六年級奧數(shù) 濃度問題講義.doc

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六年級奧數(shù) 濃度問題講義 一、專題引導(dǎo)： 什么是濃度呢？（以糖水為例，將糖溶于水中得到糖水，這里糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。） 三者之間關(guān)系：濃度＝ 100％＝ 100％ 二、典型例題 例1、有濃度為30％的酒精溶液若干，添加了一定數(shù)量的水后稀釋成濃度為24％的酒精溶液，如果再加入同樣的水，那么酒精溶液的濃度變?yōu)槎嗌伲? 思路導(dǎo)航：稀釋問題是溶質(zhì)的重量是不變量。 例2、有濃度為7％的鹽水600克，要使鹽水的濃度加大到10％，需要加鹽多少克？ 思路導(dǎo)航：溶劑重理不變。 [練習(xí)]海水中鹽的含量為5％，在40千克海水中，需加多少千克淡水才使海水中鹽的含量為2％？ 例3、在濃度為50％的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克濃度為5％的硫酸溶液，就可以配制成濃度為25％的硫酸溶液？ 思路導(dǎo)航：混合前兩種溶液中所含溶質(zhì)的重量、溶劑的重量、溶液的重量分別等于混合后溶液中所含溶質(zhì)的重量、溶劑的重量、溶液的重量。 [練習(xí)]配制硫酸含量為20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克？ 例4、從裝滿100克濃度為80％的鹽水杯中倒出40克鹽水，再用清水將杯加滿；再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿，如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多少？ 思路導(dǎo)航：反復(fù)三次后，杯中又已裝滿，即最后杯中鹽水的重量仍為100克，由此；問題的關(guān)鍵是求出如此反復(fù)三次后還剩鹽多少克？ [練習(xí)]①有鹽水若干升，加入一定量水后，鹽水濃度降到3％，又加入同樣多的水后,鹽水濃度又降到2％,再加入同樣多的水,此時(shí)濃度是多少呢?又問未加入水時(shí)鹽水濃度是多少? ②有含糖6％的糖水900克,要使其含糖量加大到10％,需加糖多少克? 比 和 比 例 應(yīng) 用 題 例4、乘坐某路汽車成年人票價(jià)3元，兒童票價(jià)2元，殘疾人票價(jià)1元，某天乘車的成年人、兒童和殘疾人的人數(shù)比是50:20:1，共收得票款26740元，這天乘車中成年人、兒童和殘疾人各有多少人？ 思路導(dǎo)航:單價(jià)比:成年人:兒童:殘疾人=3:2:1 人數(shù)比:50:20:1 [練習(xí)]甲乙兩人走同一段路，甲要20分鐘，乙要15分鐘，現(xiàn)在甲、乙兩人分別同時(shí)從相距840米的兩地相向而行，相遇時(shí)，甲、乙各走了多少米？ 例5、“希望小學(xué)”搞了一次募捐活動，她們用募捐所得的錢購買了甲、乙、丙三種商品，這三種商品的單價(jià)分別為30元、15元和10元。已知購得的甲商品與乙商品的數(shù)量之比為5:6，乙商品與丙商品的數(shù)量之比為4:11，且購買丙商品比購買甲商品多花了210元。 思路導(dǎo)航:根據(jù)已知條件可先求三種商品的數(shù)量比。 [練習(xí)]一種什錦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:4:3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的單價(jià)比是11:8:7,要合成這樣的什錦糖120千克，什錦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？ 例6、A、B、C是三個(gè)順次咬合的齒輪。當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈時(shí)，B恰好轉(zhuǎn)3圈；當(dāng)B轉(zhuǎn)4圈時(shí)，C恰好轉(zhuǎn)5圈，問這三個(gè)齒輪的齒數(shù)的最小數(shù)分別是多少？ 思路導(dǎo)航:根據(jù)已知條件 可知A、B、C轉(zhuǎn)速與齒數(shù)的積都相等，即它們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比例。 [練習(xí)] P39-6 鞏 固: 1、甲、乙、丙三個(gè)平行四邊形的底之比是4:5:6，高之比是3:2:1，已知三個(gè)平行四邊形的面積和是140平方分米，那么甲、乙、丙三個(gè)平行四邊形的面積各是多少？ 2、甲、乙、丙三個(gè)三角形的面積之比是8:9:10，高之比是2:3:4，對應(yīng)的底之比是多少？ 3、某校四、五年級參加數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)相等，四年級獲獎人數(shù)與未獲獎人數(shù)的比是1:4，五年級獲獎人數(shù)與未獲獎人數(shù)的比是2:7；兩個(gè)年級中獲獎與未獲獎人數(shù)的比是多少？ 4、盒子里共有紅、白、黑三種顏色的彩球共68個(gè)，紅球與白球個(gè)數(shù)的比是1:2，白球與黑球個(gè)數(shù)的比是3:4，紅球有多少個(gè)？ 六年級秋季班第一講 找規(guī)律、計(jì)數(shù) 家教班、基礎(chǔ)班作業(yè) 1． 將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由。 3． 