(xué)生春游，預(yù)計(jì)共需費(fèi)用120元，后來又有2人參加進(jìn)來，費(fèi)用不變，這樣每人可少分?jǐn)?元。問原來這組學(xué)生的人數(shù)是多少？ 分析：設(shè)原來這組學(xué)生的人數(shù)是x人，則把題中信息整理成下表： 總費(fèi)用／元 人數(shù)／人 每人費(fèi)用／元 原 來 120 x 現(xiàn) 在 120 本題的等量關(guān)系是：原來這組學(xué)生每人分?jǐn)偟馁M(fèi)用-加人后該組學(xué)生每人分?jǐn)偟馁M(fèi)用=3元，由此可得方程。 2. 印刷一張矩形的張貼廣告，如圖。它的印刷面積是32，上下空白各1dm，兩邊空白各0.5dm。當(dāng)要求四周空白處的面積是18時(shí)，求用來印刷這張廣告的紙張的長和寬。 思路分析：根據(jù)圖形知： 廣告紙的面積=印刷面積+四周空白處的面積=____+____=____ 廣告紙的長=印刷部分的長+____dm 廣告紙的寬=印刷部分的寬+_____dm 由印刷部分和廣告紙都是矩形，且面積已知。因而，可確定它們的長和寬的關(guān)系，再借助圖形的面積關(guān)系就可列出方程。 （二） 步步高升解決問題 請同學(xué)們思考一下下面的這個(gè)分式方程我們該如何去解決呢？ 思路分析：本方程在求解時(shí)如直接去分母，就會得到一個(gè)次數(shù)高于二次的整式方程，不易求解。這時(shí)，可考慮如下面所采用的換元的方法求解：用一個(gè)未知數(shù)y替換方程中某個(gè)含原未知數(shù)x的式子，然后