有限元與數(shù)值方法-講.ppt

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1 有限元與數(shù)值方法第一講 授課教師 劉書田 Tel 84706149 Email stliu 教室 綜合教學(xué)樓351時(shí)間 2013年3月15日 8 00 10 50 2 教學(xué)內(nèi)容 計(jì)算固體力學(xué)的基本理論固體力學(xué) 以彈性力學(xué)為主描述 的基本理論能量 變分原理和變分法特殊問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法介紹各類方法的構(gòu)造過(guò)程計(jì)算固體力學(xué)的主要方法有限差分法 FiniteDifferentMethod 加權(quán)殘數(shù)法 WeightedResidualMethod 有限元法 FiniteElementMethod 無(wú)網(wǎng)格法 MeshlessMethod 邊界元方法 BoundaryelementMethod 有限元法的應(yīng)用和前后處理 3 參考教材 R D Cook 有限元分析的概念與應(yīng)用 ConceptsandApplicationofFiniteElementAnalysis 關(guān)正西等譯 西安交大出版社王勖成等 有限單元法基本原理和數(shù)值方法 清華大學(xué)出版社楊慶生 現(xiàn)代計(jì)算固體力學(xué) 科學(xué)出版社劉正興等 計(jì)算固體力學(xué) 上海交大出版社 4 第一章前言 一計(jì)算固體力學(xué)的任務(wù) 1 力學(xué)的任務(wù)物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 研究物體受到的力和物體發(fā)生的運(yùn)動(dòng)的關(guān)系物體 流體 固體 氣體 力 熱 電 磁等環(huán)境 運(yùn)動(dòng)流體力學(xué) 研究對(duì)象是流體 水 空氣等 固體力學(xué)2 固體力學(xué)的任務(wù)研究固體 結(jié)構(gòu) 在外部作用 外力 溫度等變化 下的變形和應(yīng)力及其演化規(guī)律 根據(jù)這些規(guī)律研究固體和結(jié)構(gòu)的破壞 剛度 強(qiáng)度 疲勞 斷裂以及穩(wěn)定性等 根據(jù)研究對(duì)象的不同 彈性力學(xué) 塑性力學(xué) 斷裂力學(xué) 沖擊力學(xué) 材料力學(xué) 理論力學(xué)等根據(jù)采用的方法 實(shí)驗(yàn) 理論和計(jì)算 5 固體力學(xué)的任務(wù) 續(xù) 重點(diǎn) 建立固體在外部作用下的變形和應(yīng)力以及演化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型 控制方程 例如 應(yīng)力 外力之間的關(guān)系 平衡方程 運(yùn)動(dòng)方程 應(yīng)力 應(yīng)變之間的關(guān)系 本構(gòu)方程研究變形的機(jī)理 變形的誘因 外部作用 應(yīng)力和應(yīng)變的定量關(guān)系 彈性問(wèn)題 Hooke定律熱彈性問(wèn)題 熱膨脹規(guī)律塑性問(wèn)題 屈服條件 強(qiáng)化準(zhǔn)則 流動(dòng)準(zhǔn)則斷裂問(wèn)題 起裂條件 擴(kuò)展規(guī)律 6 變形的描述以及幾何關(guān)系主要研究變形的描述方式 應(yīng)變 位移 轉(zhuǎn)角等 建立變形與位移之間的定量關(guān)系應(yīng)變與位移之間的定量關(guān)系例如 小變形條件下 有限變形條件下 邊界條件 位移邊界 應(yīng)力邊界 7 求解方法以及對(duì)應(yīng)的控制方程 1 力法未知量 以應(yīng)力作為基本未知量控制方程 平衡方程 相容方程 變形協(xié)調(diào)方程 2 位移法 未知量 以位移作為基本未知量控制方程 位移表示的平衡方程 邊界條件 8 對(duì)應(yīng)原理 變分原理 研究 微分方程的積分形式 泛函變分與基本方程的對(duì)應(yīng)建立各種問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的變分原理任務(wù) 國(guó)體力學(xué)是建立固體變形規(guī)律所必須滿足的規(guī)律以及數(shù)學(xué)模型 為各種求解策略提供理論基礎(chǔ) 9 計(jì)算固體力學(xué)的任務(wù)和研究?jī)?nèi)容 任務(wù) 以固體力學(xué)的基本理論為基礎(chǔ) 研究利用計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)求解固體力學(xué)中各類問(wèn)題的數(shù)值分析理論 方法 建模 軟件實(shí)現(xiàn) 研究?jī)?nèi)容 1 研究固體力學(xué)中各類問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法 