同濟第六版《高等數(shù)學》教案WORD版-第11章 無窮級數(shù)

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1、高等數(shù)學教案 §11 無窮級數(shù) 第十一章 無窮級數(shù) 教學目的： 1．理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2．掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3．掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。 4．掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。 5．了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系。 6．了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7．理解冪級數(shù)收斂半徑

2、的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。 8．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些常數(shù)項級數(shù)的和。 9．了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。 10．掌握，和的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。 11. 了解傅里葉級數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理，會將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和的表達式。 教學重點 ： 1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

3、 2、正項級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別； 3、交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法； 4、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域； 5、，和的麥克勞林展開式； 6、傅里葉級數(shù)。 教學難點： 1、 比較判別法的極限形式； 2、 萊布尼茨判別法； 3、 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂； 4、 函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)； 5、 泰勒級數(shù)； 6、 傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。 §11. 1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念 常數(shù)項級數(shù): 給定一個數(shù)列 u1, u2, u

4、3, × × ×, un, × × ×, 則由這數(shù)列構成的表達式 u1 + u2 + u3 + × × ×+ un + × × × 叫做常數(shù)項)無窮級數(shù), 簡稱常數(shù)項)級數(shù), 記為, 即 , 其中第n項u n 叫做級數(shù)的一般項. 級數(shù)的部分和: 作級數(shù)的前n項和 稱為級數(shù)的部分和. 級數(shù)斂散性定義: 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時極限s叫做這級數(shù)的和, 并寫成 ; 如果沒有極限, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散. 余項: 當級數(shù)收斂時, 其部

5、分和s n是級數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ × × × 叫做級數(shù)的余項. 例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) 的斂散性, 其中a10, q叫做級數(shù)的公比. 例1 討論等比級數(shù)(a10)的斂散性. 解 如果q11, 則部分和 . 當|q|<1時, 因為, 所以此時級數(shù)收斂, 其和為. 當|q|>1時, 因為, 所以此時級數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當q=1時, sn =na?￥, 因此級數(shù)發(fā)散; 當q=-1

6、時, 級數(shù)成為 a-a+a-a+ × × ×, 時|q|=1時, 因為sn 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時級數(shù)也發(fā)散. 綜上所述, 如果|q|<1, 則級數(shù)收斂, 其和為; 如果|q|31, 則級數(shù)發(fā)散. 僅當|q|<1時, 幾何級數(shù)a10)收斂, 其和為. 例2 證明級數(shù) 1+2+3+× × ×+n+× × × 是發(fā)散的. 證 此級數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無窮級數(shù)

7、 的收斂性. 解 由于 , 因此 從而 , 所以這級數(shù)收斂, 它的和是1. 例3 判別無窮級數(shù)的收斂性. 解 因為 , 從而 , 所以這級數(shù)收斂, 它的和是1. 提示: . 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級數(shù)收斂于和s, 則它的各項同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)1 如果級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為ks.

8、 性質(zhì)1 如果, 則. 這是因為, 設與的部分和分別為sn與sn, 則 . 這表明級數(shù)收斂, 且和為ks. 性質(zhì)2 如果級數(shù)、分別收斂于和s、s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為s±s. 性質(zhì)2 如果、, 則. 這是因為, 如果、、的部分和分別為sn、sn、tn, 則 . 性質(zhì)3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項, 不會改變級數(shù)的收斂性. 比如, 級數(shù)是收斂的, 級數(shù)也是收斂的, 級數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 如果級數(shù)

9、收斂, 則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應注意的問題: 如果加括號后所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù) 1-1)+1-1) +× × ×收斂于零, 但級數(shù)1-1+1-1+× × ×卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 級數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)5 如果收斂, 則它的一般項un 趨于零, 即. 性質(zhì)5 如果收斂, 則. 證 設級數(shù)的部分和為sn, 且, 則 . 應注意的問題

10、: 級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的. 例4 證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的. 證 假若級數(shù)收斂且其和為s, sn是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散. §11. 2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法 一、正項級數(shù)及其審斂法 正項級數(shù): 各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù). 定理1 正項級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界. 定

