（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 2 第2講 一元二次不等式及其解法教學(xué)案

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1、第2講一元二次不等式及其解法1一元一次不等式axb(a0)的解集(1)當(dāng)a0時(shí)，解集為；(2)當(dāng)a000)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xx2疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個(gè)根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.()(5)若

2、二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向下，則不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修5P80A組T4改編)已知全集UR，集合Ax|x2x60，B，那么集合A(UB)_解析：因?yàn)锳x|2x3，Bx|x1或x4，故UBx|1x0，令3x22x20，得x1，x2，所以3x22x20的解集為.答案：易錯(cuò)糾偏(1)解不等式時(shí)，變形必須等價(jià)；(2)忽視二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；(3)對系數(shù)的討論，忽視二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況；(4)解分式不等式時(shí)，忽視分母的符號(hào)1不等式2x(x7)3(x7)的解集為_解析：2x(x7)3(x7)2x(x7)3(x7)0(x7)(2x3

3、)0，解得x7，所以，原不等式的解集為.答案：2不等式x23x40的解集為_(用區(qū)間表示)解析：由x23x40可知，(x4)(x1)0.得4x1.答案：(4，1)3對于任意實(shí)數(shù)x，不等式mx2mx10恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：當(dāng)m0時(shí)，mx2mx110，不等式恒成立；當(dāng)m0時(shí)，由解得4m0.綜上，m的取值范圍是(4，0答案：(4，04不等式1的解集是_解析：10x1或x1或x3.【解】(1)不等式兩邊同乘以1，原不等式可化為x22x30.方程x22x30的解為x13，x21.而yx22x3的圖象開口向上，可得原不等式x22x30的解集是x|3x1(2)由題意或解得x1.故原不等式的解

4、集為x|x1角度二解含參數(shù)的一元二次不等式 (分類討論思想)解關(guān)于x的不等式：12x2axa2(aR)【解】因?yàn)?2x2axa2，所以12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.當(dāng)a0時(shí)，0，解集為x|xR，且x0；當(dāng)a，解集為.綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|xR，且x0；當(dāng)a0的解集是，則不等式x2bxa0的解集是_【解析】由題意知，是方程ax2bx10的兩個(gè)根，且a0，所以解得即不等式x2bxa0為x25x60，解得x3或x2.【答案】x|x3或x2(1)解一元二次不等式的方法和步驟(2)解含參數(shù)的一元二次不等式

5、的步驟二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式判斷相應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式 1若集合A，Bx|x22x，則AB()Ax|0x1Bx|0x1Cx|0x1 Dx|0x1解析：選A.因?yàn)锳x|0x1，Bx|x22xx|0x2，所以ABx|0x1，故選A.2不等式0x2x24的解集為_解析：原不等式等價(jià)于即即解得借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為x|2x1或2x3答案：2，1)(2，33已知不等式ax23x64的解集為x|x1或xb(1)求a，b；(

6、2)解不等式0(c為常數(shù))解：(1)由題知1，b為方程ax23x20的兩根，即所以a1，b2.(2)不等式等價(jià)于(xc)(x2)0，當(dāng)c2時(shí)，解集為x|xc或x2；當(dāng)c2時(shí)，解集為x|x2或xc；當(dāng)c2時(shí)，解集為x|x2一元二次不等式恒成立問題(高頻考點(diǎn))一元二次不等式恒成立問題是每年高考的熱點(diǎn)，題型多為選擇題和填空題，難度為中檔題主要命題角度有：(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)確定參數(shù)的范圍；(2)形如f(x)0(f(x)0)(xa，b)確定參數(shù)的范圍；(3)形如f(x)0(f(x)0)(參數(shù)ma，b)確定x的范圍角度一形如f(x)0(f(x)0)(xR)確定參數(shù)的范圍 若關(guān)于x的