基本原理 2 采用數(shù)值模擬技術(shù) 分析固體的變形演化規(guī)律 破壞規(guī)律 應(yīng)力分布規(guī)律 揭示新的力學(xué)現(xiàn)象 包括材料性能揭示 工程中的力學(xué)問(wèn)題等 3 工程問(wèn)題的模型化 可視化 虛擬現(xiàn)實(shí) 10 結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題 各種工程結(jié)構(gòu)常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)元件 1 桿 梁 柱 長(zhǎng) 寬和高 2 板 中厚板 殼 厚 長(zhǎng)和寬 3 三維體 4 薄壁結(jié)構(gòu) 飛機(jī)機(jī)翼與機(jī)身等 5 以上結(jié)構(gòu)類型的復(fù)合體 結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題包括 1 強(qiáng)度問(wèn)題 應(yīng)力 2 剛度問(wèn)題 變形 3 穩(wěn)定性問(wèn)題 4 振動(dòng)問(wèn)題 11 有限元法 位移協(xié)調(diào)元 雜交元 應(yīng)力元 擬協(xié)調(diào)元 邊界元法無(wú)網(wǎng)格法 mesh freemethod Non structuralfinitedifference Orkisz 2001 Element freeGalerkin Belytschko 1994 Smoothparticlehydrodynamic Gingold 1997 PartitionofUnity Melenk 1996 FinitePointmethod Onate 1996 Meshlessfiniteelement Onate 2003 Finitesphere Bathe 2001 Naturalelement Belytschko 1998 擴(kuò)展的有限元法 x FEM 等幾何法 isogeometricmethod 變分法加權(quán)殘數(shù)法 計(jì)算固體力學(xué)的主要方法 12 近似求解偏微分方程的數(shù)值方法 LordRayleighandRitz Galerkin采用試函數(shù) trialfunctions 對(duì)偏微分方程的解進(jìn)行近似 Courant引入子域內(nèi)分片連續(xù)試函數(shù) piecewise continuousfunctions 的概念 標(biāo)志著有限元方法的起始 有限元法的發(fā)展歷史 1960s Clough在平面應(yīng)力分析中引入finiteelement的名稱 1960s 1970s 板彎曲 殼彎曲 壓力容器 三維彈性問(wèn)題 流動(dòng) 熱傳導(dǎo)等采用有限元方法求解 美國(guó)空間計(jì)劃支持Nastran的開(kāi)發(fā) 1970s 開(kāi)發(fā)了ANSYS ALGOR COSMOS M SAP NONSAPandABAQUSetc 目前 FEM系統(tǒng)可在微機(jī)上解決大規(guī)模結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題 13 計(jì)算力學(xué)發(fā)展展望 計(jì)算力學(xué)研究采用計(jì)算機(jī)和相應(yīng)計(jì)算方法求解力學(xué)問(wèn)題 認(rèn)識(shí)力學(xué)現(xiàn)象的方法 理論 軟件實(shí)現(xiàn)和工程應(yīng)用 計(jì)算力學(xué)是力學(xué)學(xué)科和計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)交叉而形成的力學(xué)分支 是計(jì)算科學(xué)和工程的核心學(xué)科 計(jì)算力學(xué)起始于有限元法 有限元法的誕生可追溯到50年代中期Martin Clough Turner 1956 Argyris 1955 等的工作 前者為了采用計(jì)算機(jī)求解波音公司的三角形機(jī)翼動(dòng)力問(wèn)題 在Zienkiewicz等人的努力下 這一方法被迅速推廣至連續(xù)體 巖土工程 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 穩(wěn)定性問(wèn)題的求解 其基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論和求解問(wèn)題的算法也不斷得到完善 有限元法取得的巨大成功是驚人的 它以經(jīng)典牛頓力學(xué)為基礎(chǔ) 為人們提供前所未有的能力 預(yù)測(cè)和理解復(fù)雜系統(tǒng) 模擬復(fù)雜的物理現(xiàn)象 利用這些模擬設(shè)計(jì)復(fù)雜的工程系統(tǒng) 它已使力學(xué)這個(gè)古老學(xué)科成為對(duì)制造 通訊 運(yùn)輸 