2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列章末知識(shí)整合 蘇教版必修.doc
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【金版學(xué)案】2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列章末知識(shí)整合 蘇教版必修5 題型1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 一、觀察法 寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式: (1)1,-7,13,-19,25,… (2)2,,,,,… (3),,,,2,… (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,… 分析:觀察數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以及所給數(shù)列與一些特殊數(shù)列之間的關(guān)系. 解析:(1)原數(shù)列的各項(xiàng)可看成數(shù)列{an}:1,-1,1,-1,…與數(shù)列{bn}:1,7,13,19,25,…對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘的結(jié)果. 又an=(-1)n+1,bn=1+6(n-1)=6n-5. 故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為cn=(-1)n+1(6n-5). (2)原數(shù)列可改寫成 1+,2+,3+,4+,…. 故其通項(xiàng)公式為an=n+. (3)這個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列中分子、分母的規(guī)律都不明顯,不妨把分子變成4,然后看分母,從而有,,,,…, 分母正好構(gòu)成等差數(shù)列,從而原數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=. (4)注意到此數(shù)列的特點(diǎn):奇數(shù)項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)相等,偶數(shù)項(xiàng)比項(xiàng)數(shù)大1,故它可改寫成 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,… 所以原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n++. ?歸納拓展 (1)觀察是歸納的前提,合理的轉(zhuǎn)換是完成歸納的關(guān)鍵. (2)由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納出的通項(xiàng)公式不一定唯一.如數(shù)列5,0,-5,0,5,…的通項(xiàng)公式可為5cos(n∈N*),也可為an=5sin(n∈N*). (3)已知數(shù)列的前n項(xiàng),寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),要熟記一些特殊數(shù)列.如{(-1)n},{n},{2n-1},{2n},{2n-1},{n2},等,觀察所給數(shù)列與這些特殊數(shù)列的關(guān)系,從而寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式. ?變式遷移 1.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式. (1)1,-,,-,…; (2),,2,2,…; (3)1,3,6,10,15,…; (4)1,-4,7,-10,13,…. 解析:(1)an=(-1)n+1. (2)原數(shù)列可寫成,,,,…,易得an=. (3)∵3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,15=1+2+3+4+5,…,∴an=1+2+3+…+n=. (4)∵1,4,7,10,13,…組成1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,易得an=(-1)n+1(3n-2). 二、利用an=求an 設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和,且Sn=(an-1)(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 分析:由Sn與an的關(guān)系消去Sn(或an),轉(zhuǎn)化為an(或Sn)的遞推關(guān)系求解. 解析:∵Sn=(an-1), ∴當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=(a1-1),解得a1=3. 當(dāng)n≥2時(shí), an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1), 得=3, ∴當(dāng)n≥2時(shí),數(shù)列{an}是以3為公比的等比數(shù)列,且首項(xiàng)a2=3a1=9. ∴n≥2時(shí),an=93n-2=3n.顯然n=1時(shí)也成立. 