有多少個(gè)四位數(shù)，滿足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？ 4． 分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？ 5． 現(xiàn)在流行的變速自行車，在主動軸和后軸分別安裝了幾個(gè)齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過不同的傳動比獲得若干不同的車速?！跋Ｍ啤弊兯僮孕熊囍鲃虞S上有3個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問：這種變速車一共有多少檔不同的車速。 6． 一次考試五人的總分是423分，每人的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，并且各不相同。問得分最少的人，最多得多少分？ 解析 7． 1、將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由。 解答：根據(jù)公式1＋ （注意：切分平面的是直線而不是圓），時(shí)，最多可將平面分成塊；時(shí)，最多可將平面分成塊，所以至少要畫10條直線。 2、 解答：將分子和分母之和相等的分?jǐn)?shù)看作一組。每組分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)恰好是自然數(shù)的排列：1，2，3…分?jǐn)?shù)位于分子和分母之和為57的那一組的第40個(gè)，這一組為： 共56個(gè)分?jǐn)?shù)，這一組之前共有： 1+2+3+…+55=（1＋55）552=1540 1540＋40=1580（個(gè)） 3、有多少個(gè)四位數(shù)，滿足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？ 解答：從0~9中選定4個(gè)數(shù)字即可確定唯一一個(gè)符合條件的四位數(shù)，例如0、7、3、1只能對應(yīng)3107，所以用組合數(shù)，10個(gè)數(shù)字選4個(gè)，即。 4、分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？ 解答：分子是1時(shí)，分母可取2~59，共58個(gè)分?jǐn)?shù)； 分子是2時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1以外的所有奇數(shù)，共30-1=29個(gè)； 分子是3時(shí)，分母可取60以內(nèi)除了3的倍數(shù)以及1、2以外的所有數(shù)，共60-603-2=38個(gè)； 分子是4時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1、3以外的所有奇數(shù)，共28個(gè)； 分子是5是，分母可取60以內(nèi)除了5的倍數(shù)以及1、2、3、4以外的所有數(shù)，共60-605-4=44個(gè)； 由上可知，符合條件的真分?jǐn)?shù)共計(jì)58+29+38+28+44=197個(gè)。 5、現(xiàn)在流行的變速自行車，在主動軸和后軸分別安裝了幾個(gè)齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過不同的傳動比獲得若干不同的車速?！跋Ｍ啤弊兯僮孕熊囍鲃虞S上有3個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問：這種變速車一共有多少檔不同的車速 解答：根據(jù)乘法原理，共有34=12種檔位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以實(shí)際只有12-4=8種不同的車速。 6、一次考試五人的總分是423分，每人的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，并且各不相同。問得分最少的人，最多得多少分？ 解答：得分最少的人比其余四人，至少分別要少1，2，3，4分所以最少得分要[423－（1＋2＋3＋4）]5=82.6分 得分最少的人，最多得82分 提高班作業(yè) 1、將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由。 2、 一個(gè)長方形把平面分成兩部分，那么3個(gè)長方形最多把平面分成多少部分？ 3、 有多少個(gè)四位數(shù)，滿足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？ 4、 分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？ 5、 現(xiàn)在流行的變速自行車，在主動軸和后軸分別安裝了幾個(gè)齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過不同的傳動比獲得若干不同的車速?！跋Ｍ啤弊兯僮孕熊囍鲃虞S上有3個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問：這種變速車一共有多少檔不同的車速。 6、 小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？ 解析 1. 解析： 根據(jù)公式1＋（注意：切分平面的是直線而不是圓），時(shí)，最多可將平面分成塊；時(shí)，最多可將平面分成塊，所以至少要畫10條直線。 2. 解析： 根據(jù)公式4，當(dāng)時(shí)，最多可將平面分成塊。 3. 