2014-2015學年高中數(shù)學 第2章 數(shù)列章末過關檢測卷 蘇教版必修.doc

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第2章　數(shù)　　列 (測試時間：120分鐘　評價分值：150分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求) 1．在等差數(shù)列{an}中，已知a6＝8，則前11項和S11＝(　　) A．58 B．88 C．143 D．176 解析：因為在等差數(shù)列中S11＝11a6＝118＝88. 答案：B 2．首項為－24的等差數(shù)列，從第10項開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是(　　) A. B．(3，＋∞) C. D. 解析：依題意可知即 解得＜d≤3. 答案：D 3．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為(　　) A．9根 B．10根 C．19根 D．29根 解析：設鋼管被放成n層，則鋼管數(shù)為Sn＝，當n＝19時，鋼管數(shù)為190，當n＝20時，鋼管數(shù)為210＞200，故知只能放19層，剩余鋼管為10. 答案：B 4．公比為的等比數(shù)列{an}各項都是正數(shù)，且a3a11＝16，則log2a16為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：a3a11＝16?a＝16?a7＝4，而a16＝a7q9＝4(3)9＝32，∴l(xiāng)og2a16＝5. 答案：B 5．等差數(shù)列{an}共有2n項，其中奇數(shù)項的和為90，偶數(shù)項的和為72，且a2n－a1＝－33，則該數(shù)列的公差為(　　) A．3 B．－3 C．－2 D．－1 解析：依題意，可知nd＝72－90＝－18，由a2n－a1＝－33得，(2n－1)d＝－33，∴－36－d＝－33，∴d＝－3. 答案：B 6．等差數(shù)列{an}中，a1＝－5，它的前11項的平均值是5，若從中抽取1項，余下的10項的平均值是4，則抽取的是(　　) A．a(chǎn)11 B．a(chǎn)10 C．a(chǎn)9 D．a(chǎn)8 解析：∵數(shù)列{an}的前11項的平均值是5，即＝5，故得a11＝15，又數(shù)列前11項的和為55，抽取1項后，余下10項的和為40，故知抽取的項是15，即抽取的項是a11. 答案：A 7．數(shù)列{an}前n項的和Sn＝3n＋b(b是常數(shù))，若這個數(shù)列是等比數(shù)列，那么b為(　　) A．3 B．0 C．－1 D．1 解析：當n＝1時，a1＝S1＝3＋b，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝23n－1.若數(shù)列{an}成等比數(shù)列，則an＝23n－1，對于n＝1時也要成立，即3＋b＝2，∴b＝－1. 答案：C 8．若{an}，{bn}滿足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，則{bn}的前10項和為(　　) A. B. C. D. 解析：bn＝＝＝，用裂項法可求{bn}的前10項和為. 答案：B 9．已知正整數(shù)對按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個數(shù)對是 (　　) A．(6,5) B．(5,6) C．(6,7) D．(5,7) 解析：按規(guī)律分組，第1組1個數(shù)對，第2組2個數(shù)對，…第n組n個數(shù)對，前10組共有＝55個數(shù)對，因此第60個數(shù)對應是第11組中的第5個，即(5,7)． 答案：D 10．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若a、b、c成等比數(shù)列，且c＝2a，則cos B＝(　　) A. B. C. D. 解析：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，又c＝2a. ∴cos B＝＝＝＝. 答案：B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 11．設Sn和Tn分別是等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和，且＝，則＝________. 解析：因為在等差數(shù)列中S2n－1＝(2n－1)an， ∴＝＝＝，∴＝＝. 答案： 12．隨著計算機技術的不斷發(fā)展，電腦的性能越來越好，而價格又在不斷下降．若每隔2年電腦的價格可降低三分之一，則現(xiàn)在價格為8 100元的電腦在6年后的價格可降為________元． 解析：依題意可知，6年后的價格為8 100＝2 400元． 答案：2 400 13．設等差數(shù)列{an}滿足3a8＝5a13，且a1＞0，Sn為其前n項和，則Sn中最大的是________． 解析：3a8＝5a13，且a1＞0，即3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，∴d＝－a1＜0，令an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)＝a1＞0，解得n＜，∴{an}中前20項和最大． 