2019年高考數(shù)學一輪復習 第10章 概率 第2節(jié) 古典概型學案 文 北師大版

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1、 第二節(jié)　古典概型 [考綱傳真]　1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會用列舉法計算一些隨機事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． (對應學生用書第151頁) [基礎知識填充] 1．基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下兩個特征的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． (1)試驗的所有可能結果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結果． (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 3．古典概型的概率公式 P(A)＝＝. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷

2、下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．(　　) (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事件．(　　) (3)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．(　　) (4)利用古典概型的概率可求“在邊長為2的正方形內任取一點，這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)下列試驗中，是古典概型的個數(shù)為(　　) ①向上

3、拋一枚質地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率； ②向正方形ABCD內，任意拋擲一點P，點P恰與點C重合； ③從1,2,3,4四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率； ④在線段[0,5]上任取一點，求此點小于2的概率． A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 B　[由古典概型的意義和特點知，只有③是古典概型．] 3．(2016·全國卷Ⅲ)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是(　　) 【導學號：00090351】 A．

4、B． C． D． C　[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件總數(shù)有15種． ∵正確的開機密碼只有1種，∴P＝.] 4．(2015·全國卷Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． C　[從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結果：(1,

5、2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為.故選C．] 5．甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為________． 　[甲、乙兩名運動員選擇運動服顏色的情況為(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍)，(白，白)，(白，紅)，(白，藍)，(藍，藍)，(藍，白)，(藍，紅)，共9種． 而同色的有(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共3種． 所以所求概率P＝＝.] (對應學

6、生用書第151頁) 簡單古典概型的概率 　(1)(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A．　　　　　　 B． C． D． (2)(2016·全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　) A． B． C． D． (1)D　(2)C　[(1)從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡

7、片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10， ∴所求概率P＝＝. 故選D． (2)從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中，余下2種顏色的花種在另一個花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝＝，故選C．] [規(guī)律方法]　1.計算古典概型事件的概率可分三步，(1)計算基本事件總個數(shù)n；(2)計算事件A所包含的基本事件的個數(shù)m；(3)代入公式求出概率P. 2．用列舉法寫出所有基本事件時，可借助“樹狀圖”列舉，

8、以便做到不重、不漏． [變式訓練1]　(1)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為(　　) A． B． C． D． (2)(2016·江蘇高考)將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________． (1)C　(2)　[(1)設正方形的四個頂點分別是A，B，C，D，中心為O，從這5個點中，任取兩個點的事件分別為AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10種，其中只有頂點到中心O的距離小于正方形的邊長，分

9、別是AO，BO，CO，DO，共有4種． 所以所求事件的概率P＝1－＝. (2)將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36種情況．設事件A＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10”，其對立事件＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和大于或等于10”，包含的可能結果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種情況．所以由古典概型的概率公式，得P()＝＝，所以P(A)＝1－＝.] 復雜古典概型的概率 　(2016·山東高考)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)

10、推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉動如圖10-2-1所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù)．設兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下： ①若xy≤3，則獎勵玩具一個； ②若xy≥8，則獎勵水杯一個； ③其余情況獎勵飲料一瓶． 假設轉盤質地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準備參加此項活動． (1)求小亮獲得玩具的概率； (2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由. 【導學號：00090352】 圖10-2-1 [解]　用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y

11、∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應． 因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16， 所以基本事件總數(shù)n＝16. 3分 (1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)共5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)． 所以P(A)＝，即小亮獲得玩具的概率為. 5分 (2)記“xy≥8”為事件B，“3

12、1). 10分 所以P(C)＝. 因為>， 所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 12分 [規(guī)律方法]　1.本題易錯點有兩個：(1)題意理解不清，不能把基本事件列舉出來；(2)不能恰當分類，列舉基本事件有遺漏． 2．求較復雜事件的概率問題，解題關鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉化為概率模型，必要時將所求事件轉化成彼此互斥事件的和，或者先求其對立事件的概率，進而再用互斥事件的概率加法公式或對立事件的概率公式求解． [變式訓練2]　(2017·濰坊質檢)某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人) 參加書法社團 未參

13、加書法社團 參加演講社團 8 5 未參加演講社團 2 30 (1)從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率； (2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率. 【導學號：00090353】 [解]　(1)由調查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人， 2分 故至少參加上述一個社團的共有45－30＝15人， 所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率為P＝＝.

14、5分 (2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的基本事件有 {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15個. 8分 根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2個. 10分 因此A1被選中且B1未被選中的概率為P＝. 12分 古典概型與統(tǒng)計的綜合應用 　

15、(2015·全國卷Ⅱ)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表． A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 圖10-2-2① B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表 滿意度評分分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 2 8 14 10 6 (1)在圖10-2-2②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給

16、出結論即可)． B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 圖10-2-2② (2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級： 滿意度評分 低于70分 70分到89分 不低于90分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由． [解]　(1)如圖所示． 4分 通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散. 6分 (2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大. 8分

17、 記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”．由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25. 11分 所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大. 12分 [規(guī)律方法]　1.本題求解的關鍵在于作出莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖準確提煉數(shù)據(jù)信息，考查數(shù)據(jù)處理能力和數(shù)學應用意識． 2．有關古典概型與統(tǒng)計結合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點，概率與統(tǒng)計結合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息

18、，準確從題中提煉信息是關鍵． [變式訓練3]　(2018·湘潭模擬)長沙某購物中心在開業(yè)之后，為了解消費者購物金額的分布情況，在當月的電腦消費小票中隨機抽取n張進行統(tǒng)計，將結果分成6組，分別是[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600]，制成如圖10-2-3所示的頻率分布直方圖(假設消費金額均在[0,600]元的區(qū)間內)． (1)若按分層抽樣的方法在消費金額為[400,600]元區(qū)間內抽取6張電腦小票，再從中任選2張，求這2張小票均來自[400,500)元區(qū)間的概率； (2)為做好五一勞動節(jié)期間的商場促銷活動，策劃

19、人員設計了兩種不同的促銷方案． 方案一：全場商品打八折． 方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復減免．利用直方圖的信息分析：哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由(直方圖中每個小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值) 圖10-2-3 [解]　(1)由題意知，在[400,500)元區(qū)間內抽4張，分別記為a，b，c，d，在[500,600]元區(qū)間內抽2張，分別記為E，F(xiàn)， 2分 設“2張小票均來自[400,500)元區(qū)間”為事件A， 從中任選2張，有以下選法：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、c

20、d、cE、cF、dE、dF、EF，共15種. 4分 其中，2張小票均來自[400,500)元區(qū)間的有ab、ac、ad、bc、bd、cd，共6種， ∴P(A)＝. 6分 (2)法一：由頻率分布直方圖可知，各組頻率依次為0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05. 方案一：購物的平均費用為0.8×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.8×275＝220(元). 8分 方案二：購物的平均費用為50×0.1＋130×0.2＋230×0.25＋270×0.3＋370×0.1＋430×0.05＝228(元). 10分 ∵220＜228，∴方案一的優(yōu)惠力度更大. 12分 法二：由頻率分布直方圖可知，各組頻率依次為0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05， 方案一：平均優(yōu)惠金額為0.2×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.2×275＝55(元). 8分 方案二：平均優(yōu)惠金額為20×(0.2＋0.25)＋80×(0.3＋0.1)＋120×0.05＝ 47(元). 10分 ∵55＞47.∴方案一的優(yōu)惠力度更大. 12分 8