微積分課后題答案高等教育出版社.doc
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習(xí) 題 一(A) 1解下列不等式,并用區(qū)間表示不等式的解集:(1)x-47;(3)(5)(2)1x-23; x-a0); (4)(6)ax-x00); x2-x-60; x2+x-20解:.j即(-3,11). 1)由題意去掉絕對(duì)值符號(hào)可得:-7x-47,可解得-3x112)由題意去掉絕對(duì)值符號(hào)可得-3x-2-1或1x-23,可解得 -1x1,3x5.即(-1,1)3,53)由題意去掉絕對(duì)值符號(hào)可得-ex-e,解得a-exa+e.即(a-e , a+e);4)由題意去掉絕對(duì)值符號(hào)可得-dax-x0d,解得x-dax0,x3或x0,而2cosx0和4-x0可解得x-1 1x0,可解得 0x5,即(0 , 5).43)原函數(shù)若想有意義必須滿足1-x1+x0,可解得 -1x1,即(-1 , 1).x-202x34)原函數(shù)若想有意義必須滿足,即 2 , 3 ( 3 , 5 ),3. x-30,可解得 3x0x-1x2-4x+305)原函數(shù)若想有意義必須滿足,可解得 ,即(- , 1 3 , + ).x3(x-3)(x-1)0x00x101-lgx07)原函數(shù)若想有意義必須滿足1-102x0可解得00,2x-11可解得 -3 , -2 ( 3 , 4 )7. 4求下列分段函數(shù)的定義域及指定的函數(shù)值,并畫出它們的圖形: (1)y=-x2,2x33x4x-1,,求y(0) , y(3);(2) 解: 1x0x,y=x-3 ,0x1-2x+1 ,1x,求y(-3) , y(0) , y(5)1)原函數(shù)定義域?yàn)椋?-4 , 4) y=(0)=3 y=(3)=8.圖略2)原函數(shù)定義域?yàn)椋?- , +) y(-3)=-1 y=(0)=-3 y(5)=-9y(5)-9.圖略 3 5利用y=sinx的圖形,畫出下列函數(shù)的圖形:p(1)y=sinx+1; (2)y=2sinx; (3)y=sinx+ 6解:y=sinx的圖形如下y1 -1 2 x(1)y=sinx+1的圖形是將y=sinx的圖形沿沿y軸向上平移1個(gè)單位2 y10 p 3p 2 x (2)y=2sinx是將y=sinx的值域擴(kuò)大2倍。 y -2 2 2 p 3p(3)y=sin(x+p)是將y=sinx向2移動(dòng)p個(gè)單值。 6 y1-p 0-1 5p 11p x 6在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=xsin(x-2)x(x-1)(x-2)2 無界的為(A)(-1 , 0) B(0 , 1) C(1 , 2) D(2 , 3)解:f(x)是基本初等函數(shù)的組合,在其定義域 B(-1 , 1) C(-2 , -1) D(-3 , 0)解:7.C. 可畫出函數(shù)圖像判斷,圖略 8指出下列函數(shù)單調(diào)增加和單調(diào)減少的區(qū)間:(1)y= 解:(1)在0 , 2上,在2 , 4上;(2)在(- , +)上;(3)在(0 , +)上;(4)在(- , 0)上,在(0 , +)上 9設(shè)f(x)x4x-x2; (2)y=x5+2 (3)y=x+log2x; (4)y=1-3x2 在(0 , +)上單調(diào)減少,a , b是任意正數(shù),則有(C)f(a)+f(b) Bf(a+b)Af(a+b) 解:C; f(a)+f(b) f(a+b)f(a)+f(b)a+bf(a+b)f(a)f(a+b)f(b)a+baa+bba+baf(a)f(b)+aa設(shè)ab則f(a+b)f(b)a+baa 2f(a+b) 2f(a+b)2 f(a+b)10指出下列函數(shù)的奇偶性:(1)sinx+cosx; (2)xx x4-1+tanx;x0 ,1-x , 1+x , x0 .