同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第11章 無窮級(jí)數(shù)

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1、高等數(shù)學(xué)教案 §11 無窮級(jí)數(shù) 第十一章 無窮級(jí)數(shù) 教學(xué)目的： 1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2．掌握幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。 4．掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。 5．了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。 6．了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7．理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑

2、的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。 8．了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。 9．了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。 10．掌握，和的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。 11. 了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。 教學(xué)重點(diǎn) ： 1、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

3、 2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別； 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法； 4、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域； 5、，和的麥克勞林展開式； 6、傅里葉級(jí)數(shù)。 教學(xué)難點(diǎn)： 1、 比較判別法的極限形式； 2、 萊布尼茨判別法； 3、 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂； 4、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)； 5、 泰勒級(jí)數(shù)； 6、 傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理。 §11. 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 給定一個(gè)數(shù)列 u1, u2, u

4、3, × × ×, un, × × ×, 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1 + u2 + u3 + × × ×+ un + × × × 叫做常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù), 簡(jiǎn)稱常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為, 即 , 其中第n項(xiàng)u n 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng). 級(jí)數(shù)的部分和: 作級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和 稱為級(jí)數(shù)的部分和. 級(jí)數(shù)斂散性定義: 如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱無窮級(jí)數(shù)收斂, 這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和, 并寫成 ; 如果沒有極限, 則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散. 余項(xiàng): 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其部

5、分和s n是級(jí)數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ × × × 叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù)) 的斂散性, 其中a10, q叫做級(jí)數(shù)的公比. 例1 討論等比級(jí)數(shù)(a10)的斂散性. 解 如果q11, 則部分和 . 當(dāng)|q|<1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)|q|>1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時(shí), sn =na?￥, 因此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)q=-1

6、時(shí), 級(jí)數(shù)成為 a-a+a-a+ × × ×, 時(shí)|q|=1時(shí), 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時(shí)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 綜上所述, 如果|q|<1, 則級(jí)數(shù)收斂, 其和為; 如果|q|31, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 僅當(dāng)|q|<1時(shí), 幾何級(jí)數(shù)a10)收斂, 其和為. 例2 證明級(jí)數(shù) 1+2+3+× × ×+n+× × × 是發(fā)散的. 證 此級(jí)數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無窮級(jí)數(shù)

7、 的收斂性. 解 由于 , 因此 從而 , 所以這級(jí)數(shù)收斂, 它的和是1. 例3 判別無窮級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 從而 , 所以這級(jí)數(shù)收斂, 它的和是1. 提示: . 二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)收斂于和s, 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)收斂于和s, 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ks.

8、 性質(zhì)1 如果, 則. 這是因?yàn)? 設(shè)與的部分和分別為sn與sn, 則 . 這表明級(jí)數(shù)收斂, 且和為ks. 性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)、分別收斂于和s、s, 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為s±s. 性質(zhì)2 如果、, 則. 這是因?yàn)? 如果、、的部分和分別為sn、sn、tn, 則 . 性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性. 比如, 級(jí)數(shù)是收斂的, 級(jí)數(shù)也是收斂的, 級(jí)數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)

9、收斂, 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問題: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂, 則不能斷定去括號(hào)后原來的級(jí)數(shù)也收斂. 例如, 級(jí)數(shù) 1-1)+1-1) +× × ×收斂于零, 但級(jí)數(shù)1-1+1-1+× × ×卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原來級(jí)數(shù)也發(fā)散. 級(jí)數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)5 如果收斂, 則它的一般項(xiàng)un 趨于零, 即. 性質(zhì)5 如果收斂, 則. 證 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為sn, 且, 則 . 應(yīng)注意的問題

10、: 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散的. 例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 假若級(jí)數(shù)收斂且其和為s, sn是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明級(jí)數(shù)必定發(fā)散. §11. 2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù): 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界. 定

11、理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且un￡vn (n=1, 2, × × × ). 若級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; 反之, 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 定理2(比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且un￡vn(k>0, "n3N). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 設(shè)Sun和Svn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且un￡kvn(k>0, "n3N). 若級(jí)數(shù)Svn收斂, 則級(jí)數(shù)Sun收斂; 反之, 若級(jí)數(shù)Sun發(fā)散, 則級(jí)數(shù)Svn發(fā)散. 證 設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和s, 則級(jí)數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ × × × +un￡v1+ v