11、理2(比較審斂法)設和都是正項級數(shù), 且un￡vn (n=1, 2, × × × ). 若級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; 反之, 若級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 定理2(比較審斂法) 設和都是正項級數(shù), 且un￡vn(k>0, "n3N). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 設Sun和Svn都是正項級數(shù), 且un￡kvn(k>0, "n3N). 若級數(shù)Svn收斂, 則級數(shù)Sun收斂; 反之, 若級數(shù)Sun發(fā)散, 則級數(shù)Svn發(fā)散. 證 設級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ × × × +un￡v1+ v

12、2+ × × × +vn￡s (n=1, 2, × × ×), 即部分和數(shù)列{sn}有界, 由定理1知級數(shù)收斂. 反之, 設級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)必發(fā)散. 因為若級數(shù) 收斂, 由上已證明的結論, 將有級數(shù)也收斂, 與假設矛盾. 證 僅就un￡vn (n=1, 2, × × × )情形證明. 設級數(shù)Svn收斂, 其和為s, 則級數(shù)Sun的部分和 sn=u1+ u2+ × × × + un￡v1+v2+ × × × +vn￡s (n=1, 2, × × ×), 即部分和數(shù)列{sn}有界. 因此級數(shù)Sun收斂. 反之, 設級數(shù)Sun發(fā)散,

13、 則級數(shù)Svn必發(fā)散. 因為若級數(shù) Svn收斂, 由上已證明的結論, 級數(shù)Sun也收斂, 與假設矛盾. 推論 設和都是正項級數(shù), 如果級數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當n3N時有un￡kvn(k>0)成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當n3N時有un3kvn(k>0)成立, 則級數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 例1 討論p-級數(shù)的收斂性. 解 設p￡1. 這時, 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當p￡1時級數(shù)發(fā)散. 設p>1. 此時有 (n=2

14、, 3, × × ×). 對于級數(shù), 其部分和 . 因為. 所以級數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級數(shù)當p>1時收斂. 綜上所述, p-級數(shù)當p>1時收斂, 當p￡1時發(fā)散. 解 當p￡1時, , 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當p￡1時級數(shù)發(fā)散. 當p>1時, (n=2, 3, × × ×). 而級數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較審斂法的推論可知, 級數(shù)當p>1時收斂. 提示: 級數(shù)的部分和為 . 因為, 所以級數(shù)收斂. p-級數(shù)的收斂性: p-

15、級數(shù)當p>1時收斂, 當p￡1時發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因為, 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設和都是正項級數(shù), 如果(0

16、 (1)如果lim(un/vn)=l(0￡l<+￥), 且Svn收斂, 則Sun收斂; (2)如果lim(un/vn)=l(0N時, 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結論. 例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 例4 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)收

17、斂. 定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法) 若正項級數(shù)的后項與前項之比值的極限等于r: , 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法) 若正項級數(shù)滿足, 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散. 當r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法)設為正項級數(shù), 如果 , 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例

18、5 證明級數(shù) 是收斂的. 解 因為, 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 例6 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散. 例7 判別級數(shù)的收斂性. 解 . 這時r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性. 因為, 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 解 因為, 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 提示: , 比值審斂法失效. 因為, 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定

19、理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設是正項級數(shù), 如果它的一般項un的n次根的極限等于r: , 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 若正項級數(shù)滿足, 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散. 當r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設為正項級數(shù), 如果 , 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例

20、8 證明級數(shù)是收斂的. 并估計以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因為, 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 以這級數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例6判定級數(shù)的收斂性. 解 因為 , 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂. 定理6(極限審斂法) 設為正項級數(shù), (1)如果, 則級數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級數(shù)收斂. 例7 判定級數(shù)的收斂性.

21、 解 因為, 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 例8 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 二、交錯級數(shù)及其審斂法 交錯級數(shù): 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項是正負交錯的. 交錯級數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯級數(shù), 但不是交錯級數(shù). 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯級數(shù)滿足條件: (1)un3un+1 (n=1, 2, 3, × × ×); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和s￡u1

22、, 其余項rn的絕對值|rn|￡un+1. 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯級數(shù)滿足: (1); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和s￡u1, 其余項rn的絕對值|rn|￡un+1. 簡要證明: 設前n項部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ × × × +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ × × × +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n