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3n(n∈N*). ?歸納拓展 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,求數(shù)列的通項(xiàng)公式,其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2).這里常常因?yàn)楹雎粤薾≥2的條件而出錯(cuò),即由an=Sn-Sn-1求得an時(shí)的n是從2開(kāi)始的自然數(shù),否則會(huì)出現(xiàn)當(dāng)n=1時(shí)Sn-1=S0,而與前n項(xiàng)和定義矛盾.可見(jiàn)由an=Sn-Sn-1所確定的an,當(dāng)n=1時(shí)的a1與S1相等時(shí),an才是通項(xiàng)公式,否則要用分段函數(shù)表示為 an= ?變式遷移 2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求a1的值. 解析:(1)當(dāng)n=1時(shí),T1=2S1-1,而T1=S1=a1,∴a1=2a1-1,解得a1=1. (2)求{an}的通項(xiàng)公式. 解析:(2)n≥2時(shí),Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1. ∴Sn=2Sn-1+2n-1,① Sn+1=2Sn+2n+1,② ②-①得an+1=2an+2, 即an+1+2=2(an+2),亦即=2. a1+2=3,a2+2=6,=2, ∴{an+2}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列, ∴an+2=32n-1,故an=32n-1-2. 三、疊加法 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=3n-1+an-1 (n≥2).(1)求a2,a3; (2)證明an=. 分析:已知a1,由遞推公式可以求出a2,a3,因?yàn)閍n=3n-1+an-1屬于an+1=an+f(n)型遞推公式,所以可以用疊加法求出an. 解析:(1)∵a1=1, ∴a2=3+1=4,a3=32+4=13. (2)由已知an-an-1=3n-1, 令n分別取2,3,4,…,n得 a2-a1=31, a3-a2=32, a4-a3=33, … an-an-1=3n-1, 以上n-1個(gè)式子相加,得an-a1=31+32+…+3n-1. ∴an=, ∵n=1時(shí),a1==1,∴an=. ?歸納拓展 (1)對(duì)n=1時(shí),檢驗(yàn)a1 =1是否滿足an=是必要的,否則就要寫成分段的形式. (2)如果給出數(shù)列{an}的遞推公式為an=an-1+f(n)型,并且{f(n)}容易求和,這時(shí)可采用疊加法. 對(duì)n=1檢驗(yàn)是必要的,否則就要寫成分段函數(shù)的形式,這里說(shuō)的f(n)易求和,指的是f(n)的形式為等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列前n項(xiàng)和,或是常見(jiàn)的特殊公式,如12+22+32+…+n2=等. ?變式遷移 3.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+n2,且a1=1,求{an}的通項(xiàng)公式. 解析:∵an+1=an+n2,∴an+1-an=n2, ∴疊加即得 an-a1=12+22+…+(n-1)2=, ∴an=n(n-1)(2n-1)+1. 四、疊乘法 在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an. 分析:由an+1=an?=知,已知條件屬于=f(n)型遞推公式,所以用疊乘法求出an. 解析:由a1=2,an+1=an,∴=. 取n=1,2,3…,n-1得 =,=,=,… =,=. 把上述各式兩邊分別相乘,得: …=…, ∴=,∴an=a1, 即an=n(n+1). 當(dāng)n=1時(shí),a1=2適合上式. 故an=n(n+1)(n∈N*). ?歸納拓展 如果數(shù)列{an}的遞推公式為=f(n)型時(shí),并且{f(n)}容易求前n項(xiàng)的積,這時(shí)可采用疊乘法.疊乘的目的是出現(xiàn)分子、分母相抵消情況. ?變式遷移 4.在數(shù)列{an}中,已知a1=,an+1=2nan,求an. 解析:由an+1=2nan得=2n, ∴=21,=22,…,=2n-1,疊乘得=222…2n-1=2, ∴an=2=2 五、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法 已知數(shù)列{an}中a1=1,an+1=,則通項(xiàng)公式an=________. 分析:通過(guò)觀察給出的遞推公式可以發(fā)現(xiàn)兩邊取倒數(shù)可以得到與的關(guān)系,也可以將式子乘開(kāi)得到an+1an+2an+1=2an兩邊同時(shí)除以2anan+1,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解. 解析:解法一:將an+1=兩邊取倒數(shù),得 ==+,∴-=, ∴數(shù)列是首項(xiàng)為=1,公差為的等差數(shù)列, ∴=1+(n-1)=,∴an=. 