12、2+ × × × +vn￡s (n=1, 2, × × ×), 即部分和數(shù)列{sn}有界, 由定理1知級(jí)數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù) 收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級(jí)數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 證 僅就un￡vn (n=1, 2, × × × )情形證明. 設(shè)級(jí)數(shù)Svn收斂, 其和為s, 則級(jí)數(shù)Sun的部分和 sn=u1+ u2+ × × × + un￡v1+v2+ × × × +vn￡s (n=1, 2, × × ×), 即部分和數(shù)列{sn}有界. 因此級(jí)數(shù)Sun收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)Sun發(fā)散,

13、 則級(jí)數(shù)Svn必發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù) Svn收斂, 由上已證明的結(jié)論, 級(jí)數(shù)Sun也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果級(jí)數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)n3N時(shí)有un￡kvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)收斂; 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)n3N時(shí)有un3kvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級(jí)數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 例1 討論p-級(jí)數(shù)的收斂性. 解 設(shè)p￡1. 這時(shí), 而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p￡1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 設(shè)p>1. 此時(shí)有 (n=2

14、, 3, × × ×). 對(duì)于級(jí)數(shù), 其部分和 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂. 綜上所述, p-級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p￡1時(shí)發(fā)散. 解 當(dāng)p￡1時(shí), , 而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p￡1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)p>1時(shí), (n=2, 3, × × ×). 而級(jí)數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較審斂法的推論可知, 級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂. 提示: 級(jí)數(shù)的部分和為 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. p-級(jí)數(shù)的收斂性: p-

15、級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p￡1時(shí)發(fā)散. 例2 證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果(0

16、 (1)如果lim(un/vn)=l(0￡l<+￥), 且Svn收斂, 則Sun收斂; (2)如果lim(un/vn)=l(0N時(shí), 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 例4 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)收

17、斂. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足, 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果 , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例

18、5 證明級(jí)數(shù) 是收斂的. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 例6 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 例7 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 . 這時(shí)r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來判別級(jí)數(shù)的收斂性. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 提示: , 比值審斂法失效. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 定

19、理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足, 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果 , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例

20、8 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 以這級(jí)數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例6判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理6(極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果, 則級(jí)數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級(jí)數(shù)收斂. 例7 判定級(jí)數(shù)的收斂性.

21、 解 因?yàn)? 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 例8 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級(jí)數(shù): 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯(cuò)級(jí)數(shù), 但不是交錯(cuò)級(jí)數(shù). 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: (1)un3un+1 (n=1, 2, 3, × × ×); (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和s￡u1

22、, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|￡un+1. 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足: (1); (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和s￡u1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|￡un+1. 簡(jiǎn)要證明: 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ × × × +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ × × × +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n

23、s2n+u2n+1?s(n?￥), 所以sn?s(n?￥). 從而級(jí)數(shù)是收斂的, 且sn

24、稱級(jí)條件收斂. 例10 級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的, 而級(jí)數(shù)是條件收斂的. 定理7 如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 則級(jí)數(shù)必定收斂. 值得注意的問題: 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級(jí)數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級(jí)數(shù)必定發(fā)散. 這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 例11 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)閨, 而級(jí)數(shù)是收斂的, 所以級(jí)數(shù)也收斂, 從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 例12 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解:

25、 由, 有, 可知, 因此級(jí)數(shù)發(fā)散. § 11. 3 冪級(jí)數(shù) 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x)}, 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x)+ × × × 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為. 收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn): 對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0, 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 則稱 點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn). 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱 點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 收斂域與發(fā)散域:

26、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域, 所 有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域. 和函數(shù): 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù), 并寫成. ∑un(x)是的簡(jiǎn)便記法, 以下不再重述. 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和函數(shù), 并寫成s(x)=∑un(x). 這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域, 部分和: 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x

27、)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x). 在收斂域上有或sn(x)?s(x)(n?￥) . 余項(xiàng): 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn (x), 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 冪級(jí)數(shù): 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中

28、簡(jiǎn)單而常見的一類級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù), 這種形式的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù), 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn+ × × × , 其中常數(shù)a0, a1, a2, × × × , an , × × ×叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù). 冪級(jí)數(shù)的例子: 1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × , . 注: 冪級(jí)數(shù)的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × , 經(jīng)變換t=x-x0

29、就得a0+a1t+a2t2+ × × × +antn+ × × × . 冪級(jí)數(shù) 1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × 可以看成是公比為x的幾何級(jí)數(shù). 當(dāng)|x|<1時(shí)它是收斂的; 當(dāng)|x|31時(shí), 它是發(fā)散的. 因此它的收斂 域?yàn)?-1, 1), 在收斂域內(nèi)有 . 定理1 (阿貝爾定理) 如果級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0 (x010)時(shí)收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 反之, 如果級(jí)數(shù)當(dāng) x=x0時(shí)發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散. 定理1 (阿貝爾定理) 如果級(jí)數(shù)