醫(yī)療 國(guó)防和很多對(duì)人類文明非常核心的領(lǐng)域產(chǎn)生決定性影響的學(xué)科 對(duì)科學(xué)和技術(shù)已經(jīng)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響 14 計(jì)算力學(xué)發(fā)展展望 計(jì)算力學(xué)的延伸造就了CAE軟件和產(chǎn)業(yè) 而CAE產(chǎn)業(yè)產(chǎn)生了巨大的社會(huì)和經(jīng)濟(jì)效益 其直接經(jīng)濟(jì)效益每年達(dá)數(shù)十億美元 而間接經(jīng)濟(jì)效益上百億美元 計(jì)算力學(xué)已經(jīng)引發(fā)一個(gè)令人振奮的新觀點(diǎn) 理論 實(shí)驗(yàn)和計(jì)算成為現(xiàn)代科學(xué)的三大支撐 產(chǎn)生了一個(gè)新的領(lǐng)域 計(jì)算科學(xué) 在2005年美國(guó)總統(tǒng)信息技術(shù)顧問(wèn)委員會(huì)給總統(tǒng)的報(bào)告 計(jì)算科學(xué) 確保美國(guó)競(jìng)爭(zhēng)力 中指出 計(jì)算科學(xué)采用先進(jìn)的計(jì)算能力理解和求解復(fù)雜問(wèn)題 已經(jīng)成為對(duì)美國(guó)科技領(lǐng)導(dǎo)地位 經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力和國(guó)家安全的關(guān)鍵 計(jì)算科學(xué)是21世紀(jì)最重要的技術(shù)領(lǐng)域之一 15 隨著計(jì)算機(jī)軟硬件和軟件開(kāi)發(fā)新工具 外圍設(shè)備和相關(guān)工具的改進(jìn)和發(fā)展 新世紀(jì)的計(jì)算力學(xué)有了前所未有的發(fā)展機(jī)遇隨著人們關(guān)心以量子 分子和生物力學(xué)為基礎(chǔ)的物理 微電子 微機(jī)電系統(tǒng) 和生物系統(tǒng)的模型 關(guān)心巨尺度的自然現(xiàn)象 海嘯 雪崩 計(jì)算力學(xué)有無(wú)限的未來(lái)發(fā)展和應(yīng)用的前景計(jì)算力學(xué)研究具有跨學(xué)科的性質(zhì) 使其能反映概念 方法和原則的組合 常常橫跨力學(xué) 數(shù)學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域 其成功推動(dòng)了 基于模擬的工程科學(xué) 的產(chǎn)生 計(jì)算力學(xué)發(fā)展展望 16 計(jì)算力學(xué)發(fā)展展望 基于模擬的工程科學(xué) 已經(jīng)并將持續(xù)對(duì)工程 科學(xué)研究和解決重大社會(huì)問(wèn)題各個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生巨大的影響 將帶來(lái)新世紀(jì)工程科學(xué)的革命性變革RevolutionizingEngineeringSciencethroughSimulation 基于模擬的工程科學(xué) Simulation basedEngineeringScience 為工程系統(tǒng)的模擬提供科學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)科 它關(guān)注復(fù)雜 相互關(guān)聯(lián)的工程系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模型和模擬 關(guān)注滿足規(guī)定精度和可靠度標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)的獲取 它已科學(xué)理解的進(jìn)步為基礎(chǔ) 并通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬 將其與解決工程問(wèn)題的新方法結(jié)合 17 教學(xué)內(nèi)容 計(jì)算固體力學(xué)的基本理論固體力學(xué) 以彈性力學(xué)為主描述 的基本理論能量 變分原理和變分法特殊問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法介紹各類方法的構(gòu)造過(guò)程計(jì)算固體力學(xué)的主要方法有限差分法 FiniteDifferentMethod 加權(quán)殘數(shù)法 WeightedResidualMethod 有限元法 FiniteElementMethod 無(wú)網(wǎng)格法 MeshlessMethod 邊界元方法 BoundaryelementMethod 有限元法的應(yīng)用和前后處理 18 19 常用的數(shù)學(xué)知識(shí)和記號(hào) 張量和張量運(yùn)算張量 滿足一定的坐標(biāo)變化規(guī)律的數(shù)表 