解法二:(1)∵an+1=,∴an+1(an+2)=2an, ∴an+1an=2an-2an+1. 兩邊同除以2an+1an得-=. ∴數(shù)列是等差數(shù)列,首項(xiàng)為=1,公差為. ∴=+(n-1)=. ∴an=. 答案: ?歸納拓展 根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)與{an}有關(guān)的新的數(shù)列,通過(guò)新數(shù)列通項(xiàng)公式的求解求得{an}的通項(xiàng)公式.新的數(shù)列往往是等差數(shù)列或是等比數(shù)列.例如形如an=pan-1+q(p,q為常數(shù))的形式,往往變?yōu)閍n-λ=p(an-1-λ),構(gòu)成等比數(shù)列,求an-λ通項(xiàng)公式,再求an. ?變式遷移 5.已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=3an-2,求an. 解析:由an+1=3an-2,設(shè)an+1+k=3(an+k),其中k是待定系數(shù),即an+1=3an+2k與條件進(jìn)行對(duì)比,得2k=-2,∴k=-1.故an+1-1=3(an-1),∴{an-1}是2-1=1為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列,∴an-1=13n-1,∴an=3n-1+1. 題型2 數(shù)列的求和 一、公式法 (1)求1+4+7+…+(3n+1)的值; (2)若數(shù)列{xn}滿足logaxn+1=1+logaxn(n∈N*,a>0,且a≠1)且x1+x2+x3+…x100=100,求x101+x102+…x200的值. 分析:(1)中1,4,7,…,3n+1是個(gè)等差數(shù)列,但容易這樣求解:Sn==+n.這是錯(cuò)誤的,錯(cuò)在沒(méi)搞清此數(shù)列有多少項(xiàng).(2)可以作個(gè)變換logaxn+1-logaxn=loga=1,推導(dǎo)出{xn}是等比數(shù)列再求解. 解析:(1)∵數(shù)列中30+1=1, ∴第1項(xiàng)1是n=0時(shí)得到的, ∴此數(shù)列是首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為3n+1,項(xiàng)數(shù)為n+1的等差數(shù)列. ∴Sn==++1. (2)由logaxn+1=1+logaxn得logaxn+1-logaxn=1, ∴l(xiāng)oga=1, ∴=a, ∴數(shù)列{xn}是公比為a的等比數(shù)列. 由等比數(shù)列的性質(zhì)得: x101+x102+…x200=(x1+x2+…x100)a100=100a100. ?歸納拓展 數(shù)列求和常用的公式有: 等差數(shù)列:Sn==na1+d; 等比數(shù)列:Sn= k=1+2+3+…+n=n(n+1); k2=12+22+32+…n2=n(n+1)(2n+1). ?變式遷移 6.設(shè){an}為等比數(shù)列,{bn}為等差數(shù)列,且b1=0,cn=an+bn,若{cn}是1,1,2,…,求{cn}的前10項(xiàng)之和. 解析:設(shè){an}的首項(xiàng)為a,公比為q,{bn}首項(xiàng)為b,公差為d,b1=0,由c1=a1+b1=1,知a1=1. c2=a2+b2=q+d=1, c3=a3+b3=q2+2d=2, 解得q=2,d=-1,∴an=2n-1,bn=1-n, ∴cn=2n-1+(1-n). ∴{cn}前10項(xiàng)和為a1+a2+…+a10+(b1+b2+…+b10)=+= 978. 二、分組求和法 求和:2+2+…+2. 分析:此數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=2=x2n+2+,而數(shù)列{x2n},是等比數(shù)列,2是常數(shù),故采用分組求和法. 解析:當(dāng)x≠1時(shí), Sn=++…+ =(x2+x4+…+x2n)++2n =++2n =+2n. 當(dāng)x=1時(shí),Sn=4n. 綜上,Sn= ?歸納拓展 將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多項(xiàng),然后重新分組,將一般數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問(wèn)題,運(yùn)用的是化歸的數(shù)學(xué)思想,通項(xiàng)變形是這種方法的關(guān)鍵. ?變式遷移 7.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n(n+1),求{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解析:an=n(n+1)=n+n2, ∴Sn=(1+2+3+…+n)+(12+22+32+…+n2)=+=. 三、裂項(xiàng)相消法 求數(shù)列++++…+的前n項(xiàng)和. 分析:通項(xiàng)an===,所以可以使用裂項(xiàng)相消法. 解析:∵an===, ∴Sn=++++…++ =+-+…+ = =--. ?歸納拓展 裂項(xiàng)相消求和就是將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成二項(xiàng)或多項(xiàng).