(3)lg( x+1-x);2 (4)ax+a-xa-a(5)coslgx; (6)f(x)= 解:1)偶函數(shù);f(-x)=sin(-x)+cos(-x)=sinx+cosx=-xxf(x)2)奇函數(shù);f(-x)=-x3)奇函數(shù);f(-x)=1g(x4-1+tan(-x)=xx4-1+tan(x)=-f(x) x2+1+x)=1g1x+1-x2=-f(x)4)奇函數(shù);f(-x)=a-x+axa-x-ax=-f(x)5)非奇非偶函數(shù);f(x)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱6)偶函數(shù). 1+x x0 f(-x)=1-x x0 11判別下列函數(shù)是否是周期函數(shù),若是則求出其周期:(1)sin2x; (2)3-sin4x;(3)xcosx; (3)2cosx-3sinx. 23 解:1)是周期函數(shù),因?yàn)閟in2(x+p)=sin2x ,所以周期T=p。2)是周期函數(shù),因?yàn)?-sin4(x+p)4=3-sin4x,所以周期T=p. 43)不是周期函數(shù)。4)因?yàn)?12設(shè)f(x)和g(x)均為周期函數(shù),f(x)的周期為2,g(x)的周期為3,問:f(x)g(x) ,f(x)g(x)cosx2的周期為4p,而sinx的周期為6p,所以符合函數(shù)周期為12p。 3是否是周期函數(shù),若是,求出它們的周期. 解:是周期函數(shù),且周期都是6。 13求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域:(1)y=x+3x-3,x1; (2)y=x3+7,xR;25-x2 , 0x5 ;2x-1 , 0x1 ,22-(x-2) , 1x2 . (3)y=lg(1-2x) , x0 ; (4)y= (5)y= 解:1).Y(x-1)=x+3 , (x1)x(1-7)=-y-3所以x=y+3 y1. y-1 x0 ;x-1 ,2 x0 ;x , (6)y=2).y=x3+7 , xRx=y-7 yR3).y=lg(1-2x) , x0 24).y=25-x2 , 0x5y2=25-x2x-25-y2 0y5.5).y=x-1 , x0.2x , x0.x=2x-1 , 0x1.22-(x-2) , 1x2.6).y=2x-1 , 0x1.22-(x-2) , 1x2.y+1 , -1y1x=22-2-y , 1x110. 18將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合:(1)y=lgtan2x; (2)y=arcsinax;(3)y=2 解:1).y=lgu , u=v2 , v=tanx. 2).Y=arcsinu , u=av , v=3).y=2u , u=xcosx2; (4)y=lg2arctanx3. . ,v=cosw , w=x2.4).y=u2 , u=1gv ,v=arctanw ,w=x3. 19在下列函數(shù)對(duì)y=(1)f(u)=f(u) , u=g(x)中,哪些可復(fù)合成fg(x),其定義域?yàn)楹危?u , g(x)=1g12+x2;(2)f(u)=lg(1-u) , g(x)=sinx;(3)f(u)=arccosu , g(x)=lgx;(4)f(u)=arcsinu , g(x)=x1+x2. 解:1).令u=g(x)=lg12+x210-1x.104). fg(x)=arcsin 20設(shè)f(x)= xx1=, (x1 , x) 解:ff(x)=1-2xx1-1-xxx11fff(x)=, (x , x , x)x1-3x231-1-2xx1+x , -p2x1+xp2=xR. x1-x,求ff(x)和ff(x). x2 , 0x1 , 求g(x)21設(shè)g(x+1)=2x , 1x2. 解:設(shè)u=x+1,則x=u-1.所以g(x+1)=g(u), 當(dāng)0x1時(shí),g(u)=(u-1)2,1u2. 當(dāng)1x2時(shí),g(u)=2(u-1),2u3.(x-1)所以g(x)= , 1x2. 2(x-1) , 20時(shí),f(x)+f(-x)=(x2-1)+1-(-x)2=0. 當(dāng)x0時(shí),f(x)+f(-x)=(-x)2-1+1-x2=0. 2 x0x-1 ,f(x)= , 求f(x)+f(-x). 21-x , x0). j(x)-1所以j(x)+1=x. j(x)-1所以j(x)=x+1(x0 , x1). x-1 25在半徑為R的球中 (0xR). 所以V=px2*2S=2px(x+2R2-x2).