7、不等式ax22x20在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為2x20，其解集不為R，故a0不滿足題意，舍去；當(dāng)a0時(shí)，要使原不等式的解集為R，只需解得a.綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】角度二形如f(x)0(f(x)0)(xa，b)確定參數(shù)的范圍 若不等式(aa2)(x21)x0對一切x(0，2恒成立，則a的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】因?yàn)閤(0，2，所以a2a.要使a2a在x(0，2時(shí)恒成立，則a2a，由基本不等式得x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立，即.故a2a，解得a或a.【答案】C角度三形如f(x)0(f(x)0)(參數(shù)ma，b)確定x的范圍 已知

8、a1，1，不等式x2(a4)x42a0恒成立，則x的取值范圍為_【解析】把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)(x2)a(x24x4)，則由f(a)0對于任意的a1，1恒成立，易知只需f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，聯(lián)立方程解得x1或x3.【答案】x|x1或x3(1)不等式恒成立問題的求解方法一元二次不等式在R上恒成立確定參數(shù)的范圍時(shí)，結(jié)合一元二次方程，利用判別式來求解一元二次不等式f(x)0在xa，b上恒成立確定參數(shù)范圍時(shí)，要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，讓最小值大于等于0，從而求參數(shù)的范圍一元二次不等式對于參數(shù)ma，b恒成立確定x的范圍，要注意變換主元，一般地，知

9、道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)(2)三個(gè)“二次”間的轉(zhuǎn)化二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱三個(gè)“二次”，解決此類問題首先采用轉(zhuǎn)化思想，把方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題借助于函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題 1若函數(shù)y的定義域?yàn)镽，則m的取值范圍是_解析：要使y有意義，即mx2(1m)xm0對xR恒成立，則解得m.答案：m2若關(guān)于x的不等式4x2x1a0在1，2上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：因?yàn)椴坏仁?x2x1a0在1，2上恒成立，所以4x2x1a在1，2上恒成立令y4x2x1(2x)222x11(2x1)21.因?yàn)?x2，所以22x4.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知

10、：當(dāng)2x2，即x1時(shí)，y取得最小值0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0答案：(，0一元二次不等式的應(yīng)用 某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元輛，出廠價(jià)為12萬元輛，年銷售量為10 000輛本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為x(0x1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(出廠價(jià)投入成本)年銷售量(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【解】(1)由題意得y12(10.75x)10(1x)10

11、000(10.6x)(0x1)，整理得y6 000x22 000x20 000(0x1)(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須有即解得0x0的解集為x|2x0(a0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2bxc0的根(如本例)，也是函數(shù)yax2bxc與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (2)二次函數(shù)yax2bxc的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化設(shè)a，b是關(guān)于x的一元二次方程x22mxm60的兩個(gè)實(shí)根，則(a1)2(b1)2的最小值是()AB18C8 D6解析：選C.因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次

12、方程x22mxm60的兩個(gè)根為a，b，所以且4(m2m6)0，解得m3或m2.所以y(a1)2(b1)2(ab)22ab2(ab)24m26m104.由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)m3時(shí)，函數(shù)y4m26m10取得最小值，最小值為8.故選C.基礎(chǔ)題組練1設(shè)集合Ax|32x13，集合B為函數(shù)ylg(x1)的定義域，則AB()A(1，2)B1，2C1，2) D(1，2解析：選D.A1，2，B(1，)，AB(1，22若不等式ax2bx20時(shí)，x2x2，所以0x1.，由得原不等式的解集為x|1x1法二：作出函數(shù)yf(x)和函數(shù)yx2的圖象，如圖，由圖知f(x)x2的解集為1，14(2020寧波效實(shí)中學(xué)模擬)不等