30、∑anxn當(dāng)x=x0 (x010)時(shí)收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 反之, 如果級(jí)數(shù)∑anxn當(dāng) x=x0時(shí)發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡(jiǎn)記形式. 證 先設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), 即級(jí)數(shù)收斂. 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個(gè)常數(shù)M, 使 | anx0n |￡M(n=0, 1, 2, × × ×). 這樣級(jí)數(shù)的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值 . 因?yàn)楫?dāng)|x|<|x0|時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂, 所以級(jí)數(shù)收斂, 也就是級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 簡(jiǎn)要證明

31、 設(shè)∑anxn在點(diǎn)x0收斂, 則有anx0n?0(n?￥) , 于是數(shù)列{anx0n}有界, 即存在一個(gè)常數(shù)M, 使| anx0n |￡M(n=0, 1, 2, × × ×). 因?yàn)? , 而當(dāng)時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂, 所以級(jí)數(shù)∑|anxn|收斂, 也就是級(jí)數(shù)∑anxn絕對(duì)收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級(jí)數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級(jí)數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂, 則必有一個(gè)完全確定

32、的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|R時(shí), 冪級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=-R時(shí), 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間(-R, R)叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級(jí)數(shù)在x=±R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級(jí)數(shù)的收斂域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級(jí)數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+￥, 這時(shí)收斂域?yàn)?-￥, +￥).

33、 定理2 如果, 其中an、an+1是冪級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù), 則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果冪級(jí)數(shù)系數(shù)滿足, 則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果, 則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R為: 當(dāng)r10時(shí), 當(dāng)r=0時(shí)R=+￥, 當(dāng)r=+￥時(shí)R=0. 簡(jiǎn)要證明: . (1)如果0

34、)如果r=+￥, 則只當(dāng)x=0時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂, 故R=0. 例1 求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為. 當(dāng)x=1時(shí), 冪級(jí)數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時(shí), 冪級(jí)數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域?yàn)?-1, 1]. 例2 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域. 例2 求冪級(jí)數(shù)的收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為R=+￥, 從而收斂域?yàn)?-￥, +￥). 例3 求冪

35、級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 因?yàn)? , 所以收斂半徑為R=0, 即級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂. 例4 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑: 冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為. 因?yàn)?, 當(dāng)4|x|2<1即時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)4|x|2>1即時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 提示: . 例5 求冪級(jí)數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級(jí)數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?, 所以收斂半徑R=2. 當(dāng)t=2時(shí), 級(jí)數(shù)

36、成為, 此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 此級(jí)數(shù)收斂. 因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2￡t<2. 因?yàn)?2￡x-1<2, 即-1￡x<3, 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 3). 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級(jí)數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R￠, R￠)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R￠, R￠)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: , 減法: , 設(shè)冪級(jí)數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R￠, R￠)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R￠, R￠)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn , 減法: ∑an

37、xn-∑bnxn =∑(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ × × × +(a0bn+a1bn-1+ × × × +anb0)xn+ × × × 性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級(jí)數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù). 性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式 (x?I ), 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.

38、 性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 (|x|

39、求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑. 例6 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 1). 設(shè)和函數(shù)為s(x), 即, x?[-1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導(dǎo)得 . 對(duì)上式從0到x積分, 得 . 于是, 當(dāng)x 10時(shí), 有. 從而. 因?yàn)? , 所以, 當(dāng)x10時(shí), 有, 從而 . 例6 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 1). 設(shè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為

40、s(x), 即, x?[-1, 1). 顯然S(0)=1. 因?yàn)? , 所以, 當(dāng)時(shí), 有. 從而 . 由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)性, . 綜合起來得. 提示: 應(yīng)用公式, 即. . 例7 求級(jí)數(shù)的和. 解 考慮冪級(jí)數(shù), 此級(jí)數(shù)在[-1, 1)上收斂, 設(shè)其和 函數(shù)為s(x), 則. 在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即. §11. 4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 一、泰勒級(jí)數(shù) 要解決的問題: 給

41、定函數(shù)f(x), 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級(jí)數(shù)”, 就是說, 是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù), 我們就說, 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù), 或簡(jiǎn)單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級(jí)數(shù), 而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x). 泰勒多項(xiàng)式: 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級(jí)數(shù): 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)

42、f￠(x), f￠￠(x), × × × , f (n)(x), × × × , 則當(dāng)n?￥時(shí), f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式 成為冪級(jí)數(shù) 這一冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù). 顯然, 當(dāng)x=x0時(shí), f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0). 需回答的問題: 除了x=x0外, f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)? 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n?0時(shí)的極限為零, 即