關(guān)于y的函數(shù)時(shí)y2x=R- , 0y2R)42.V=p(R2-y2)*y. 4y2y2-) , 0y2R. 44S=2p(R2+yR2-26某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品2000噸,其銷售策略如下:購買800噸以下時(shí)按每噸130元出售超過800噸的部分按九折出售,求銷售收入與銷量之間的關(guān)系解:設(shè)銷量為x(噸),則銷售收入為(元),0x800130x y= (元),800x2000117x+1040027設(shè)某商品的供給函數(shù)為S(p)=a+bcp,已知S(2)=30,S(3)=50,S(4)=90求a,b,c 解:由題意可得: S(2)=a+bc2=30a=103S(3)=a+bc=50b=5可以解得c=2 S(4)=a+bc4=90a=10b=5 c=228設(shè)一商場某商品售價(jià)為500元/臺(tái)時(shí)每月可消售1500臺(tái),每臺(tái)降價(jià)50元時(shí)每月可增銷250臺(tái),該商品的成本為400元/臺(tái),求商場經(jīng)營該商品的利潤與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系 解:設(shè)每臺(tái)售價(jià)為P,則銷量Q=500-P*250+1500 50(400=4000-5Pp500)則利潤函數(shù)L(P)=(P-400)(400-5P)=6000P-5P2-1600000(400P500)29某商場每月需購進(jìn)某商品2400件進(jìn)價(jià)為150元/件,分批進(jìn)貨,每批進(jìn)貨量相同,每次進(jìn)貨需500元,設(shè)商品的年平均庫存量為每批進(jìn)貨量之半,而每年每臺(tái)的庫存費(fèi)為進(jìn)價(jià)的6%,試將商場每月在該商品上的投資總額表示為每批進(jìn)貨量的函數(shù) 解:設(shè)一批進(jìn)貨x件,則每月投資總額y=(150x+500)*24001x+*150*6% x122x =360000+3x+1200000(01 y2x2(x2)則所以遞減故選D(8)f(-x)=-xtan(-x)esin-x=xtan xe-sinxg(x)f(x)f(x)不是偶函數(shù) =x沒有周期,f(x)不是周期函數(shù)是周期函數(shù),f(x)不是單調(diào)函數(shù) g(x)=tan xesinx2填空題(1)設(shè)f(x)=(2)設(shè)1+x x0則ff(x) 1, x0x , -x1-1f(x)=x2, 1 x4則其反函數(shù)f(x)= x 4x+2,xx-1(3)設(shè)f(x)+f=2x,x0,1,則f(x)=(4)已知f(x)=sinx,fj(x)=1-x2,則j(x)=的定義域是 解:(1)當(dāng)x<0時(shí),u=f(x)<1. 當(dāng)x>0時(shí),u=f(x)=1.所以ff(x)=f(u)=所以ff(x)=1+u,u0 1,u02+x,x-1; 1,x-1(2)由題意可知當(dāng)-1<x<1時(shí),y=f(x)(- ,1). 由題意可知當(dāng)1x4時(shí),y=f(x)1 ,16. 由題意可知當(dāng)4<x<+時(shí),y=f(x)16 ,+. 所以f(x)的反函數(shù)g(y)為 y ,-y1g(y)=y,116 log ,16y+2即x ,-x1f-1(x)=x ,1x16 log x,216x1) ; (2)xn1n=3(-1)n ; 1n(3)xn=1g ; (4)xn=(-1)n(1+) ;(5)xn=3+(-1)n ; (6)xn=sec ;11+L+1+3+5+L+(2n-1)2. (7)lim; (8)limnn2+4+6+L+2n1+L+221+1n1n 解:1)收斂.因?yàn)楫?dāng)n時(shí),an(a1) ;所以xn0 ;所以lim xn=lim xx1a=0 .3 n為偶數(shù)2)因?yàn)閤n=xn=1n為奇數(shù)3 所以xn是發(fā)散的;3)發(fā)散的.因?yàn)楫?dāng)n時(shí),4)因?yàn)閤n=1 n為偶數(shù)-1 n為奇數(shù)110;所以xn=1g-; nnxn是發(fā)散的; 所以5)收斂的.