解析： 從0~9中選定4個(gè)數(shù)字即可確定唯一一個(gè)符合條件的四位數(shù)，例如0、7、3、1只能對應(yīng)3107，所以用組合數(shù)，10個(gè)數(shù)字選4個(gè)，即。 4. 解析： 分子是1時(shí)，分母可取2~59，共58個(gè)分?jǐn)?shù)； 分子是2時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1以外的所有奇數(shù)，共30-1=29個(gè)； 分子是3時(shí)，分母可取60以內(nèi)除了3的倍數(shù)以及1、2以外的所有數(shù)，共60-603-2=38個(gè)； 分子是4時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1、3以外的所有奇數(shù)，共28個(gè)； 分子是5是，分母可取60以內(nèi)除了5的倍數(shù)以及1、2、3、4以外的所有數(shù)，共60-605-4=44個(gè)； 由上可知，符合條件的真分?jǐn)?shù)共計(jì)58+29+38+28+44=197個(gè)。 5. 解析： 根據(jù)乘法原理，共有34=12種檔位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以實(shí)際只有12-4=8種不同的車速。 6. 解析： 列表解題，第四個(gè)數(shù)=第一個(gè)數(shù)＋第二個(gè)數(shù)。 臺階 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 走法 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 精英班作業(yè) 1、 將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由。 2、 一個(gè)長方形把平面分成兩部分，那么3個(gè)長方形最多把平面分成多少部分？ 3、 有多少個(gè)四位數(shù)，滿足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？ 4、 分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？ 5、 現(xiàn)在流行的變速自行車，在主動軸和后軸分別安裝了幾個(gè)齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過不同的傳動比獲得若干不同的車速。“希望牌”變速自行車主動軸上有3個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問：這種變速車一共有多少檔不同的車速。 6、 小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？ 解析 1、 解析： 根據(jù)公式1＋（注意：切分平面的是直線而不是圓），時(shí)，最多可將平面分成塊；時(shí)，最多可將平面分成塊，所以至少要畫10條直線。 2、 解析： 根據(jù)公式4，當(dāng)時(shí)，最多可將平面分成塊。 3、 解析： 從0~9中選定4個(gè)數(shù)字即可確定唯一一個(gè)符合條件的四位數(shù)，例如0、7、3、1只能對應(yīng)3107，所以用組合數(shù)，10個(gè)數(shù)字選4個(gè)，即。 4、 解析： 分子是1時(shí)，分母可取2~59，共58個(gè)分?jǐn)?shù)； 分子是2時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1以外的所有奇數(shù)，共30-1=29個(gè)； 分子是3時(shí)，分母可取60以內(nèi)除了3的倍數(shù)以及1、2以外的所有數(shù)，共60-603-2=38個(gè)； 分子是4時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1、3以外的所有奇數(shù)，共28個(gè)； 分子是5是，分母可取60以內(nèi)除了5的倍數(shù)以及1、2、3、4以外的所有數(shù)，共60-605-4=44個(gè)； 由上可知，符合條件的真分?jǐn)?shù)共計(jì)58+29+38+28+44=197個(gè)。 5、 解析： 根據(jù)乘法原理，共有34=12種檔位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以實(shí)際只有12-4=8種不同的車速。 6、 解析：列表解題，第四個(gè)數(shù)=第一個(gè)數(shù)＋第二個(gè)數(shù)。 臺階 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 走法 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 從算術(shù)到代數(shù)（一） 　　算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門不同的分科，但它們之間關(guān)系密切.代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運(yùn)算”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的. 　　在小學(xué)算術(shù)課本里同學(xué)們由淺入深地學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算，并學(xué)會了用這些四則運(yùn)算去解一些不太復(fù)雜的四則應(yīng)用題.