23、s2n+u2n+1?s(n?￥), 所以sn?s(n?￥). 從而級數(shù)是收斂的, 且sn

24、稱級條件收斂. 例10 級數(shù)是絕對收斂的, 而級數(shù)是條件收斂的. 定理7 如果級數(shù)絕對收斂, 則級數(shù)必定收斂. 值得注意的問題: 如果級數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散. 這是因為, 此時|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級數(shù)也是發(fā)散的. 例11 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為|, 而級數(shù)是收斂的, 所以級數(shù)也收斂, 從而級數(shù)絕對收斂. 例12 判別級數(shù)的收斂性. 解:

25、 由, 有, 可知, 因此級數(shù)發(fā)散. § 11. 3 冪級數(shù) 一、函數(shù)項級數(shù)的概念 函數(shù)項級數(shù): 給定一個定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x)}, 由這函數(shù)列構成的表達式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x)+ × × × 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù), 記為. 收斂點與發(fā)散點: 對于區(qū)間I內(nèi)的一定點x0, 若常數(shù)項級數(shù)收斂, 則稱 點x0是級數(shù)的收斂點. 若常數(shù)項級數(shù)發(fā)散, 則稱 點x0是級數(shù)的發(fā)散點. 收斂域與發(fā)散域:

26、 函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域, 所 有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域. 和函數(shù): 在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù), 并寫成. ∑un(x)是的簡便記法, 以下不再重述. 在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的和函數(shù), 并寫成s(x)=∑un(x). 這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域, 部分和: 函數(shù)項級數(shù)的前n項的部分和記作sn(x), 函數(shù)項級數(shù)∑un(x

27、)的前n項的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x). 在收斂域上有或sn(x)?s(x)(n?￥) . 余項: 函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項級數(shù)的余項. 函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的余項記為rn (x), 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 二、冪級數(shù)及其收斂性 冪級數(shù): 函數(shù)項級數(shù)中

28、簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都冪函數(shù)的函數(shù) 項級數(shù), 這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù), 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn+ × × × , 其中常數(shù)a0, a1, a2, × × × , an , × × ×叫做冪級數(shù)的系數(shù). 冪級數(shù)的例子: 1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × , . 注: 冪級數(shù)的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × , 經(jīng)變換t=x-x0

29、就得a0+a1t+a2t2+ × × × +antn+ × × × . 冪級數(shù) 1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × 可以看成是公比為x的幾何級數(shù). 當|x|<1時它是收斂的; 當|x|31時, 它是發(fā)散的. 因此它的收斂 域為(-1, 1), 在收斂域內(nèi)有 . 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)當x=x0 (x010)時收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)當 x=x0時發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)

30、∑anxn當x=x0 (x010)時收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)∑anxn當 x=x0時發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡記形式. 證 先設x0是冪級數(shù)的收斂點, 即級數(shù)收斂. 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個常數(shù)M, 使 | anx0n |￡M(n=0, 1, 2, × × ×). 這樣級數(shù)的的一般項的絕對值 . 因為當|x|<|x0|時, 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)收斂, 也就是級數(shù)絕對收斂. 簡要證明

31、 設∑anxn在點x0收斂, 則有anx0n?0(n?￥) , 于是數(shù)列{anx0n}有界, 即存在一個常數(shù)M, 使| anx0n |￡M(n=0, 1, 2, × × ×). 因為 , 而當時, 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)∑|anxn|收斂, 也就是級數(shù)∑anxn絕對收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數(shù)當x=x0時發(fā)散而有一點x1適合|x1|>|x0|使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級數(shù)當x=x0時應收斂, 這與所設矛盾. 定理得證. 推論 如果級數(shù)不是僅在點x=0一點收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂, 則必有一個完全確定

32、的正數(shù)R存在, 使得 當|x|R時, 冪級數(shù)發(fā)散; 當x=R與x=-R時, 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間(-R, R)叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在x=±R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級數(shù)對一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+￥, 這時收斂域為(-￥, +￥).