因?yàn)楫?dāng)n時(shí),6)收斂的.當(dāng)n時(shí), 110;所以xn=3+(-1)n3;即limxn=3; nnx110;sec1;即limxn=1; nnxn(1+2n-1)1+3+5L+(2n-1)n=7)因?yàn)? 2+4+6+L+2n1+n2所以limxn=1; 1+n所以是收斂的;111+L+1-1328)因?yàn)?= n-121+2n-11+L+1-()221-221-1 所以lim313=; x21+22所以是收斂的; 2.據(jù)我國古書記載,公元前三世紀(jì)戰(zhàn)國時(shí)代的思想家莊子在其著作中提出“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的樸素極限思想,將一尺長的木棒,“日取其半”,每日剩下的部分表示成數(shù)列,并考察其極限.解:數(shù)列為1, 2, K ,所以通項(xiàng)為an=12112212n-1 ; ;所以liman=0; x 3.由函數(shù)圖形判別函數(shù)極限是否存在,如存在則求出其值:(1)limxm(m0) ; (2)limxm(m0 , 1) ; (4)limax(a0 , 1) ; x0x(5)limlogax(a0 , 1) ; (6)limarccosx ; x1x-1(7)limarctanx ; (8)limcosx . x1x 解:1)當(dāng)x0時(shí),limxu(u0)=0 ; x2)limxu(u0)=limx1xx(u0 , a1)=1 x4) 00 a0 , a1)=x1 a1 .a1 ;5)limlogax(a0 , a1)=0 x-16)limarccosx=p所以cosp=-1 ; x-17)limarctanx=. x-1p48)limcosx的極限不存在 x 4求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的左、右極限,并判定函數(shù)在該點(diǎn)的極限是否存在:(1)f(x)=xx , x=0 ; (2)f(x)=1 3x, x=0 ;(3)f(x)= , x=0 ;1, x1 , x=1 . (4)f(x)=1g(1+x)arcsin(x-1) , 1x21x 解:1)lim-1f(x)=-1lim+f(x)=1 ;所以該點(diǎn)的極限不存在 x0x02)lim-1f(x)=0lim+f(x)= ;所以該點(diǎn)的極限不存在 x0x03)lim-1f(x)=-x0p2limf(x)=x0+p2;所以該點(diǎn)的極限不存在 4)lim-f(x)=x11limf(x)=0 ; 所以該點(diǎn)的極限不存在 1g2x1+ 5用e-d或e-N的方法陳述下列極限:(1)lim+f(x)=A ; (2)lim-f(x)=A ; xaxa(3)limf(x)=A ; (4)limf(x)=A . x+x-解:1)當(dāng)0x-ad時(shí) f(x)-Ax2)當(dāng)0a-xd時(shí) f(x)-AM時(shí) f(x)-Ax4)當(dāng)x-M時(shí) f(x)-A所以對(duì)于任意給定的x,存在N=11x1n即n1x成立 1n=0 x4當(dāng)nN時(shí)恒有-0N時(shí)恒有5-n25-n23n+12+10,存在d=x2當(dāng)0x+d時(shí) 恒有f(x)-0x成立故lim+x+1=0 x-14)對(duì)于任意給定的正數(shù)x要使x-01gx成立 所以存在X=1gx .當(dāng)xX時(shí)恒有x1gx成立即lim10x=0 . x 7求下列極限:(x+h)3-x3xn-1(1)lim ; (2)lim; h0x1x-1h(3)limx+1(arctanx+2x) ; (4)lim1x- ; x1x-1x-x-x-32+x(5)limx21-+x2x0; (6)limx ;(7)limx+1-3x-2-2x4 ; (8)lim(x2+x+1-x2-x-3) . x(x+h)3-h3x3+3x2h+3xh2+h3-x3解:1)lim=lim=lim(3x2+3xh+h2)=3x2 h0h0h0hhxn-12)lim=n x1x-11p3)limarctanx+2x=lim(arctanx+1)=+1 x+2x+4)lim(x1x1(x-1)(x+1)x+1 -)=lim=limx1x(x-1)x1xx-1x-xx2=limx2(1+x2)-x25)limx01-+x2x0=-lim(1+x2)=-2 x06)lim-x-32+xx-=1-x-9(2+x)(-x+3) =(2+x)(x2-2x+4)(2+x)(-x+3)=-2 7)lim2x+1-3x-2-2x4=lim(x+1-3)(2x+1+3)x-2-2)(2x+1+3)x4(=lim=lim =2(x-4)x-2-2)(2x+1+3)(2x+1+3)x4(2(x-2+2)x4 2 38)lim(x2+x+1-x2-x-3) x=lim(x2x+4x+x+1+x-x-32+422) =lim(x+1113+-xxxx)=1 8求lim5-4nn-15n-4n-1n5+3. 解:limn5+314n()=1 =limn55+9()n51- 9下列數(shù)列xn,當(dāng)n時(shí)是否是無窮小量?(1)xn=10503n; (2)xn=1+(-1)n1n;(3)xn=n . 解:1)是無窮小量 因?yàn)閘imxn=0 n2)是,因?yàn)閘imxn=0(n為奇數(shù)或者偶數(shù)) n3)不是. 10當(dāng)x0時(shí)下列變量中哪些是無窮小量?哪些是無窮大量?(1)y=100x3 ; (2)y=110x ;(3)y=log2(1+x) ; (4)y=cot4x ;(5)y=sec-x ; (6)y=sin. 2p1x1x 解:1)是無窮小,因?yàn)閘imy=0 x02)是無窮大量,因?yàn)閘imy=+ x03)是無窮小量,因?yàn)閘imy=0 x04)是無窮大量,因?yàn)閘imy=+ x05)是無窮大量,因?yàn)閘imy=+ x06)非大非小 11已知lim解:因?yàn)閘im2arctanx2x2=lim= , x0x05x5x5xx0f(x)存在,而limg(x)=0,證明limf(x)=0 . g(x)xx0xx0limf(x)f(x)xx0lim=存在 xx0g(x)limg(x)xx0而limg(x)=0 xx0所以limf(x)=0 ; xx0 12設(shè)limx2+ax+b解:因?yàn)閘im=limx+y=3 x1x1x-1x2+ax+b=3,求a,b. x1x-1所以x2+ax+b(x-1)(x-2) =x-1x-1所以a=1,b=-2 -ax-b=0,求a,b . 13設(shè)limxx+1x2+1 x2+1x2+1-ax2-ax-bx-b解:lim(-ax-b)=lim=0 xx+1xx+1所以即x2+1-ax2-ax-bx-b為一常數(shù)所以a=1 b=-1 14當(dāng)x0時(shí),下列變量中與3x2+x4相比為同階無窮小的是(B).Ax Bx2 Cx3 Dx4解:B 因?yàn)閘im 15求lim解:lim3n-9n82x2+x4x03x2=lim1x03+x2=1 3-9n28n. 5n-81n+21n5-9=3 n=lim5n-81n+2n52-+8nn 16設(shè)xa時(shí)f(x),g(x),則下列各式中成立的是(D).Af(x)+g(x) Bf(x)-g(x)0C110 D0 f(x)+g(x)f(x)解:D.因?yàn)閤a時(shí)f(x),g(x),所以 17求下列極限(1)lim 解:1)lim(2x+1)10(3x-4)5(2x-7)110,0. f(x)g(x)(2x+1)10(3x-4)5(2x-7)x; (2)lim(100+cosx) . xx3+xx2+1(2x+1)10(3x-4)5=limxx15(2x-7)15x15=21035215=243 3211+x+1x(100+105x) 2)lim(100+105x)=limxx+xx1+2x2 18求下列極限:(1)limsin2xx-sinx; (2)lim; x0sin3xx0x+sinx(3)lim2arctanxp ; (4)limnsin ; x05xnnsinxx ; (6)lim; xpp-xx0+-cosx-cosx2tanx-sinx; (8)lim; 1-cosxx0x(5)lim(7)limx0(9)limx-xcosxsin(x-1) ; (10)lim . x0tanx-sinxx- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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