【全國百強?！亢邶埥」枮I市第六中學2016屆高三下學期第一次模擬考試數學（理）試題

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哈爾濱市第六中學2016屆高三第一次模擬考試 數學試卷（理工類） 考試說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘 1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡相應位置上. 2.做答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，寫在本試卷上無效. 3.做答第Ⅱ卷時，請按題號順序在各題目規(guī)定的答題區(qū)域內做答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效. 4.保持答題卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準用涂改液、修正帶、刮紙刀. 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．復數（為虛數單位）的共軛復數為（ ） （A） （B） （C） （D） 2．集合，則的子集個數為（ ） （A）1個 （B）2個 （C）4個 （D）8個 3．有下列四個說法： ①命題“”的否定是“”； ②“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件； ③命題“已知，若或，則”的逆命題為真命題； ④在區(qū)間上隨機取一個數，則事件“”發(fā)生的概率為； 其中正確的個數是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．已知滿足約束條件，則的最大值是（ ） （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 5．已知，則向量與的夾角為（ ） （A） （B） （C） （D） 6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積與體積比為（ ） （A） （B） （C）2＋1 （D） 7．甲乙兩名籃球運動員近幾場比賽得分統(tǒng)計成莖葉圖如圖，甲乙兩人的平均數與中位數分別相等，則為（ ） （A）3:2 （B）2:3 （C）3:1 或5:3 （D）3:2 或7:5 開始 輸入十進制x n=0 x除以6取商y余數z y=0？ zn=z 結束 x=y zn=z n=n+1 輸出數碼znzn-1…z1z0 是 否 8．已知某隨機變量X的概率密度函數滿足，當時，，則隨機變量X落在區(qū)間內的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 9．中，角對應的邊分別為， 若成等差數列，且， 則等于（ ） （A） （B） （C） （D） 10．老師為哈六中某位同學的高考成績設計了一個程序框圖， 執(zhí)行如圖所示的程序，若輸出的數碼為， 則這位同學的高考分數是（ ） （A）682 （B）683 （C）692 （D）693 11．已知且，，下列關于三個函數的說法 正確的是（ ） （A）三個函數的單調性總相同 （B）當時，對任意， （C）當時，三個函數沒有公共點 （D）任意，三個函數都與直線相交 12．設雙曲線的右焦點為，右頂點為，過作的垂線與雙曲線交于兩點，過分別作的垂線交于，若到直線的距離不小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須做答，第22題~24題為選考題，考生根據要求做答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13．已知二項式的展開式中第三項的系數與的展開式中第二項的系數相等，其中為銳角，則= 14．在平面直角坐標系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_______________________ 15．長方體中，，點是中點，點，，則長度最小值為______________ 16．已知函數恰有3個零點，則實數的取值范圍是______________ 三、解答題：本大題共70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟． （17）（本小題滿分12分） 正項數列前項和為，且 （1）求數列的通項公式； （2）若，數列的前項和為，證明：． （18）（本小題滿分12分） 哈六中數學組推出微信訂閱號（公眾號hl15645101785）后，受到家長和學生們的關注，為了更好的為學生和家長提供幫助，我們在某時間段在線調查了60位更關注欄目1或欄目2（2選一）的群體身份樣本得到如下列聯(lián)表，已知在樣本中關注欄目1與關注欄目2的人數比為2:1，在關注欄目1中的家長與學生人數比為5:3，在關注欄目2中的家長與學生人數比為1:3 欄目1 欄目2 合計 家長 學生 合計 （1）完成列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表的數據，若按99%的可靠性要求，能否認為“更關注欄目1或欄目2與群體身份有關系”； （2）如果把樣本頻率視為概率，隨機回訪兩位關注者，更關注欄目1的人數記為隨機變量，求的分布列和期望； （3）由調查樣本對兩個欄目的關注度，請你為數學組教師提供建議應該更側重充實哪個欄目的內容，并簡要說明理由． 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （，其中.） （19）（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，， P A B C D E ， ，平面，側面底面 （1）求的值； （2）求直線與面所成角的大?。? （20）（本小題滿分12分） 拋物線，過點的直線與交于兩點，且（為坐標原點）面積的最小值為2 （1）求拋物線的方程； （2）直線上的點滿足，求點的軌跡方程． （21）（本小題滿分12分） 已知函數 （1）求函數的單調區(qū)間； （2）當時，，求的取值范圍； （3）證明：，使得． 請考生在題（22）（23）（24）中任選一題作答，如果多做，則按所做的的第一題計分．做題時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑． （22）（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講 如圖，正中，點在邊上，在邊上，且， A B E D C F G ，，相交于點 （1）證明：四點共圓； （2）當點是中點時，求線段的長度． （23）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數方程 在平面直角坐標系中，曲線， 曲線，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線與曲線交于兩點，與曲線交于兩點，且最大值為 （1）將曲線與曲線化成極坐標方程，并求的值； （2）射線與曲線交于兩點，與曲線交于兩點，求四邊形面積的最大值． （24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知均為正數，且 （1）證明：； （2）求的最大值． 理科數學 1-12 ACCDB ADAAC CB 13. 14. 15. 16. 17.（1）時， 時，因為，，所以 得，所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列，所以 ……6分 （2）， 所以， ， 所以 ……6分 18.（1）因為樣本容量60，關注欄目1與關注欄目2的人數比為2:1，在關注欄目1中的家長與學生人數比為5:3，所以，列聯(lián)表如圖 欄目1 欄目2 合計 家長 25 5 30 學生 15 15 30 合計 40 20 60 ，所以能有99%的把握認為認為“更關注欄目1或欄目2與群體身份有關系”。 ……5分 （2）的取值為0,1,2，由題意，， 所以，，，分布列如下 0 1 2 期望 ……5分 （3）關注欄目1與關注欄目2的人數比為2:1，關注欄目1的人數多，所以應該充實欄目1的內容. ……2分 19.（1）因為，面底面，面面，所以面，所以，因為平面面，所以，，所以面，過點做的平行線為軸，分別為軸建立空間直角坐標系，，所以，由得，所以 ……5分 （2）設面法向量為，，， 解得，，所以線面角為 ……7分 20.（1）①當時， ， ， ②當斜率存在時，設與聯(lián)立，得， ，所以當時面積最小， 所以，拋物線方程為 ……6分 （2）設， ①當時， ，，點 ②當斜率存在時，設與聯(lián)立，得， ，，，由 得=，因為，所以，化簡得，也符合。 所以點的軌跡方程為 ……6分 21（1） ①當時，，所以的增區(qū)間為 ②當時，，解得， 的增區(qū)間為，減區(qū)間 ……4分 （2）因為，所以是的最小值，由題意， 由（1）增區(qū)間為，減區(qū)間 所以或，解得 ……4分 （3）因為 ①當時，在單調遞增，所以存在，成立； ②當時，在上遞增，所以存在，成立； ③當時，，在上遞減，所以存在，成立； 綜上，總存在，使得 ……4分 22.（1） ，又， 四點共圓 ……4分 （2）連接， 以為直徑的圓圓心為 ， ……6分 23.（1）， =， ， ……4分 （2） 當時，面積的最大值為 ……6分 24.（1） 當且僅當時，等號成立 ……4分 （2） 當且僅當即時，等號成立 ……6分 哈六中2016屆第一次高考模擬考試數學試卷（理工類） 第10 頁 共4頁