33、 定理2 如果, 其中an、an+1是冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù), 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果冪級數(shù)系數(shù)滿足, 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果, 則冪級數(shù)的收斂半徑R為: 當r10時, 當r=0時R=+￥, 當r=+￥時R=0. 簡要證明: . (1)如果0

34、)如果r=+￥, 則只當x=0時冪級數(shù)收斂, 故R=0. 例1 求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 例1 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域. 解 因為, 所以收斂半徑為. 當x=1時, 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當x=-1時, 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域為(-1, 1]. 例2 求冪級數(shù) 的收斂域. 例2 求冪級數(shù)的收斂域. 解 因為, 所以收斂半徑為R=+￥, 從而收斂域為(-￥, +￥). 例3 求冪

35、級數(shù)的收斂半徑. 解 因為 , 所以收斂半徑為R=0, 即級數(shù)僅在x=0處收斂. 例4 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 級數(shù)缺少奇次冪的項, 定理2不能應用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑: 冪級數(shù)的一般項記為. 因為 , 當4|x|2<1即時級數(shù)收斂; 當4|x|2>1即時級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 提示: . 例5 求冪級數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級數(shù)變?yōu)? 因為 , 所以收斂半徑R=2. 當t=2時, 級數(shù)

36、成為, 此級數(shù)發(fā)散; 當t=-2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)收斂. 因此級數(shù)的收斂域為-2￡t<2. 因為-2￡x-1<2, 即-1￡x<3, 所以原級數(shù)的收斂域為[-1, 3). 三、冪級數(shù)的運算 設冪級數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R￠, R￠)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R￠, R￠)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: , 減法: , 設冪級數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R￠, R￠)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R￠, R￠)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn , 減法: ∑an

37、xn-∑bnxn =∑(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ × × × +(a0bn+a1bn-1+ × × × +anb0)xn+ × × × 性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù). 性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項積分公式 (x?I ), 逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.

38、 性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導, 并且有逐項求導公式 (|x|

39、求導后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 例6 求冪級數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級數(shù)的收斂域為[-1, 1). 設和函數(shù)為s(x), 即, x?[-1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導得 . 對上式從0到x積分, 得 . 于是, 當x 10時, 有. 從而. 因為 , 所以, 當x10時, 有, 從而 . 例6 求冪級數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級數(shù)的收斂域為[-1, 1). 設冪級數(shù)的和函數(shù)為

40、s(x), 即, x?[-1, 1). 顯然S(0)=1. 因為 , 所以, 當時, 有. 從而 . 由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)性, . 綜合起來得. 提示: 應用公式, 即. . 例7 求級數(shù)的和. 解 考慮冪級數(shù), 此級數(shù)在[-1, 1)上收斂, 設其和 函數(shù)為s(x), 則. 在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即. §11. 4 函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、泰勒級數(shù) 要解決的問題: 給

41、定函數(shù)f(x), 要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”, 就是說, 是否能找到這樣一個冪級數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說, 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù), 或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù), 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達了函數(shù)f(x). 泰勒多項式: 如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級數(shù): 如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導數(shù)

42、f￠(x), f￠￠(x), × × × , f (n)(x), × × × , 則當n?￥時, f(x)在點x0的泰勒多項式 成為冪級數(shù) 這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù). 顯然, 當x=x0時, f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0). 需回答的問題: 除了x=x0外, f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)? 定理 設函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當n?0時的極限為零, 即

43、 . 證明 先證必要性. 設f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù), 即 , 又設sn+1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n+1項的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x)? f(x)(n?￥). 而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)?0(n?￥). 再證充分性. 設Rn(x)?0(n?￥)對一切x?U(x0)成立. 因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)?f(x), 即f(x)的

44、泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于f(x). 麥克勞林級數(shù): 在泰勒級數(shù)中取x0=0, 得 , 此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù). 展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致. 這是因為, 如果f(x)在點x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn + × × × , 那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導, 有 f ￠(x)=a1+2a2x+3a3x2+ × × ×+nan

45、xn-1+ × × × , f ￠￠(x)=2!a2+3×2a3x+ × × × + n×(n-1)anxn-2 + × × × , f ￠￠￠(x)=3!a3+ × × ×+n×(n-1)(n-2)anxn-3 + × × × , × × × × × × × × × × × × × × × f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) × × × 2an+1x + × × × , 于是得 a0=f(0), a1=f ￠(0), , × × ×, , × × ×. 應注意的問題: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那

