2022年高中數(shù)學(xué) 第一章《“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》教案3 新人教A版選修2-3

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第一章《“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》教案3 新人教A版選修2-3 例9．已知的展開(kāi)式的系數(shù)和比的展開(kāi)式的系數(shù)和大992,求的展開(kāi)式中:①二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);②系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng). 解：由題意,解得. ①的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大, 即. ②設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大, 則 ∴,得,即 ∴,∴,故系數(shù)的絕對(duì)值最大的是第4項(xiàng) 例10．已知：的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大． （1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng) 解：令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為， 又展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為， ∴，． （1）∵，展開(kāi)

2、式共項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)， ∴，， （2）設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則， ∴，∴， 即展開(kāi)式中第項(xiàng)系數(shù)最大，． 例11．已知， 求證：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，能被整除 分析：由二項(xiàng)式定理的逆用化簡(jiǎn)，再把變形，化為含有因數(shù)的多項(xiàng)式 ∵， ∴，∵為偶數(shù)，∴設(shè)（）， ∴ （） ， 當(dāng)=時(shí)，顯然能被整除， 當(dāng)時(shí)，（）式能被整除， 所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，能被整除 三、課堂練習(xí)： 1．展開(kāi)式中的系數(shù)為 ，各項(xiàng)系數(shù)之和為 ． 2．多項(xiàng)式（）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 3．若二項(xiàng)式（）的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（ ） A

3、.4 B.5 C.6 D.8 4．某企業(yè)欲實(shí)現(xiàn)在今后10年內(nèi)年產(chǎn)值翻一番的目標(biāo)，那么該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長(zhǎng)率最低應(yīng) （ ） A.低于5％ B.在5％～6％之間 C.在6％～8％之間 D.在8％以上 5．在的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則等于（ ） A.0 B. C. D. 6．求和：． 7．求證：當(dāng)且時(shí)，． 8．求的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng) 答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示： 3

4、. B 4. C 5. D 6. 7. (略) 8. 四、小結(jié) ：二項(xiàng)式定理體現(xiàn)了二項(xiàng)式的正整數(shù)冪的展開(kāi)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，涉及到二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)和系數(shù)的綜合問(wèn)題，只需運(yùn)用通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)條件進(jìn)行逐個(gè)節(jié)破，對(duì)于與組合數(shù)有關(guān)的和的問(wèn)題，賦值法是常用且重要的方法，同時(shí)注意二項(xiàng)式定理的逆用 1．已知展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，而 展開(kāi)式的系數(shù)的最大的項(xiàng)等于，求的值答案： 2．設(shè) 求：① ②．答案：①； ② 3．求值：．答案： 4．設(shè)，試求的展開(kāi)式中： （1）所有項(xiàng)的系數(shù)和；（2）所有偶次項(xiàng)

5、的系數(shù)和及所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和 答案：（1）； （2）所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和為；所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和為 七、教學(xué)反思： 二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時(shí)要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項(xiàng)式系數(shù)最大的才是中間項(xiàng)，而系數(shù)最大的不一定是中間項(xiàng)，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解決有關(guān)二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的問(wèn)題的重要手段。 二項(xiàng)式定理概念的引入，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么對(duì)一般情況；(a+b)n展開(kāi)后應(yīng)有什么規(guī)律，這里n∈N，這就是我們這節(jié)課“二項(xiàng)式定理”要研

6、究的內(nèi)容. 選擇實(shí)驗(yàn)歸納的研究方式，對(duì)(a+b)n一般形式的研究與求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式有些類似，大家想想，求an時(shí)我們用了什么方法，學(xué)生：先寫(xiě)出前n項(xiàng)，再觀察規(guī)律，猜測(cè)其表達(dá)式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明，老師：大家說(shuō)得很正確，現(xiàn)在我們用同樣的方式來(lái)研究(a+b)4的展開(kāi)，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我們可以用(a+b)3展開(kāi)的結(jié)論計(jì)算(a+b)4(由學(xué)生板演完成，體會(huì)計(jì)算規(guī)律)然后老師把計(jì)算過(guò)程總結(jié)為如下形式： (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4

7、ab3+b4. 對(duì)計(jì)算的化算：對(duì)(a+b)n展開(kāi)式中的項(xiàng)，字母指數(shù)的變化規(guī)律是十分明顯的，大家能說(shuō)出它們的規(guī)律嗎？學(xué)生：a的指數(shù)從n逐次降到0，b的指數(shù)從0逐次升到n，老師：大家說(shuō)的很對(duì)，這樣一來(lái)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)就是從0到n的(n+1) 項(xiàng)了，但唯獨(dú)系數(shù)規(guī)律還是“猶抱琵琶半遮面”使我們難以發(fā)現(xiàn)，但我們?nèi)钥捎脕?lái)表示，它這樣一來(lái)(a+b)n的展開(kāi)形式就可寫(xiě)成(a+b)n=現(xiàn)在的問(wèn)題就是要找的表達(dá)形式.為此我們要采用抽象分析法來(lái)化簡(jiǎn)計(jì)算 1．（xx年江蘇卷）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，則的值為（B） A． B． C． D．

8、 2．（xx年湖北卷）如果 的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值為(B) A.3 B.5 C.6 D.10 【分析】：， ，（）。. 3．（xx年江西卷）已知展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，則等于（　C?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4．（xx年全國(guó)卷I）的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為，則（ D ） A． B． C． D． 5．（xx年全國(guó)卷Ⅱ）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 ．（用數(shù)字作答） 6．（xx年天津卷）若的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為，則　2?。ㄓ脭?shù)字作答）． 7．

9、（xx年重慶卷）若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（ B ） A10 B.20 C.30 D.120 8．（xx年安徽卷）若(2x3+)a的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),則最小的正整數(shù)n等于 7 . 9．（xx年湖南卷）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第次全行的數(shù)都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是 32 ． 第1行　　　　　 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 圖1