歸納一下，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)主要用到了以下三種關(guān)系： 　?、俨糠?jǐn)?shù)與總數(shù)的關(guān)系； 　?、趦蓴?shù)差的關(guān)系； 　?、垡槐稊?shù)（或一份數(shù)）、倍數(shù)和幾倍數(shù)的關(guān)系.第1、第2種關(guān)系用“加”、“減”法完成，第3種關(guān)系則用乘、除法完成.在解四則運(yùn)算題時(shí)用到了對于數(shù)的“加法”、“乘法”都普遍成立的運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律.設(shè)a、b、c表示任意三個(gè)數(shù)，下列等式恒成立： 　　交換律：a＋b=b+a，ab=ba 　　結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b＋c） 　　 　　　 （ab）c=a（bc） 　　分配律：a（b+c）＝ab+ac. 　　另外，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)常按應(yīng)用題的性質(zhì)分為許多類型.如：和倍問題、差倍問題、行程問題、百分?jǐn)?shù)問題、比例問題、….對每類問題先歸納出解決這類問題的方法、公式，并找出理由加以解釋，再做這類題時(shí)就“套”這種公式.所以用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)，對不同類型的題用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算術(shù)方法解應(yīng)用題是不帶普遍性的. 　　代數(shù)方法的進(jìn)步首先在于找出了一個(gè)統(tǒng)一的方法，即用列“方程”來解很多不同類型的應(yīng)用題.“方程”是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一.用方程來解應(yīng)用題時(shí)，首先是用一些簡單的符號，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母來表示問題中待求的未知數(shù)，然后把這些未知數(shù)和已知數(shù)平等地看待，并把題目中的數(shù)量關(guān)系直接（平鋪直敘）“翻譯”為算式表示出來.這就是所謂依題意列方程.接著是通過代數(shù)方程去確定其中所含未知數(shù)應(yīng)該等于什么樣的值，即“解方程”.而解方程的原理就是對方程中的數(shù)，包括已知數(shù)和未知數(shù)，運(yùn)用在“算術(shù)”中學(xué)過的“數(shù)的運(yùn)算法則”把未知數(shù)求出來.因?yàn)檫@些法則是對任何數(shù)都成立的，當(dāng)然對那些暫時(shí)還不知它的值的“未知數(shù)”也應(yīng)當(dāng)成立.只要適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些法則，一般就可求出方程中的未知數(shù)的值.歸納起來用代數(shù)方法解應(yīng)用題的步驟如下： 　　1.設(shè)未知數(shù).常用x，y，z，t，s，…等字母表示. 　　2.依題意列方程.即把所要解決的代數(shù)問題中的未知量換成代表未知數(shù)的字母，把問題中各種量間的關(guān)系“翻譯”為帶字母的算式表示出來，特別注意找出其中的相等關(guān)系.用兩個(gè)代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)量，列出一個(gè)方程.因此方程是含有未知數(shù)的等式.一般說來，有n個(gè)相等關(guān)系就能列出n個(gè)方程，當(dāng)然我們從中選取列方程與解方程時(shí)最方便的形式. 　　3.解方程.目的是把原方程變成同解的形如ax＝b的方程，進(jìn)而解出　 　　①用分配律去括號.而不一定能像算術(shù)中那樣先把括號中數(shù)算出來.因?yàn)槠渲杏械氖俏粗獢?shù)算不出來.如下例中的（1）變成（2）. 　　例1 64+x=3（32-x） （1） 　　　　64+x=96-3 （2） 　　　　x+3x=96-64 （3） 　　　　　4x＝32 （4） 　　　　 　x=8. （5） 　?、谝祈?xiàng).把含未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)（即不含未知數(shù)的項(xiàng)）分離開來，分別移到等號兩端，注意移項(xiàng)變號法則.如上例中的（2）變成（3）. 　?、酆喜⑼愴?xiàng)，如上例中的（3）變成（4）. 　?、苡梦粗獢?shù)的系數(shù)去除方程兩端求出x的值.如上例中的（4）變成（5）. 　　4.驗(yàn)算.一是實(shí)際計(jì)算求出的根是否滿足方程，不滿足的都舍去，二是根據(jù)題目的實(shí)際意義，刪除不合理的解. 　　先以幾個(gè)簡單的四則應(yīng)用題為例來對“算術(shù)解法”與“代數(shù)解法”作一比較. 　　例2 車站給某工廠運(yùn)2000箱玻璃.合同規(guī)定完好地運(yùn)到一箱給5元運(yùn)費(fèi).如損壞一箱，不給運(yùn)費(fèi)，倒賠40元.這批玻璃運(yùn)到后，車站共收到運(yùn)貨款9190元.問損壞了幾箱玻璃. 　　解：①算術(shù)解法：假如設(shè)有損壞，2000箱玻璃全運(yùn)到，則應(yīng)得運(yùn)貨款：2000 5= 10000（元）. 　　