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1、2022年高三數(shù)學專題復習 中檔題滿分練（1）理
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且2cos2cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求B和c.
2．(xx·金華模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋3|x－a|(a>0，記f(x)在[－1，1]上的最小值為g(a)．
(1)求g(a)的表達式；
(2)若對x∈[－1，1]，恒有f(x)≤g(a)＋m成立，求實數(shù)m的取值范圍．
3.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于點F，F(xiàn)E∥CD，
2、且交PD于點E.
(1)證明：CF⊥平面ADF；
(2)求二面角D－AF－E的余弦值．
4．(xx·濟南模擬)已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝，且滿足2Sn＋1＝4Sn＋1(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)當1≤i≤n，1≤j≤n(i，j，n均為正整數(shù))，求如下圖所示ai和aj的所有可能的乘積aiaj之和．
a1a1，a1a2，a1a3，…，a1an
a2a1，a2a2，a2a3，…，a2an
…
ana1，ana2，ana3，…，anan
中檔題滿分練(一)
1． 解 (1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B
3、－cos B＝－，得
[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－.
即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，則cos(A－B＋B)＝－.因此，cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0＜A＜π，得sin A＝，
由正弦定理，有＝，a＝4，b＝5，
所以sin B＝＝.
由題知a＞b，則A＞B，故B＝.
根據(jù)余弦定理有(4)2＝52＋c2－2×5c×，整理得c2＋6c－7＝0，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．
2．解 (1)f(x)＝
∵a>0，－1≤x≤1，
①0
4、1]上遞增，則g(a)＝f(a)＝a2；
②a>1時，f(x)在上遞減，則g(a)＝f(1)＝3a－2.
則有g(a)＝
(2)令h(x)＝f(x)－g(a)，
①01時，g(a)＝3a－2，h(x)＝x2－3x＋2≤h(－1)＝6，
綜上可得，h(x)＝f(x)－g(a)在a>0，－1≤x≤1上的最大值為6.
5、
即有h(x)≤m恒成立，即m≥6.
則m的取值范圍是[6，＋∞)．
3．(1)證明 ∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD.
在正方形ABCD中，CD⊥AD，PD∩CD＝D，
∴AD⊥平面PCD，則AD⊥PC.
又AF⊥PC，AF∩AD＝A，
∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF.
(2)解 設AB＝1，則Rt△PDC中，CD＝1，又∠DPC＝30°，
∴PC＝2，PD＝，由(1)知CF⊥DF.∴DF＝，
AF＝＝.
∴CF＝＝，
又FE∥CD，
∴＝＝，則DE＝.
同理EF＝CD＝.
如圖所示，以D為原點，建立空間直角坐標系，則A(
6、0，0，1)，E，F(xiàn)，P(，0，0)，C(0，1，0)．
設m＝(x，y，z)是平面AEF的法向量，則又所以令x＝4，則z＝，m＝(4，0，)．
由(1)知平面ADF的一個法向量＝(－，1，0)．
設二面角D－AF－E的平面角為θ，可知θ為銳角．
cos θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝.
∴二面角D－AF－E的余弦值為.
4．解 (1)∵2Sn＋1＝4Sn＋1(n∈N*)，
∴2Sn＝4Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)．
兩式相減，得an＋1＝2an，即＝2(n≥2)．
由2S2＝4S1＋1，得2(a1＋a2)＝4a1＋1，
又a1＝，∴a2＝1，則＝2，
因此數(shù)列{an}是首項為，公比為2的等比數(shù)列．
所以an＝a1·qn－1＝×2n－1＝2n－2.
(2)由(1)知，aiaj＝2i＋j－4(1≤i，j≤n)．則構成的圖表為：
21＋1－4，21＋2－4，21＋3－4，…，21＋n－4
22＋1－4，22＋2－4，22＋3－4，…，22＋n－4
23＋1－4，23＋2－4，23＋3－4，…，23＋n－4
……
2n＋1－4，2n＋2－4，2n＋3－4，…，2n＋n－4
設上表第一行的和為T1，則T1＝＝(2n－1)．
故各項的和T＝T1(1＋2＋22＋…＋2n－1)
＝(2n－1)·＝(2n－1)2.
2022年高三數(shù)學專題復習 中檔題滿分練（1）理