46、么這個冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù). 但是, 反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(x)在點x0=0處具有各階導數(shù), 則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來, 但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 展開步驟: 第一步 求出f (x)的各階導數(shù): f ￠(x), f ￠￠(x), × × × , f (n)(x), × × × . 第二步 求函數(shù)及其各階導數(shù)在x=0 處的值: f(0), f ￠(0), f ￠￠

47、(0), × × × , f (n)( 0), × × × . 第三步 寫出冪級數(shù) , 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時是否Rn(x)?0(n?￥). 是否為零. 如果Rn(x)?0(n?￥), 則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式 (-R

48、 , 它的收斂半徑R=+￥. 對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 , 而, 所以, 從而有展開式 . 例2 將函數(shù)f(x)=sin x 展開成x的冪級數(shù). 解 因為(n=1, 2, × × ×), 所以f (n)(0)順序循環(huán)地取0, 1, 0, -1, × × × ((n=0, 1, 2, 3, × × ×), 于是得級數(shù) , 它的收斂半徑為R=+￥. 對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 ?0 (n ?￥). 因此得展

49、開式 . . 例3 將函數(shù)f(x)=(1+ x)m展開成x的冪級數(shù), 其中m為任意常數(shù). 解: f(x)的各階導數(shù)為 f ￠(x)=m(1+x)m-1, f ￠￠(x)=m(m-1)(1+x)m-2, × × × × × × × × ×, f (n)(x)=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1)(1+x)m-n, × × × × × × × × ×, 所以 f(0)=1, f ￠(0)=m, f ￠￠(0)=m(m-1), × × ×, f (n)(0)

50、=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1), × × × 于是得冪級數(shù) . 可以證明 . 間接展開法: 例4 將函數(shù)f(x)=cos x展開成x的冪級數(shù). 解 已知 (-￥

51、解 因為, 而是收斂的等比級數(shù)(-1

52、 解 因為 . 提示: ,. , , 收斂域的確定: 由和得. 展開式小結: , , , , , . §11. 5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 一、近似計算 例1 計算的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 例1 計算的近似值(誤差不超過10-4). 解 因為, 所以在二項展開式中取, , 即得 . 這個級數(shù)收斂很快. 取前兩項的和

53、作為的近似值, 其誤差(也叫做截斷誤差)為 . 于是取近似式為, 為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截斷誤差之和不超過10-4, 計算時應取五位小數(shù), 然后四舍五入. 因此最后得 . 例2 計算ln 2的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 例2 計算ln 2的近似值(誤差不超過10-4). 解 在上節(jié)例5中, 令 x=1可得 . 如果取這級數(shù)前n項和作為ln2的近似值, 其誤差為 . 為了保證誤差不超過

54、, 就需要取級數(shù)的前10000項進行計算. 這樣做計算量太大了, 我們必需用收斂較快的級數(shù)來代替它. 把展開式 中的x換成-x , 得 , 兩式相減, 得到不含有偶次冪的展開式: . 令, 解出. 以代入最后一個展開式, 得 . 如果取前四項作為ln2的近似值, 則誤差為 . 于是取 . 同樣地, 考慮到舍入誤差, 計算時應取五位小數(shù): , , , . 因此得 ln 2?0.6931. 例3 利用 求sin9°

55、的近似值, 并估計誤差. 解 首先把角度化成弧度, (弧度)(弧度), 從而 . 其次, 估計這個近似值的精確度. 在sin x 的冪級數(shù)展開式中令, 得 . 等式右端是一個收斂的交錯級數(shù), 且各項的絕對值單調(diào)減少. 取它的前兩項之和作為的近似值, 起誤差為 . 因此取 , 于是得 sin9°?0.15643. 這時誤差不超過10-5. 例4 計算定積分 的近似值, 要求誤差不超過0.0001（取）. 例4 求積分的近似值(誤差不超過10-4).