和實(shí)際所得運(yùn)貨款相差： 　　10000-9190=810（元）. 　　現(xiàn)在讓我們用一箱好的換一箱損壞的玻璃，總箱數(shù)2000不變，但每換一箱所得運(yùn)貨款減少： 　　40＋5=45（元） 　　那么換多少箱，貨款正好減少多出來的810元呢？做除法： 　　81045＝18（箱）. 　　答：共換壞了18箱. 　?、诖鷶?shù)解法： 　　設(shè)損壞了x箱，則沒損壞的共2000-x箱. 　　依題意列方程 　　5（2000-x）-40x=9190 　　　　　　　　45x=10000-9190 　　　　　　　　45x=810 　　　　　　　　　x=18. 　　答：損壞了18箱. 　　比較這兩種解法，可見代數(shù)方法簡潔并具有高度普遍性.我們在后面的許多例題中都能充分地看出代數(shù)方法的優(yōu)越性.但這決不等于說可以取消算術(shù).這正如火車雖快決不能代替步行.在攀登高峰的崎嶇的小道上還常?？繄?jiān)實(shí)的足步.下面舉幾個(gè)例子來看看算術(shù)方法的不可缺少.因?yàn)橛械膯栴}不易找到等量關(guān)系列方程. 　　例3 一年級72名學(xué)生共交了□52.7□元課本費(fèi)，其中的百位數(shù)和百分位上的數(shù)被水弄模糊了.你能算出每人交多少元？ 　　解： 　　72＝8 9， 　　又∵（8，9）=1 　　　∴原數(shù)為25272分， 　　　∴每人應(yīng)交： 　　　2527272=351（分）. 　　答：每人交3.51元. 　　例4 求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小自然數(shù). 　　解：∵該數(shù)被6除余4 （1） 　　又 該數(shù)被10除余8 （2） 　　∴ 該數(shù)是偶數(shù). 　　再從被9除余4的偶數(shù)中從小到大挑選符合條件（1）、（2）的數(shù)： 　　4，4＋92=22，22＋92=40，40+92=58， 　　又 586=9…4 　　　 5810=5…8 　　 　589＝6…4 　　答：58為所求最小自然數(shù). 　　例5 三個(gè)學(xué)生甲、乙、丙各有若干張畫片互相贈送.第一次由甲送給乙、丙畫片，所送的張數(shù)等于乙、丙各人已有的畫片數(shù)；第二次由乙送給甲、丙畫片，所送的張數(shù)等于甲、丙各人已有的畫片數(shù)；最后由丙送給甲、乙畫片，所送的張數(shù)也正好等于甲、乙各人已有的畫片數(shù).這時(shí)每人的畫片數(shù)都是32張.問原來甲、乙、丙三人各有多少張畫片？ 　　解：用倒推法.由最后每人都是32張畫片開始，在下面表格里由上行到下一行逐行填寫，可知在第三次丙送畫片前，乙送完畫片后三人手中的畫片（張）；同理，在第二次乙送畫片前，甲送完畫片后三人手中的畫片數(shù)應(yīng)分…可推知原來：丙有16張，乙有28張，甲有8＋28＋16=52（張）. 　　答：原來甲有52張，乙有28張，丙有16張畫片. 　　例6 有甲、乙、丙三輛汽車，各以一定的速度從A地開往B地.乙比丙晚出發(fā)10分鐘，出發(fā)后40分鐘追上丙；甲比乙又晚出20分鐘，出發(fā)后1小時(shí)40分鐘追上丙.那么甲出發(fā)后需用多少分鐘才能追上乙？ 　　解法1：設(shè)三車速度依次為V甲，V乙，V丙.丙比乙早出發(fā)10分鐘，乙追上丙耗40分鐘，是典型的追及問題： 　　 　　丙比甲早出發(fā)30分鐘，甲追上丙耗100分鐘，也是追及問題： 　　 　　的某個(gè)倍數(shù)代入： 　　 　　解法1既用了算術(shù)的追及問題公式，又用了列方程的代數(shù)方法.下面再介紹一種列表法，對解這類題更方便. 　　解法2：我們把題中的條件按下列方式填入下面表格中：讓同一列格子中填行相同路程時(shí)甲、乙、丙三輛汽車各自所需的時(shí)間，如第一列中填入稍稍轉(zhuǎn)化了的已知條件：乙走40分鐘的路程丙需走40＋10=50（分鐘）；第二列中填入甲走100分鐘的路程丙需用100＋20＋10=130（分鐘）.以前兩列中條件的關(guān)系，再根據(jù)當(dāng)速度一定時(shí)路程與時(shí)間成正比的性質(zhì)，當(dāng)丙走650=[50，130]分鐘的路程時(shí)乙需用4013=520（分鐘），甲則需用1005=500分鐘.由于乙比甲早出發(fā)20分鐘，恰為520分鐘與500分鐘之差，因此甲出發(fā)后500分鐘時(shí)追上乙. 　　答：甲出發(fā)后需500分鐘才能追上乙. 　　說明：一般地，當(dāng)知道丙走c分鐘的路程與甲走a分鐘、乙走b分鐘的路程相等時(shí)，可列一方程求出所需的答案.設(shè)甲出發(fā)后ax分鐘追上乙，則 　　在本題的條件下，c=650，a=500，b=520. 　　 　　例7 星期日小明去找同學(xué)玩了兩三個(gè)小時(shí)，離開家時(shí)他看了看鐘，回家時(shí)又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針恰好互換了一個(gè)位置.問小明共離開家多少時(shí)間？ 　　解：因?yàn)樾∶麟x家回來時(shí)時(shí)針走到分針位置，分針走到時(shí)針位置，說明兩針合起來恰好走了若干個(gè)整圈.設(shè)外出時(shí)間分為二個(gè)時(shí)段，第一段為2小時(shí).小明出去整2小時(shí)，分針就應(yīng)轉(zhuǎn)過2圈，轉(zhuǎn)回原處，而時(shí)針兩小時(shí)走了 　　 習(xí)題九 　　1.把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，它與原來的數(shù)加起來恰好是某個(gè)自然數(shù)的平方，求原來這個(gè)兩位數(shù)與新得到的兩位數(shù)的和. 　　2.