使數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項(xiàng),從而達(dá)到求和的目的. 常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有: (1)=-; (2)=; (3)=; (4)=(-); (5)an=Sn-Sn-1(n≥2). ?變式遷移 8.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=,求{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解析:∵==-, ∴Sn=+++…+=1-=. 四、錯(cuò)位相減法 求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn. 分析:此數(shù)列非等差數(shù)列也非等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式an=可以認(rèn)為是一個(gè)等差數(shù)列bn=n與一個(gè)等比數(shù)列cn=相乘得到的,可以用乘公比錯(cuò)位相減法來(lái)求解. 解析:Sn=a1+a2+a3+…+an, Sn=1+2+3+…+n,① Sn=1+2+…+(n-1)+n,② ①-②得:Sn=+++…+-n =-n =1--n, ∴Sn=2--. ?歸納拓展 若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成的新數(shù)列為{anbn},當(dāng)求該數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí),常常采用將{anbn}的各項(xiàng)乘以公比,并向后錯(cuò)一項(xiàng)與{anbn}的同項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減,即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和,這種求和的方法稱為錯(cuò)位相減法. ?變式遷移 9.求和:Sn=12+422+723+…+(3n-2)2n. 解析:因?yàn)镾n=12+422+723+…+[3(n-1)-2]2n-1+(3n-2)2n,① 2Sn=122+423+…+[3(n-1)-2]2n+(3n-2)2n+1,② 所以①-②得 -Sn=12+322+323+…+32n-(3n-2)2n+1 =3(2+22+…+2n)-(3n-2)2n+1-4 =3(2n+1-2)-(3n-2)2n+1-4 =32n+1-6-3n2n+1+2n+2-4 =2n+2+3(1-n)2n+1-10. 所以Sn=3(n-1)2n+1-2n+2+10. 五、倒序相加法求和 設(shè)f(x)=,利用教科書上推導(dǎo)數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值為_(kāi)_______. 分析:若直接求解則相當(dāng)麻煩,考慮f(x)=的特點(diǎn)及f(-5),f(6);f(-4),f(5);…的特點(diǎn),f(x)與f(1-x)是否有某種特別的聯(lián)系,如果有則可以用求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法解答此題. 解析:∵f(x)=, ∴f(1-x)===. ∴f(x)+f(1-x)=+=. 設(shè)S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6),倒過(guò)來(lái),則有 S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5), ∴2S=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+…+[f(6)+f(-5)]=6. ∴S=3. ?歸納拓展 此題運(yùn)用了倒序相加法求得所給函數(shù)值的和,由此可以看出,熟練掌握重要的定理、公式的推導(dǎo)過(guò)程是非常重要的,它有助于同學(xué)們理解各種解題方法,強(qiáng)化思維過(guò)程的訓(xùn)練.當(dāng)數(shù)列{an}滿足ak+an-k=常數(shù)時(shí),可用倒序相加法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和. ?變式遷移 10.設(shè)f(x)=,求和S=f(2 014)+f(2 013)+f(2 012)+…+f(1)+f+f+…+f+f. 解析:∵f(x)=,∴f==, ∴f(x)+f=1, S=f(2 014)+f(2 013)+…+f(1)+f+…+f, 又S=f+f+…+f(1)+f(2)+…+f(2 014), 兩式相加得2S=2 014+2 013,∴S=. 題型3 數(shù)列應(yīng)用題 一、與等差數(shù)列有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題 有30根水泥電線桿,要運(yùn)往1 000米遠(yuǎn)的地方安裝,在1 000米處放一根,以后每隔50米放一根,一輛汽車每次只能運(yùn)三根,如果用一輛汽車完成這項(xiàng)任務(wù)(完成任務(wù)回到原處),那么這輛汽車的行程共為多少千米? 