56、 解 將ex的冪級數(shù)展開式中的x換成-x2, 得到被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式 . 于是, 根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項可積, 得 . 前四項的和作為近似值, 其誤差為 , 所以 . 例5 計算積分 的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 例5 計算的近似值(誤差不超過10-4). 解 由于, 因此所給積分不是反常積分. 如果定義被積函數(shù)在x=0處的值為1, 則它在積分區(qū)間[0, 1]上連續(xù). 展開被積函數(shù), 有

57、 . 在區(qū)間[0, 1]上逐項積分, 得 . 因為第四項 , 所以取前三項的和作為積分的近似值: . 二、歐拉公式 復數(shù)項級數(shù): 設有復數(shù)項級數(shù) (u1+iv1)+(u2+iv2)+ × × ×+(un+ivn)+ × × × 其中un , vn (n=1, 2, 3, × × ×)為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù). 如果實部所成的級數(shù) u1+u2 + × × × +un+ × × × 收斂于和u, 并且虛部所成的級數(shù). v1+v2+ × × × +vn

58、+ × × × 收斂于和v, 就說復數(shù)項級數(shù)收斂且和為u+iv. 絕對收斂: 如果級的各項的模所構成的級數(shù)收斂, 則稱級數(shù)絕對收斂. 復變量指數(shù)函數(shù): 考察復數(shù)項級數(shù) . 可以證明此級數(shù)在復平面上是絕對收斂的, 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex , 在復平面上我們用它來定義復變量指數(shù)函數(shù), 記為ez . 即 . 歐拉公式: 當x=0時, z=iy , 于是 =cos y+isin y. 把y定成x得

59、 eix=cos x+i sin x, 這就是歐拉公式. 復數(shù)的指數(shù)形式: 復數(shù)z可以表示為 z=r(cosq +isinq)=reiq , 其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的輻角. 三角函數(shù)與復變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系: 因為eix=cos x+i sin x, e-ix=cos x-i sin x, 所以 eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x. , . 這兩個式子也叫做歐拉公式. 復變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì): . 特殊地, 有ex

60、+iy =ex ei y =ex (cos y+ isin y). §11.7 傅里葉級數(shù) 一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 三角級數(shù): 級數(shù) 稱為三角級數(shù), 其中a0, an, bn (n = 1, 2, × × ×)都是常數(shù). 三角函數(shù)系: 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, × × ×, cos nx, sin nx, × × × 三角函數(shù)系的正交性: 三角函數(shù)系中任何兩個不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[-p, p]上的積分等于零, 即

61、 (n=1, 2, × × ×), (n=1, 2, × × ×), (k, n=1, 2, × × ×), (k, n=1, 2, × × ×, k1n), (k, n=1, 2, × × ×, k1n). 三角函數(shù)系中任何兩個相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[-p,p]上的積分不等于零, 即 , (n =1, 2, × × ×), (n =1, 2

62、, × × ×). 二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 問題: 設f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 且能展開成三角級數(shù): . 那么系數(shù)a0, a1, b1, × × × 與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關系? 假定三角級數(shù)可逐項積分, 則 . 類似地. 傅里葉系數(shù): , , (n =1, 2, × × ×), , (n =1, 2, × × ×). 系數(shù)a0, a1, b1, × × × 叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù). 傅里葉級數(shù):

63、三角級數(shù) 稱為傅里葉級數(shù), 其中a0, a1, b1, × × ×是傅里葉系數(shù). 問題: 一個定義在(-￥, +￥)上周期為2p的函數(shù)f(x), 如果它在一個周期上可積, 則一定可以作出f(x)的傅里葉級數(shù). 然而, 函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂, 它是否一定收斂于函數(shù)f(x)? 一般來說, 這兩個問題的答案都不是肯定的. 定理(收斂定理, 狄利克雷充分條件) 設f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 如果它滿足: 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點, 在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點, 則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂, 并且

64、 當x是f(x)的連續(xù)點時, 級數(shù)收斂于f(x); 當x是f(x)的間斷點時, 級數(shù)收斂于. 例1 設f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 它在[-p, p)上的表達式為 將f(x)展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點x=kp (k=0, ±1, ±2, × × × )處不連續(xù), 在其它點處連續(xù), 從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數(shù)收斂, 并且當x=kp時收斂于 , 當x1kp時級數(shù)收斂于f(x). 傅里葉系數(shù)計算如下: (n =0, 1, 2, ×

65、× ×); [1-(-1)n ] 于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為 (-￥

66、x)的傅里葉級數(shù)在x=(2k+1) p處收斂于 . 在連續(xù)點x (x1(2k+1)p)處級數(shù)收斂于f(x). 傅里葉系數(shù)計算如下: ; (n =1, 2, × × ×). f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為 (-￥