一輛汽車在公路上勻速行駛，司機(jī)看見里程碑上的數(shù)字是一個(gè)兩位數(shù)再過一小時(shí)，里程碑上是三位數(shù)，又恰好是第一個(gè)兩位數(shù)中間加了個(gè)零（用 　　3.在一個(gè)紅錢包與一個(gè)黑錢包里分別裝著6枚和8枚硬幣，并且兩個(gè)錢包中的總錢數(shù)相等.如果從紅錢包中任取兩枚硬幣與黑錢包中任取的兩枚硬幣交換時(shí)，紅錢包中的總錢數(shù)要么比原來多2分，要么比原來的錢數(shù)少2分.問兩個(gè)錢包中共裝了多少錢？（注：這里的硬幣只有1分、2分、5分三種） 習(xí)題九解答 　　 　　由題設(shè)條件應(yīng)有 　　 　　是某自然數(shù)的平方，由表達(dá)式11（a＋b）可知這個(gè)完全平方數(shù)既有一個(gè)約數(shù)11，就一定還有一個(gè)約數(shù)11，因此11是a+b的約數(shù)，而a、b又都只能取自1、2、3、…、8、9.故a+b＝11. 　　 　　答：原數(shù)與新數(shù)的和為121. 　　 　　 　　所以（10B＋A）-（10A+B）＝（100A+B）-（10B＋A） 　　即18B=108A，B=6A. 　　由于A、B都是一位非零數(shù)字，所以A＝1，B＝6. 　　答：第一個(gè)里程碑上數(shù)字是16，第二個(gè)里程碑上數(shù)字是61，第三個(gè)里程碑上數(shù)字是106. 　　3.解：我們先證明紅錢包里不可能同時(shí)裝有1分、2分、5分三種幣值的硬幣.因?yàn)榉駝t，從紅錢包里任取兩枚硬幣時(shí)，可能有2+1，2＋5，1+5三種情形.前兩種是奇數(shù)，后一種是偶數(shù).而從黑錢包里任取的二個(gè)硬幣都能使紅錢包的錢的奇偶性不變，這是不可能的.類似可知，紅錢包里不能同時(shí)有2分幣和1分幣或2分幣和5分幣.因此紅錢包中的硬幣只有兩種可能：一是全為2分幣；二是裝有一分與五分幣沒有2分幣.同理，黑錢包中或全為2分幣，或其中沒有2分幣.并且，由于兩錢包中錢數(shù)相等而硬幣數(shù)不等，因此不可能紅、黑錢包中都只有2分幣. 　　情形1：當(dāng)紅錢包中全為2分幣時(shí)，總錢數(shù)為26=12分.此時(shí)顯然黑錢包中不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的五分幣，也不可能都是一分幣（否則紅、黑錢包中裝錢數(shù)不等）.因此黑錢包里有一個(gè)五分幣和七個(gè)一分幣.這種情形顯然也滿足題目中的后一條件.這種情況，兩個(gè)錢包中總錢數(shù)為： 　　62+5+17=24（分），即2角4分錢. 　　情形2：紅錢包僅裝有一分或五分幣. 　?、俸阱X包中有8枚2分幣.則紅錢包中也應(yīng)有16（＝28）分.但一分幣和五分幣共6枚，總錢數(shù)不可能為16分，因此這種情形不可能發(fā)生. 　　②黑錢包中無2分幣，設(shè)紅錢包中有m枚五分幣，n枚一分幣；黑錢包中有p枚五分幣，q枚一分幣.則 　　m＋n＝6，p＋q=8，5m＋n=5p＋q. 　　顯然m＞p.因此5（n-p）=q-n，因?yàn)?＜q-n≤8，5│q-n，所以q-n=5，m-p=1.這兩式相減，得到（p+q）-（m＋n）=4.這與（p＋q）-（m＋n）=8-6＝2矛盾.所以這種情形也不會發(fā)生. 　　綜上所述，兩個(gè)錢包中共有2角4分錢. 第十講 從算術(shù)到代數(shù)（二） 　　在上一講中我們著重講了在許多問題中算術(shù)方法是不可缺少的；在這一講中，我們將通過一些例子看到代數(shù)方法不可取代的巨大優(yōu)越性和強(qiáng)大威力，同時(shí)說明一元一次方程，多元一次方程組，不定方程的一般解法. 　　例1 一個(gè)學(xué)生做25道數(shù)學(xué)題，對一題得4分，不答不給分，答錯(cuò)一題倒扣1分.他有3道題未做，得了73分.問他共答對了幾道題？ 　　解：設(shè)對了x道題，則答錯(cuò)25-3-x道題. 　　依題意列方程： 　　4x-（25-3-x）=73 　　　　　4x-22+x=73 　　　　　　 　5x＝95 　　　　　　　　x＝19. 　　答：這個(gè)學(xué)生答對了19道題. 　　例2 某水池裝有甲、乙兩個(gè)注水管，單放甲管需12小時(shí)注滿，單放乙管需24小時(shí)注滿.現(xiàn)在要求10小時(shí)注滿水池，并且甲、乙兩管合開的時(shí)間盡可能少，那么甲、乙兩管最少需要合放多少小時(shí)？ 　　解：分析一下，由于要求甲、乙兩管合放的時(shí)間盡可能少，所以必須讓注水快的甲管在10個(gè)小時(shí)中全開著.其余的由乙管補(bǔ)足. 　　設(shè)甲、乙兩管最少需合放x小時(shí)，則： 　　 　　答：甲、乙兩管最少需要合放4小時(shí). 　　例3 甲、乙兩隊(duì)學(xué)生參加郊區(qū)夏令營，但只有一輛車接送，坐不下.甲隊(duì)學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時(shí)，乙隊(duì)學(xué)生開始步行.車到途中某處讓甲隊(duì)學(xué)生下車步行，車立即返回接乙班學(xué)生并直開到夏令營，兩班學(xué)生正好同時(shí)到達(dá).已知學(xué)生步行速度為4千米/小時(shí)，汽車載學(xué)生時(shí)速度為40千米/小時(shí)，空車時(shí)速度為50千米/小時(shí)，問甲班學(xué)生應(yīng)步行全程的幾分之幾？ 　　解：如圖： 　　設(shè)全程為x千米，甲、乙兩隊(duì)分別步行a、b千米.