13、式x22x對任意a，b(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(2，0) B(，2)(0，)C(4，2) D(，4)(2，)解析：選C.不等式x22x對任意a，b(0，)恒成立，等價(jià)于x22x，由于2 8(當(dāng)且僅當(dāng)a4b時(shí)等號(hào)成立)，所以x22x8，解得4x2.5關(guān)于x的不等式x2(a1)xa0的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(4，5) B(3，2)(4，5)C(4，5 D3，2)(4，5解析：選D.原不等式可化為(x1)(xa)1時(shí)得1xa，此時(shí)解集中的整數(shù)為2，3，4，則4a5，當(dāng)a1時(shí)得ax1，則3ax(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(

14、x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x28對于實(shí)數(shù)x，當(dāng)且僅當(dāng)nxn1(nN*)時(shí)，xn，則關(guān)于x的不等式4x236x450的解集為_解析：由4x236x450，化為(2x3)(2x15)0，解得x，又當(dāng)且僅當(dāng)nx0的解集是.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求不等式ax25xa210的解集解：(1)由題意知a0，即2x25x30，解得3x0的解集為.12已知不等式ax2bxc0的解集為(1，t)，記函數(shù)f(x)ax2(ab)xc.(1)求證：函數(shù)yf(x)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；(2)若函數(shù)yf(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為m，n求|mn|的取值范圍解：(1)證明：由題意知abc0，且1.所以a0且1，所以

15、ac0.對于函數(shù)f(x)ax2(ab)xc有(ab)24ac0.所以函數(shù)yf(x)必有兩個(gè)不同零點(diǎn)(2)|mn|2(mn)24mn84.由不等式ax2bxc0的解集為(1，t)可知，方程ax2bxc0的兩個(gè)解分別為1和t(t1)，由根與系數(shù)的關(guān)系知t，所以|mn|2t28t4，t(1，)所以|mn|，所以|mn|的取值范圍為(，)綜合題組練1(2020金華市東陽二中高三調(diào)研)若關(guān)于x的不等式x2ax20在區(qū)間1，5上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B.C(1，) D(，1)解析：選A.由a280，知方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程必有一正根、一負(fù)根于是不等式在區(qū)間1，5上有

16、解的充要條件是f(5)0，解得a，故a的取值范圍為.2已知函數(shù)f(x)x2axb2b1(aR，bR)，對任意實(shí)數(shù)x都有f(1x)f(1x)成立，若當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)0恒成立，則b的取值范圍是()A(1，0)B(2，)C(，1)(2，)D不能確定解析：選C.由f(1x)f(1x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，即1，解得a2.又因?yàn)閒(x)開口向下，所以當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.3(2020杭州模擬)若不等式x2(a1)xa0的解集是4，3的子集，則a的取值范圍是_解析：原不等式即(

17、xa)(x1)0，當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為a，1，此時(shí)只要a4即可，即4a1時(shí)，不等式的解集為1，a，此時(shí)只要a3即可，即1a3.綜上可得4a3.答案：4，34不等式x28y2y(xy)對于任意的x，yR恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_解析：因?yàn)閤28y2y(xy)對于任意的x，yR恒成立，所以x28y2y(xy)0對于任意的x，yR恒成立，即x2yx(8)y20恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得，2y24(8)y2y2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.答案：8，45(2020杭州高級(jí)中學(xué)質(zhì)檢)設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc，函數(shù)F(x)f(x)x的兩個(gè)零點(diǎn)為m，n(m0的解集；(2)若a0，且0xmn0，即a(x1)(x2)0.當(dāng)a0時(shí)，不等式F(x)0的解集為x|x2；當(dāng)a0的解集為x|1x0，且0xmn，所以xm0.所以f(x)m0，即f(x)1；(2)對任意的b(0，1)，當(dāng)x(1，2)時(shí)，f(x)恒成立，求a的取值范圍解：(1)f(x)1x21|x1|或0x1.故不等式的解集為x|0x|xa|b(x)xab(x)或xa(b1)x或a(b1)x對任意x(1，2)恒成立所以a2b1或a(b2)對任意b(0，1)恒成立所以a1或a.15