2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何能力訓(xùn)練 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何能力訓(xùn)練 理1(2018高考全國(guó)卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PEBF.(1)證明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值解析：(1)證明：由已知可得BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)如圖，作PHEF，垂足為H.由(1)得，PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2

2、，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以PEPF.所以PH，EH.則H(0,0,0)，P，D，.又為平面ABFD的法向量，設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則sin .所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.2(2018長(zhǎng)春模擬)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)(1)證明：PB平面ACE；(2)設(shè)PA1，ABC60，三棱錐EACD的體積為，求二面角DAEC的余弦值解析：(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE(圖略)在PBD中，PEDE，BODO，所以PBOE.又OE平面ACE，PB平面ACE，所以PB平面ACE.(2)由題易知VPABCD2VPA

3、CD4VEACD，設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則VPABCDSABCDPA(2a2)1，則a.取BC的中點(diǎn)為M，連接AM，則AMAD.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y 軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，E(0，)，C(，0)，(0，)，(，0)，設(shè)n1(x，y，z)為平面AEC的法向量，則即取x1，則n1(1，3)為平面AEC的一個(gè)法向量又易知平面AED的一個(gè)法向量為n2(1,0,0)，所以cosn1，n2，由圖易知二面角DAEC為銳二面角，所以二面角DAEC的余弦值為.3(2018高考全國(guó)卷)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，

4、O為AC的中點(diǎn)(1)證明：PO平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角MPAC為30，求PC與平面PAM所成角的正弦值解析：(1)證明：因?yàn)镻APCAC4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PAC，且OP2.如圖，連接OB.因?yàn)锳BBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC，OBACO，得PO平面ABC.(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)取平面PAC的一個(gè)法向量(2,0,0)設(shè)M

5、(a,2a,0)(0a2)，則(a,4a,0)設(shè)平面PAM的法向量為n(x，y，z)由n0，n0得可取ya，得平面PAM的一個(gè)法向量為n(a4)，a，a)，所以cos ，n.由已知可得|cos，n|cos 30，所以，解得a4(舍去)或a.所以n.又(0,2，2)，所以cos，n.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.4(2018青島模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BCA45，APADAC2，E為PA的中點(diǎn)(1)設(shè)平面PAB平面PCDl，求證：CDl；(2)求二面角BCED的余弦值解析：(1)證明：在四邊形ABCD中，ACAD，ADAC2，ACD45，B

6、CA45，BCDBCAACD90，即DCBC.又ABBC，ABCD.AB平面PAB，CD平面PAB，CD平面PAB.CD平面PCD，平面PAB平面PCDl，CDl.(2)PA平面ABCD，ACAD，以A為原點(diǎn)，以AD所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，AP所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,2)，E(0,0,1)，D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,1,0)，設(shè)平面DCE的法向量為n1(x1，y1，z1)，(0，2,1)，(2,0,1)，由得，令x11，則y11，z12，n1(1,1,2)是平面DCE的一個(gè)法向量設(shè)平面BCE的法向量為n2(x2，y2，z2)，(1,1,0)，(0，2,1)，由得，令x21，則y21，z22，n2(1，1，2)是平面BCE的一個(gè)法向量則cosn1，n2，又二面角BCED為鈍角，二面角BCED的余弦值為.