43、 . 證明 先證必要性. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù), 即 , 又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前n+1項(xiàng)的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x)? f(x)(n?￥). 而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)?0(n?￥). 再證充分性. 設(shè)Rn(x)?0(n?￥)對(duì)一切x?U(x0)成立. 因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)?f(x), 即f(x)的

44、泰勒級(jí)數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于f(x). 麥克勞林級(jí)數(shù): 在泰勒級(jí)數(shù)中取x0=0, 得 , 此級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù). 展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致. 這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級(jí)數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn + × × × , 那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo), 有 f ￠(x)=a1+2a2x+3a3x2+ × × ×+nan

45、xn-1+ × × × , f ￠￠(x)=2!a2+3×2a3x+ × × × + n×(n-1)anxn-2 + × × × , f ￠￠￠(x)=3!a3+ × × ×+n×(n-1)(n-2)anxn-3 + × × × , × × × × × × × × × × × × × × × f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) × × × 2an+1x + × × × , 于是得 a0=f(0), a1=f ￠(0), , × × ×, , × × ×. 應(yīng)注意的問題: 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù), 那

46、么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù). 但是, 反過來如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(x)在點(diǎn)x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來, 但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 展開步驟: 第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù): f ￠(x), f ￠￠(x), × × × , f (n)(x), × × × . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0 處的值: f(0), f ￠(0), f ￠￠

47、(0), × × × , f (n)( 0), × × × . 第三步 寫出冪級(jí)數(shù) , 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)?0(n?￥). 是否為零. 如果Rn(x)?0(n?￥), 則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式 (-R

48、 , 它的收斂半徑R=+￥. 對(duì)于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 , 而, 所以, 從而有展開式 . 例2 將函數(shù)f(x)=sin x 展開成x的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)?n=1, 2, × × ×), 所以f (n)(0)順序循環(huán)地取0, 1, 0, -1, × × × ((n=0, 1, 2, 3, × × ×), 于是得級(jí)數(shù) , 它的收斂半徑為R=+￥. 對(duì)于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 ?0 (n ?￥). 因此得展

49、開式 . . 例3 將函數(shù)f(x)=(1+ x)m展開成x的冪級(jí)數(shù), 其中m為任意常數(shù). 解: f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為 f ￠(x)=m(1+x)m-1, f ￠￠(x)=m(m-1)(1+x)m-2, × × × × × × × × ×, f (n)(x)=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1)(1+x)m-n, × × × × × × × × ×, 所以 f(0)=1, f ￠(0)=m, f ￠￠(0)=m(m-1), × × ×, f (n)(0)

50、=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1), × × × 于是得冪級(jí)數(shù) . 可以證明 . 間接展開法: 例4 將函數(shù)f(x)=cos x展開成x的冪級(jí)數(shù). 解 已知 (-￥

51、解 因?yàn)? 而是收斂的等比級(jí)數(shù)(-1

52、 解 因?yàn)? . 提示: ,. , , 收斂域的確定: 由和得. 展開式小結(jié): , , , , , . §11. 5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用 一、近似計(jì)算 例1 計(jì)算的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 例1 計(jì)算的近似值(誤差不超過10-4). 解 因?yàn)? 所以在二項(xiàng)展開式中取, , 即得 . 這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快. 取前兩項(xiàng)的和

53、作為的近似值, 其誤差(也叫做截?cái)嗾`差)為 . 于是取近似式為, 為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截?cái)嗾`差之和不超過10-4, 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù), 然后四舍五入. 因此最后得 . 例2 計(jì)算ln 2的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 例2 計(jì)算ln 2的近似值(誤差不超過10-4). 解 在上節(jié)例5中, 令 x=1可得 . 如果取這級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和作為ln2的近似值, 其誤差為 . 為了保證誤差不超過

54、, 就需要取級(jí)數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算. 這樣做計(jì)算量太大了, 我們必需用收斂較快的級(jí)數(shù)來代替它. 把展開式 中的x換成-x , 得 , 兩式相減, 得到不含有偶次冪的展開式: . 令, 解出. 以代入最后一個(gè)展開式, 得 . 如果取前四項(xiàng)作為ln2的近似值, 則誤差為 . 于是取 . 同樣地, 考慮到舍入誤差, 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù): , , , . 因此得 ln 2?0.6931. 例3 利用 求sin9°

55、的近似值, 并估計(jì)誤差. 解 首先把角度化成弧度, (弧度)(弧度), 從而 . 其次, 估計(jì)這個(gè)近似值的精確度. 在sin x 的冪級(jí)數(shù)展開式中令, 得 . 等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù), 且各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)減少. 取它的前兩項(xiàng)之和作為的近似值, 起誤差為 . 因此取 , 于是得 sin9°?0.15643. 這時(shí)誤差不超過10-5. 例4 計(jì)算定積分 的近似值, 要求誤差不超過0.0001（?。? 例4 求積分的近似值(誤差不超過10-4).