要使兩隊(duì)學(xué)生同時(shí)到達(dá)夏令營，只有他們兩隊(duì)步行的路程相等才行，故a=b. 　　等量關(guān)系是：乙隊(duì)走a千米路程的時(shí)間正好等于汽車送完甲隊(duì)又原路返回時(shí)遇到乙隊(duì)的時(shí)間，即： 　　 　　去分母，兩端同乘200，得 　　5x-5a+4x-8a=50a 　　　　　　9x＝63a 　　 　　 　　例4 一個(gè)矩形長33厘米，寬32厘米，用正方形如下圖分割，已知最小正方形邊長為1厘米，第二個(gè)小正方形邊長為4厘米，請?jiān)趫D中填出其余正方形的邊長. 　　解：設(shè)如圖中第③個(gè)小正方形邊長為x，則其余每個(gè)正方形的邊長都可以用x的代數(shù)式表達(dá)出來，如圖所示. 　　再由大長方形的長為33厘米可得關(guān)系式： 　　2x＋1+x+11=33 　　　　　　3x=21 　　　　　 　x=7（厘米）. 　　于是圖中所有正方形的邊長均可將x＝7代入，得如圖所填的值. 　　還可以用大正方形的寬為32厘米來驗(yàn)證所求值的正確性： 　　2x+1+x+1+x+2=15+8+9=32（厘米）. 　　例5 小明每天定時(shí)從家到學(xué)校，若小明每分鐘走30米，則遲到3分鐘；若小明每分鐘走40米，則早到5分鐘.求小明家到學(xué)校的距離. 　　解：設(shè)小明家到學(xué)校的距離為S米，則 　　 　　去分母，方程兩端同乘以120： 　　4S-360=3S＋600 　　　 　S=960. 　　答：小明家離學(xué)校960米. 　　有的問題必須用兩個(gè)或更多的未知數(shù)才能列出方程，而且方程的個(gè)數(shù)也往往不只一個(gè)，我們稱含有兩個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)所在項(xiàng)的次數(shù)都是1次的這種方程為二元一次方程. 　　例如x+y=5. 　　適合這個(gè)二元一次方程的每一對未知數(shù)的值叫做二元一次方程的一個(gè)解.如：方程x+y=5的正整數(shù)解有： 　　x=1，y=4；x=2，y=3；x＝3，y=2，x=4，y=1這四個(gè)解. 　　如果一個(gè)問題的兩個(gè)未知數(shù)必須滿足兩個(gè)二元一次方程，這兩個(gè)方程聯(lián)立在一起就叫做二元一次方程組.同時(shí)適合這兩個(gè)二元一次方程的每一對未知數(shù)的值叫做這個(gè)二元一次方程組的一個(gè)解. 　　多個(gè)未知數(shù)的方程組也可以類似地定義，解法也類似，在這里舉兩個(gè)最簡單的例子來介紹二元一次方程組的解法.常用的有代入消元法和加減消元法.總之都是先設(shè)法消去一個(gè)未知數(shù). 　　①代入消元法： 　　例6 解二元一次方程組 　　 　　把（2）中的y用（1）中的3x代替，就可以消去一個(gè)未知數(shù)y，得： 　　x＋3x=8 　　　 4x=8 　　 　 x=2. 　　再把x=2的值代入（1）或（2），得：y=6. 　　∴這個(gè)方程組的解為 　　 　?、诩訙p消元法： 　　例7 解方程組 　　 　?。?）-（1）得：6x=54 　　　　　　　　　　x＝9. 　　 　　∴原方程組的解為 　　 　　再看幾個(gè)二元一次方程組的例子. 　　例8 一條路從甲地到乙地是下坡，從乙地到丙地是平路，一人騎車以每小時(shí)12千米的速度下坡，而以每小時(shí)9千米的速度通過平路到達(dá)丙地，共用了55分鐘；回來時(shí)以每小時(shí)8千米的速度行至乙地，又以每小時(shí)4千米的速度行到甲地，共用了1.5小時(shí).問從甲地到丙地共有多少千米？ 　　解：設(shè)從甲地到乙地為x千米，從乙地到丙地為y千米，依題意可得下列方程組： 　　 　　去分母， 　　（1）兩端同乘以36得： 　　　　3x+4y=33. 　?。?）兩端同乘以8得： 　　　　y+2x=12. 　　∴原方程組與下面方程組同解. 　　 　　由（4）得y=12-2x，代入（3）消去y得： 　　3x+4（12-2x）=33 　　　 　3x+48-8x＝33 　　　　　　　　5x=15 　　　　　　 　　x=3. 　　將x=3代入（4）得： 　　y＝12-23 　　y＝6. 　　∴原方程組的解為 　　 　　x+y=9. 　　答：從甲地到丙地共9千米. 　　例9 有甲、乙兩個(gè)桶，甲桶里裝了一些水，乙桶里裝了一種純農(nóng)藥，按下面方法來調(diào)配農(nóng)藥溶液：第一次甲桶倒進(jìn)乙桶里的水的數(shù)量與原來乙桶中農(nóng)藥數(shù)量相同，調(diào)勻；第二次把乙桶里的農(nóng)藥溶液倒進(jìn)甲桶里，倒回的數(shù)量與甲桶里剩的水的數(shù)量相同，調(diào)勻；第三次再把甲桶中的農(nóng)藥溶液倒回乙桶，數(shù)量與此時(shí)乙桶中的溶液數(shù)量相同，這時(shí)兩個(gè)桶中的農(nóng)藥溶液數(shù)量相同.請你算一算： 　?、匍_始時(shí)水與純農(nóng)藥的比. 　　②最后在甲桶里的水與純農(nóng)藥的比. 　?、圩詈笤谝彝袄锏乃c純農(nóng)藥的比. 　　解：設(shè)甲桶里原有x千克水，乙桶里有y千克純農(nóng)藥. 　　每次倒動后甲、乙兩桶中溶液的總量變化如下： 　　第一次 甲桶剩x-y（千克） 　　乙桶有：2y（千克） 　　第二次 甲桶有 2（x-y）（千克） 　　乙桶剩 2y-（x-y）=3y-x（千克） 　　第三次 甲桶剩2（x-y）-（3y-x）=3x-5y（千克） 　　乙桶有2（3y-x）（千克）. 　　①∵第三次倒完后兩桶中液體重量相同 　　　∴3x-5y＝2（3y-x） 　　　　3x-5y=6y-2x 　　　　 　5x＝11y 　　　∴x∶y=11∶5. 　