答案：S20 14．(2013湖南卷)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝(－1)nan－，n∈N*，則a3＝________. 解析：S＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，即a1＋a2＋a3＝－，而S3＝－a3－，解得a3＝－. 答案：－ 三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答題應寫出文字說明、證明過程或推演步驟) 15．(12分)(2013四川卷)等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＝8，且a4為a2和a9的等比中項，求數(shù)列{an}的首項、公差及前n項和． 解析：設{an}的分差為d，前n項和為Sn， 由已知，可得2a1＋2d＝8， (a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，所以a1＋d＝4， d(d－3a1)＝0，解得或 Sn＝4n或Sn＝. 16．(12分)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項； 解析：(1)由題設知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列得＝， 解得d＝1，d＝0(舍去)． 故{an}的通項an＝1＋(n－1)1＝n. (2)求數(shù)列{2an}的前n項和Sn. 解析：(2)由(1)知2an＝2n， 由等比數(shù)列前n項和公式得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2. 17.(14分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)． (1)求q的值； 解析：(1)當n＝1時，a1＝S1＝p－2＋q， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn2－2n＋q－p(n－1)2＋2(n－1)－q＝2pn－p－2. ∵{an}是等差數(shù)列． ∴p－2＋q＝2p－p－2， ∴q＝0. (2)若a1與a5的等差中項為18，bn滿足an＝2log2bn，求數(shù)列{bn}的前n項和． 解析：(2)∵a3＝，∴a3＝18，又a3＝6p－p－2， ∴6p－p－2＝18， ∴p＝4，∴an＝8n－6， 又an＝2log2bn，得bn＝24n－3. ∴b1＝2，＝＝24＝16， 即{bn}是等比數(shù)列． ∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝＝(16n－1)． 18．(14分)(2013廣東卷)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； 解析：(1)∵＝an＋1－n2－n－，n∈N*， ∴當n＝1時，2a1＝2S1＝a2－－1－＝a2－2， 又a1＝1，∴a2＝4. (2)求{an}的通項公式． 解析：(2)已知式可變?yōu)?Sn＝nan＋1－，① ∴當n≥2時，2Sn－1＝(n－1)an－，② ①－②得2Sn－2Sn－1＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1) 又∵an＝Sn－Sn－1，∴2an＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1) 即nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，即－＝1， ∴是首項為＝1，公差為1的等差數(shù)列， ∴＝n，即an＝n2(n≥2)． 當n＝1時顯然也成立，故an＝n2，n∈N*. 19.(14分)某企業(yè)2008年初投入資金1000萬元經(jīng)營某種產(chǎn)品，如果預計每年經(jīng)過經(jīng)營，資金的增長率為50%，但每年年底應扣除相同的消費基金x萬元，剩余資金全部投入再經(jīng)營．為了實現(xiàn)到2012年年底扣除當年消費基金后的資金達到2000萬元的目標，問每年扣除的消費基金x應不大于多少萬元？(精確到萬元) 解析：依題意，2008年底扣除消費基金后的資金有1 000(1＋50%)－x＝1 000－x(萬元)． 2009年底扣除消費基金后的資金有1 000－x(1＋50%)－x＝21 000－x(萬元)． 2010年底扣除消費基金后的資金有 (1＋50%)－x＝ 31 000－x(萬元)． 于是有：51 000－1＋＋2＋3＋ 4x≥2 000. ∴51 000－x≥2 000. ∴x≤1 000. ∴x≤1 000≈424(萬元)． 因此每年扣除的消費基金應不大于424萬元． 20．(14分)(2013江西卷)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； 解析：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0， 由{an}是正項數(shù)列，∴Sn＞0，故Sn＝n2＋n， 于是a1＝S1＝2，n≥2時an＝Sn－Sn－1＝2n， 綜上an＝2n. (2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對任意的n∈N*，都有Tn＜. 解析：(2)由an＝2n，bn＝＝＝， ∴Tn＝ ＝ ＜＝.