56、 解 將ex的冪級(jí)數(shù)展開式中的x換成-x2, 得到被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 . 于是, 根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積, 得 . 前四項(xiàng)的和作為近似值, 其誤差為 , 所以 . 例5 計(jì)算積分 的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 例5 計(jì)算的近似值(誤差不超過10-4). 解 由于, 因此所給積分不是反常積分. 如果定義被積函數(shù)在x=0處的值為1, 則它在積分區(qū)間[0, 1]上連續(xù). 展開被積函數(shù), 有

57、 . 在區(qū)間[0, 1]上逐項(xiàng)積分, 得 . 因?yàn)榈谒捻?xiàng) , 所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值: . 二、歐拉公式 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (u1+iv1)+(u2+iv2)+ × × ×+(un+ivn)+ × × × 其中un , vn (n=1, 2, 3, × × ×)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù). 如果實(shí)部所成的級(jí)數(shù) u1+u2 + × × × +un+ × × × 收斂于和u, 并且虛部所成的級(jí)數(shù). v1+v2+ × × × +vn

58、+ × × × 收斂于和v, 就說復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂且和為u+iv. 絕對(duì)收斂: 如果級(jí)的各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂, 則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù): 考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) . 可以證明此級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是絕對(duì)收斂的, 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex , 在復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù), 記為ez . 即 . 歐拉公式: 當(dāng)x=0時(shí), z=iy , 于是 =cos y+isin y. 把y定成x得

59、 eix=cos x+i sin x, 這就是歐拉公式. 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式: 復(fù)數(shù)z可以表示為 z=r(cosq +isinq)=reiq , 其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的輻角. 三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系: 因?yàn)閑ix=cos x+i sin x, e-ix=cos x-i sin x, 所以 eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x. , . 這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì): . 特殊地, 有ex

60、+iy =ex ei y =ex (cos y+ isin y). §11.7 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 三角級(jí)數(shù): 級(jí)數(shù) 稱為三角級(jí)數(shù), 其中a0, an, bn (n = 1, 2, × × ×)都是常數(shù). 三角函數(shù)系: 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, × × ×, cos nx, sin nx, × × × 三角函數(shù)系的正交性: 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[-p, p]上的積分等于零, 即

61、 (n=1, 2, × × ×), (n=1, 2, × × ×), (k, n=1, 2, × × ×), (k, n=1, 2, × × ×, k1n), (k, n=1, 2, × × ×, k1n). 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[-p,p]上的積分不等于零, 即 , (n =1, 2, × × ×), (n =1, 2

62、, × × ×). 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 問題: 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 且能展開成三角級(jí)數(shù): . 那么系數(shù)a0, a1, b1, × × × 與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則 . 類似地. 傅里葉系數(shù): , , (n =1, 2, × × ×), , (n =1, 2, × × ×). 系數(shù)a0, a1, b1, × × × 叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù). 傅里葉級(jí)數(shù):

63、三角級(jí)數(shù) 稱為傅里葉級(jí)數(shù), 其中a0, a1, b1, × × ×是傅里葉系數(shù). 問題: 一個(gè)定義在(-￥, +￥)上周期為2p的函數(shù)f(x), 如果它在一個(gè)周期上可積, 則一定可以作出f(x)的傅里葉級(jí)數(shù). 然而, 函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂, 它是否一定收斂于函數(shù)f(x)? 一般來說, 這兩個(gè)問題的答案都不是肯定的. 定理(收斂定理, 狄利克雷充分條件) 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 如果它滿足: 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn), 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂, 并且

64、 當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于f(x); 當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于. 例1 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 它在[-p, p)上的表達(dá)式為 將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點(diǎn)x=kp (k=0, ±1, ±2, × × × )處不連續(xù), 在其它點(diǎn)處連續(xù), 從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂, 并且當(dāng)x=kp時(shí)收斂于 , 當(dāng)x1kp時(shí)級(jí)數(shù)收斂于f(x). 傅里葉系數(shù)計(jì)算如下: (n =0, 1, 2, ×

65、× ×); [1-(-1)n ] 于是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 (-￥

66、x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=(2k+1) p處收斂于 . 在連續(xù)點(diǎn)x (x1(2k+1)p)處級(jí)數(shù)收斂于f(x). 傅里葉系數(shù)計(jì)算如下: ; (n =1, 2, × × ×). f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 (-￥