分析:讀懂題意,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列,關(guān)鍵要找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差,弄清an還是Sn. 解析:如下圖所示,假定30根水泥電線桿存放在M處,則a1=MA=1 000, a2=MB=1 050, a3=MC=1 100, a6=a3+503=1 250, … a30=a3+1509, 由于一輛汽車每次只能裝3根,故每運(yùn)一次只能到a3,a6,a9,…,a30,這些地方,這樣組成公差為150,首項(xiàng)為1 100的等差數(shù)列,令汽車的行程為S, 則S=2(a3+a6+…+a30) =2(a3+a3+1501+…+a3+1509) =2=35.5(千米), 即這輛汽車的行程為35.5千米. ?歸納拓展 對(duì)于與等差數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用題,要善于發(fā)現(xiàn)“等差”的信息,如“每一年比上一年多(少)”“一個(gè)比一個(gè)多(少)”等,此時(shí)可化歸為等差數(shù)列,明確已知a1,an,n,d,Sn中的哪幾個(gè)量,求哪幾個(gè)量,選擇哪一個(gè)公式. ?變式遷移 11.有一種零存整取的儲(chǔ)蓄項(xiàng)目,它是每月某日存入一筆相同金額,這是零存,到一定時(shí)期到期,可以提出全部本金及利息,這是整取,它的本利和公式如下:本利和=每期存入金額. (1)試解釋這個(gè)本利和公式. 解析:(1)設(shè)每期存入金額為A,每期利率為p,存的期數(shù)為n,則各期利率之和為Ap+2Ap+3Ap+…+nAp=n(n+1)Ap,連同本金可得本利和nA+n(n+1)Ap=A. (2)若每月初存入100元,月利率為5.1‰,則到第12個(gè)月底的本利和是多少? 解析:(2)當(dāng)A=100,p=5.1‰,n=12時(shí),本利和=100=1 239.78(元). (3)若每月初存入一筆金額,月利率是5.1‰,希望到第12個(gè)月底取得本利和2000元,那么每月初應(yīng)存入多少錢? 解析:(3)將(1)中公式變形,得A==≈161.32(元), 即每月初應(yīng)存入161.32元. 二、與等差、等比數(shù)列有關(guān)的綜合應(yīng)用題 某工廠三年的生產(chǎn)計(jì)劃中,從第二年起,每一年比上一年增長(zhǎng)的產(chǎn)值都相同,三年的總產(chǎn)值為300萬(wàn)元,如果第一年、第二年、第三年分別比原計(jì)劃的年產(chǎn)值多10萬(wàn)元、10萬(wàn)元、11萬(wàn)元,那么每一年比上一年的產(chǎn)值增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)都相同,求原計(jì)劃中每年的產(chǎn)值. 分析:將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列,弄清哪部分為等差數(shù)列或等比數(shù)列,結(jié)合等差、等比數(shù)列性質(zhì)求解. 解析:由題意得原計(jì)劃三年中每年的產(chǎn)值組成等差數(shù)列,設(shè)為a-d,a,a+d(d>0), 則有(a-d)+a+(a+d)=300, 解得a=100. 又由題意得(a-d)+10,a+10,(a+d)+11組成等比數(shù)列, ∴(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+11], 將a=100代入上式,得1102=(110-d)(111+d), ∴d2+d-110=0,解得d=10,或d=-11(舍), ∴原計(jì)劃三年中每年的產(chǎn)值分別為90萬(wàn)元、100萬(wàn)元、110萬(wàn)元. ?歸納拓展 讀懂題意,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題,找準(zhǔn)首項(xiàng),公比(差),弄清求什么.混合型應(yīng)用題常有兩種解法:一是歸納法,歸納出前n次(項(xiàng)),尋找規(guī)律,再寫出前n次(項(xiàng))的通項(xiàng)(前n項(xiàng)和),此時(shí)要注意下標(biāo)或指數(shù)的規(guī)律. 第二個(gè)方法是逆推法,尋找前后兩項(xiàng)的逆推關(guān)系,再?gòu)哪嫱脐P(guān)系求an,Sn,此時(shí)應(yīng)注意第n-1次變到第n次的變化過(guò)程. ?變式遷移 12.某地房?jī)r(jià)從2004年的1 000元/m2增加到十年后2014年的5 000元/m2,問(wèn)平均每年增長(zhǎng)百分之幾?(注意:當(dāng)x∈(0,0.2)時(shí),ln(x+1)≈x,取lg 2=0.3,ln 10=2.3) 解析:設(shè)年增長(zhǎng)率為x,則每年的房?jī)r(jià)依次排列組成首項(xiàng)為1 000,公比為(1+x)的等比數(shù)列.由題意可得1 000(1+x)10=5 000,即(1+x)10=5,取自然對(duì)數(shù)有10ln(1+x)=ln 5=ln 10 lg 5=2.3(1-lg 2)=1.61,再利用ln(x+1)≈x,可得x≈=0.16=16%. 答:每年約增長(zhǎng)16%.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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