例如 向量 在不同的坐標(biāo)系下 分量和滿足矢量的變換關(guān)系稱為一階張量 二階張量 第二章彈性力學(xué)基本理論 20 加減運(yùn)算 點(diǎn)積運(yùn)算 內(nèi)積 求和約定 微分運(yùn)算 例如 應(yīng)變 張量的運(yùn)算 21 彈性力學(xué)的基本理論 彈性力學(xué)的基本假定 連續(xù)性 均勻性 各向同性 完全彈性 小變形五個(gè)假設(shè)建立根據(jù)作用于彈性體上的外力 決定彈性體內(nèi)的變形和應(yīng)力及其演化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型 控制方程 彈性體的變形和內(nèi)力描寫 應(yīng)變 應(yīng)力的定義用應(yīng)變張量描寫每一點(diǎn)的變形用應(yīng)力張量描寫每一點(diǎn)的內(nèi)力 22 彈性力學(xué)的基本方程 應(yīng)力 外力之間的關(guān)系 平衡方程 運(yùn)動(dòng)方程 位移和應(yīng)變的關(guān)系 幾何關(guān)系應(yīng)力 應(yīng)變之間的關(guān)系 物理本構(gòu)研究變形機(jī)理 變形的誘因 外部作用 例如 彈性力學(xué)問(wèn)題 Hooke定律 熱彈性問(wèn)題 熱膨脹規(guī)律 彈性常數(shù)歲溫度的變化規(guī)律 塑性力學(xué) 屈服條件 強(qiáng)化準(zhǔn)則 流動(dòng)準(zhǔn)則 斷裂力學(xué) 裂紋起裂條件和裂紋擴(kuò)展規(guī)律等 23 應(yīng)力和平衡方程 應(yīng)力 單位面積上的內(nèi)力應(yīng)力與作用面的方向相關(guān) 各方向上的應(yīng)力稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 為了完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 可取與坐標(biāo)軸垂直的三個(gè)面上的應(yīng)力表示 為應(yīng)力張量對(duì)稱性 應(yīng)力向量 矩陣形式的表示方法 24 平衡方程 可寫成或矩陣形式 25 應(yīng)力邊界條件矩陣形式張量形式其中 方向余弦 26 幾何關(guān)系 位移和應(yīng)變的關(guān)系 根據(jù)彈性體每一點(diǎn)的位移 給出每一點(diǎn)的變形 應(yīng)變 轉(zhuǎn)角 建立變形與位移之間的定量關(guān)系 Q P ds Q P ds 變形前 變形后 任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) u v w 27 Green應(yīng)變 Green應(yīng)變E定義為 設(shè)分別為變形前后的材料矢量 Green應(yīng)變的推導(dǎo) 與Green應(yīng)變定義對(duì)比 得到 28 位移 應(yīng)變與幾何方程 位移應(yīng)變小變形 29 位移 應(yīng)變與幾何方程 張量形式矩陣形式 30 大變形 31 線性彈性應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系 線彈性 胡克定律 單向拉伸 如彈簧等廣義胡克定律 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)非線性彈性應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系 含 內(nèi)變量 并與熱相關(guān)粘彈性本構(gòu)關(guān)系 應(yīng)力與應(yīng)變率相關(guān) 材料的本構(gòu)關(guān)系 32 低碳鋼單軸拉伸試驗(yàn)曲線 試件 頸縮 33 一般線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系 應(yīng)力和應(yīng)變滿足 由功的互等關(guān)系 共有21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)注意 主應(yīng)力和主應(yīng)變方向不重合 34 各向同性線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系 各向同性線彈性和小變形假設(shè)下 應(yīng)力和應(yīng)變滿足廣義虎克定律 對(duì)各向同性材料有 有2個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù) 主應(yīng)力和主應(yīng)變方向重合 35 各向同性線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系 對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài) 上式成為 或 對(duì)于平面應(yīng)變狀態(tài) 則為 或 36 