?、凇咴诘谝淮尾僮骱蠹淄爸械膞-y千克都為水.由乙桶倒入的x-y千克溶液中有一半是水，另一半是純農(nóng)藥，故甲桶中最后水與純農(nóng)藥的比為3∶1. 　　純農(nóng)藥的比為： 　　 　　答：開始時(shí)水與純農(nóng)藥的比為11∶5. 　　最后甲桶溶液中水與純農(nóng)藥的比為3∶1. 　　而乙桶溶液中水與純農(nóng)藥的比為5∶3. 關(guān)于空間想象力的綜合訓(xùn)練題 　　1.將下圖中的硬紙片沿虛線折起來，便可以作成一個(gè)正方體.問這個(gè)正方體的2號面的對面是幾號面？ 　　2.有一個(gè)長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長方體的體積. 　　3.有一個(gè)正方體，邊長是5.如果它的左上方截去一個(gè)邊長分別是5、3、2的長方體（如下圖），求它的表面積減少的百分比是多少？ 　　4.有三個(gè)大小一樣的正方體，將接觸的面用膠粘接在一起成左圖的形狀，表面積比原來減少了16平方厘米.求所成形體的體積. 　　5.如下圖，從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長為2厘米的正方形，然后沿虛線折疊成長方體容器.這個(gè)容器的體積是多少立方厘米？ 　　6.一個(gè)正方體形的紙盒中恰好能放入一個(gè)體積為628立方厘米的圓柱體（下圖）.問紙盒的容積有多大？（圓周率取為3.14）. 　　7.一個(gè)高為30厘米，底面為邊長是10厘米的正方形的長方體水桶，其塊，問需要投入多少塊這種石塊才能使水面恰與桶高相齊？ 　　8.有兩種不同形狀的紙板，一種是正方形的，另一種是長方形的，正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶2.用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒.正好將紙板用完.問在所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少？ 　　9.如下圖，在棱長為3的正方體中由上到下，由左到右，由前到后，有三個(gè)底面積是1的正方形高為3的長方體的洞，求所得形體的表面積是多少？ 　　10.將邊長為10的正方體木塊六個(gè)面都染上紅色后，鋸成邊長為1的小正方形木塊1000塊.問：這一千塊小正方體木塊中，沒有涂紅色的共有多少塊？只有一個(gè)面是紅色的共有多少塊？恰有兩個(gè)面為紅色的共有多少塊？恰有三個(gè)面為紅色的共有多少塊？ 　　11.用三個(gè)大小一樣的正方體積木和一把有刻度的直尺.請你設(shè)計(jì)一種方法，不通過任何計(jì)算，直接量出每個(gè)正方體的體對角線的長. 　　12.如下圖，把16個(gè)邊長為2厘米的正方體重疊起來拼成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)立體圖形的表面積. 　　13.2100個(gè)邊長為1米的正方體堆成一個(gè)實(shí)心的長方體.它的高是10米，長、寬都是大于10（米）的整數(shù)，問長方體長寬之和是幾米？ 　　14.一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長為1米，沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，共得大大小小的長方體60塊.求這60塊長方體表面積的和是多少平方米？ 　　15.如下圖，是一個(gè)邊長為2厘米的正方體.在正方體的上面的正中間向下挖一個(gè)邊長為1厘米的正方體小洞.接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)后得到的立體圖形表面積是多少平方厘米？ 　　16.如下圖，一塊硬紙片可以做成一個(gè)多面體的紙模型（沿虛線折，沿實(shí)線粘）.這個(gè)多面體的面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)與棱數(shù)之和是多少？ 　　17.如下圖是一個(gè)四面體，有六條棱，四個(gè)表面三角形，已知六條棱長恰是六個(gè)連續(xù)的自然數(shù). 　　如果某個(gè)表面三角形的周長是3的倍數(shù)，就將這個(gè)三角形染紅色；反之，周長不是3的倍數(shù)的三角形就染黃色.問：四個(gè)表面三角形是否能全染成黃色？簡述理由. 　　18.把正方體的六個(gè)表面都分成9個(gè)相等的正方形.現(xiàn)用紅、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染的顏色不同，問：用紅色染成的正方形個(gè)數(shù)最多有幾個(gè)？ 　　19.有6個(gè)棱長分別是3厘米，4厘米，5厘米的相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得一個(gè)長方體只有一個(gè)面是紅色的，一個(gè)長方體恰有兩個(gè)面是紅色的，一個(gè)長方體恰有三個(gè)面是紅色的，一個(gè)長方體恰有四個(gè)面是紅色的，一個(gè)長方體恰有5個(gè)面是紅色的，還有一個(gè)長方體六個(gè)面都是紅色.染色后把所有長方體分割成棱長為1厘米的小立方體，分割完畢后，恰有一面是紅色的小立方體最多有幾個(gè)？ 　　20.給出一個(gè)立方體和六張同樣大小的用五個(gè)相等小正方形組成的“十字形”彩紙，每個(gè)十字形彩紙的面積恰等于立方體一個(gè)側(cè)面的面積.試設(shè)計(jì)一種方法，不剪開這六張彩紙，就可以把他們貼滿立方體的六個(gè)側(cè)面.