高中數(shù)學 3.4.1 基本不等式的證明教學設計 蘇教版必修.doc
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3.4.1 基本不等式的證明 教學目標: 1.探索并了解基本不等式的證明; 2.體會證明不等式的基本思想方法; 3.能應用基本不等式解決簡單的不等式證明問題. 教學重點: 基本不等式的證明. 教學難點: 基本不等式的證明. 教學過程: 一、問題情境,導入新課 口述:有一個珠寶商人,很多人到他那里買的東西回家一稱發(fā)現(xiàn)分量都有問題,于是向工商局投訴,工商局派人去調(diào)查,商人承認他用的天平左右的桿長有問題,向人們提出一個調(diào)解方案,放左邊稱變重對人們不公平,放右邊稱變輕商人要虧本,那么用兩次稱重的平均值作為物品的實際重量,如果你是購買者,你接受他的方案嗎? 問題1 你能不能把這個問題轉化成一個數(shù)學問題? 珠寶放左邊稱砝碼顯示重量為a,放右邊稱砝碼顯示重量為b,假設天平的左杠桿長為l1,右杠桿長l2,那么這個珠寶的實際重量是多少?(會算嗎?用什么原理來算?你認為珠寶商的方案合理嗎,那也就是 哪個大?) 問題2 哪個大?(你估計一下哪個大?)(如果回答取值代,那么可以追問取一正一負行嗎?如果回答作差,可以追問你估計一下哪個大?) 二、學生活動 問題3 如何證明呢? 請2個同學上黑板(巡視,有不同的解法讓他上黑板寫一下). 證法一(比較法):==, 當且僅當,即時,取“=”. 證法二:要證 , 只要證 , 只要證 , 只要證 因為最后一個不等式成立,所以 成立,當且僅當,即時,取“=”. 證法三:對于正數(shù),有 , , , . 先讓學生談一談證的對不對,他這個證明方法有什么特點? 點評:回顧我們上面的證明過程,我們來看一下各種證法的特點: 證法一是比較法,比較法常用的就是作差將差值與零去比較; 證法二是分析法,分析法的特點是盯住我們要的目標,尋找結論成立的條件; 證法三是綜合法,它們都是證明不等式的基本方法. (看來珠寶商還是多賺錢的,只有a=b時才是一個守法的商人?。? 三、建構數(shù)學 定理:如果是實數(shù)且,那么(當且僅當時取“=”). 問題:對于這個定理你怎么認識它?(結構有什么特點???成立的條件是什么?什么叫當且僅當???) (上式中稱為的算術平均數(shù),稱為的幾何平均數(shù),兩個正數(shù)的算術平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù),有的時候我們也把這個定理寫成).要用這個定理首先兩個數(shù)必須都是非負數(shù). 當時,取“=”,并且只有當時,取“=”,我們把這種等號成立的情況稱之為當且僅當. 四、數(shù)學運用 例1 設是正數(shù),證明下列不等式成立: (1) (2) (3) (先讓學生點評,對不對,關注格式與條件,他用什么方法來證明的?還有什么別的思路?) 點評:我們證明不等式通常有比較法,分析法,現(xiàn)在有了這個定理,也可以應用它來證明 什么時候取等號? 師:我們現(xiàn)在已經(jīng)對這個不等式有了一定的認識了,你能不能從圖形的角度來認識一下它呢? 有線段AB長為a,線段BC長為b,你能找到和嗎?(一個學生講完了可以讓另一個學生再解釋一下) 例2 ?。?)已知函數(shù),求此函數(shù)的最小值. 點評:什么是最小值,最小值就是大于等于一個數(shù),你說大于等于2,那也大于等于1嘛,我能說最小值就是1嗎? (2)已知函數(shù),求此函數(shù)的最大值; (3)已知函數(shù),求此函數(shù)的最小值. 五、回顧小結 回顧本節(jié)課,你對基本不等式有哪些認識?- 配套講稿:
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