線彈性本構(gòu)關(guān)系的張量表示 一般的各向異性材料的線彈性應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系 或 對(duì)于一般的各向異性材料 彈性常數(shù)中只有21個(gè)獨(dú)立 三維各向同性材料本構(gòu)方程 37 正交各向異性線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系 應(yīng)力和應(yīng)變滿足 選取彈性對(duì)稱軸為x y z軸 由功的互等關(guān)系 共有9個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)若坐標(biāo)旋轉(zhuǎn) 則上述正交性質(zhì)將被掩蓋 38 熱應(yīng)變 對(duì)于各向同性材料 熱應(yīng)變與溫度變化成正比 考慮熱應(yīng)變 應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系成為 39 邊界條件在位移邊界條件上 在應(yīng)力邊界上 40 彈性力學(xué)問(wèn)題的構(gòu)成 彈性力學(xué)問(wèn)題的建立與求解變量 3個(gè)位移分量 6個(gè)應(yīng)力分量 6個(gè)應(yīng)變分量基本方程 平衡方程 幾何方程 物理方程邊界條件 位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件 41 求解方法及相對(duì)應(yīng)的控制方程 力法 以應(yīng)力為基本位移量平衡方程 變形協(xié)調(diào)方程位移法 以位移為基本未知數(shù)平衡方程 位移表示的平衡方程對(duì)應(yīng)原理 變分原理微分方程的積分形式 泛函變分與基本方程的對(duì)應(yīng) 建立各種問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的變分原理 總之 固體力學(xué)是建立固體變形規(guī)律所必需滿足的規(guī)律以及數(shù)學(xué)模型 為各種求解策略提供理論基礎(chǔ) 42 彈性力學(xué)的主要解法 解析法 湊合法與半湊合法 簡(jiǎn)化假定平截面假定 桿 梁 直法線假定 板殼 平面應(yīng)力問(wèn)題 平面應(yīng)變問(wèn)題 對(duì)稱問(wèn)題 軸對(duì)稱問(wèn)題 球?qū)ΨQ問(wèn)題 應(yīng)力函數(shù)法 復(fù)變函數(shù)法 積分方程法 有限差分法 變分法 光測(cè) 電測(cè) 數(shù)值方法 只能求解簡(jiǎn)單的問(wèn)題 簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)形狀 荷載分布和邊界條件 43 求解策略 物理模型的簡(jiǎn)化桿 梁 平面問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題 薄板平面應(yīng)力問(wèn)題 很厚 柱體板 殼 發(fā)展數(shù)值求解策略直接求解方法 差分方法積分形式的控制方程問(wèn)題 有限元 加權(quán)余量等 44 桿件 包括桿和梁 桿 只在軸向受力梁 考慮彎曲變形 幾何特點(diǎn) 結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向的尺度相近 但遠(yuǎn)小于第三方向尺度 基本假定 垂直于桿件軸線的平斷面變形后保持平斷面 三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為一維 無(wú)分布力時(shí) 桿的變形用線性函數(shù)描述即可 45 平面應(yīng)力問(wèn)題 幾何特點(diǎn) 結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向的尺度相近 但遠(yuǎn)大于第三方向尺度 受力特點(diǎn) 只受到在平面內(nèi)的力 平面外的應(yīng)力分量為0 三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維 46 平面應(yīng)變問(wèn)題 幾何特點(diǎn) 結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向的尺度相近 但第三方向尺度無(wú)窮大 受力特點(diǎn) 受到的力在第三方向是均勻的 平面外的應(yīng)變分量為0 三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維 47 幾何特點(diǎn) 結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向的尺度相近 但遠(yuǎn)大于第三方向尺度 受力特點(diǎn) 只受到在平面外的力 直法線假定 三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維 平板彎曲問(wèn)題