2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1.掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的常用方法與技巧2.理解貝努利不等式3能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列、三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行不等式的證明,學(xué)生用書P57)1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN，且kn0)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立由可知命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)在第二步(同時(shí)也是難點(diǎn)所在)，即假設(shè)f(k)g(k)成立，證明f(k1)g(k1)成立2貝努利不等式(1)定義：如果x是實(shí)數(shù)，且x1，x0，n為大于1

2、的自然數(shù)，那么有(1x)n1nx(2)貝努利不等式的一般形式當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足1或1)；當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足01)1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN)”，第一步的驗(yàn)證為2111212.()(2)設(shè)x1，且x0，n為大于1的自然數(shù)，則(1x)n”，當(dāng)n1時(shí)，不等式左邊的項(xiàng)為.()答案：(1)(2)(3)2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由nk遞推到nk1時(shí)不等式左邊應(yīng)()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)C增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D以上各種情況均不對(duì)答案：C3用數(shù)學(xué)歸納法證明：12(n2，nN)時(shí)第一步需要證明()A12B12C12D12答案：C4用數(shù)學(xué)歸納法

3、證明“11)”時(shí)，由nk(k1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是_解析：左邊的特點(diǎn)：分母逐項(xiàng)增加1，末項(xiàng)為；由nk，末項(xiàng)為到nk1，末項(xiàng)為，所以應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k.答案：2k用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)函數(shù)中的不等關(guān)系學(xué)生用書P58已知f(x).對(duì)于nN，試比較f()與的大小并說明理由【解】據(jù)題意f(x)1，所以f()1，又1，所以要比較f()與的大小，只需比較2n與n2的大小即可，當(dāng)n1時(shí)，212121，當(dāng)n2時(shí)，22422，當(dāng)n3時(shí)，2385225，當(dāng)n6時(shí)，26646236.故猜測(cè)當(dāng)n5(nN)時(shí)，2nn2，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明(1)當(dāng)n5時(shí)，命題顯然成立(2)假設(shè)nk(k5，且

4、kN)時(shí)，不等式成立即2kk2(k5)，則當(dāng)nk1時(shí)，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2，(k1)22)由(1)(2)可知，對(duì)一切n5，nN，2nn2成立綜上所述，當(dāng)n1或n5時(shí)，f()；當(dāng)n2或4時(shí)，f()；當(dāng)n3時(shí)，f().利用數(shù)學(xué)歸納法解決比較大小問題的方法利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小，關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系，猜測(cè)出證明的方向，再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立 已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，an1f(an1)試比較與1的大小，并說明理由解：231，由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：當(dāng)n1時(shí)，a12111，

5、猜想成立；假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)猜想成立，即ak2k1，則當(dāng)nk1時(shí)，由g(x)(x1)21在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1時(shí)，猜想也成立由，知，對(duì)任意nN*，都有an2n1，即1an2n.所以.所以12n1.當(dāng)n2時(shí)，左邊9，右邊5，左邊右邊，不等式成立假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)，3k2k1，則nk1時(shí)，3k133k3(2k1)6k32(k1)1，所以nk1時(shí)不等式成立根據(jù)可知：當(dāng)n2時(shí)，3n2n1.綜上可知，3n2n1對(duì)于nN*成立，所以(3n1)WnnWn1(nN*)利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形為了滿足題目的要求，常

6、常要采用“放”與“縮”等手段，但是放縮要有度，這是一個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難點(diǎn)一是要仔細(xì)觀察題目結(jié)構(gòu)，二是要用分析法找到放縮的結(jié)果，才能順利地證題 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1，an2SnSn10(n2)(1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明SSS(n1且nN)解：(1)是等差數(shù)列，證明如下：S1a1，所以2.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.所以2.故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，S，不等式成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，不等式成立，即SSS成立，則當(dāng)nk1時(shí)，SSSS1nx成立的兩個(gè)條件：nN且n2；x的取值范圍是x1且x0.于是

7、有命題：當(dāng)nN且n2時(shí)不等式(1x)n1nx對(duì)一切x(1，0)(0，)恒成立(2)常用特例：當(dāng)x1且x0時(shí)，(1x)212x；當(dāng)x1且x0時(shí)，(1x)313x.【規(guī)范解答】歸納猜想證明(本題滿分12分)設(shè)f(n)nn1，g(n)(n1)n，nN.(1)當(dāng)n1，2，3，4時(shí)，比較f(n)與g(n)的大??；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論，并加以證明【解】(1)當(dāng)n1時(shí)，nn11，(n1)n2，此時(shí)，nn1(n1)n，當(dāng)n2時(shí)，nn18，(n1)n9，此時(shí)，nn1(n1)n，當(dāng)n4時(shí)，nn11 024，(n1)n625，此時(shí)，nn1(n1)n.(2分)(2)根據(jù)上述結(jié)論，我們猜想：當(dāng)n3時(shí)

8、，nn1(n1)n(nN*)恒成立(4分)證明如下：當(dāng)n3時(shí)，nn13481(n1)n4364，即nn1(n1)n成立(5分)假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN)時(shí)，kk1(k1)k成立，即1，(6分)則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)(k1)1，(10分)即(k1)k2(k2)k1成立，即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立，(11分)所以當(dāng)n3時(shí)，nn1(n1)n(nN)恒成立(12分)歸納猜想證明的思想方法數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納猜想證明”這一基本思想方法中一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，形成“觀察歸納猜想證明”的思想方法1用數(shù)學(xué)歸納法證明：12(n2，nN)證明：當(dāng)n2時(shí)，12，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN)時(shí)不等式成立，即12，當(dāng)nk1時(shí)，12222，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由知原不等式在n2且nN時(shí)均成立2已知m，n為正整數(shù)，對(duì)于n6，已知，利用貝努利不等式求證：0，于是，m1，2，n.9