2022年高中數(shù)學(xué)必修二（人教B版）：1-2-3《空間中的垂直關(guān)系》教案

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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修二（人教B版）：1-2-3空間中的垂直關(guān)系教案教學(xué)目標(biāo)1、掌握直線(xiàn)與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行論證和解決有關(guān)的問(wèn)題；2、掌握平面與平面垂直的概念和判定定理、性質(zhì)定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行推理論證和解決有關(guān)問(wèn)題；3、在研究垂直問(wèn)題時(shí)，要善于應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”和“降維”的思想，通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題獲得解決.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解空間中三種垂直關(guān)系的定義；掌握空間中三種垂直關(guān)系判定及性質(zhì)；用空間中三種垂直關(guān)系的定義、判定及性質(zhì)解決垂直問(wèn)題.難點(diǎn)：空間中三種垂直關(guān)系的判定及性質(zhì)綜合應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程一、課前預(yù)習(xí)1、空間中三種垂直關(guān)系是哪三

2、種？2、空間中三種垂直關(guān)系判定方法？3、列舉現(xiàn)實(shí)生活中的垂直關(guān)系.二、定義與判定方法1、直線(xiàn)與平面垂直的定義：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都垂直，那么就稱(chēng)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直.2、直線(xiàn)與平面垂直的判定常用方法有：判定定理： . b, aba；（線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理）,aa（面面平行性質(zhì)定理），=l，al，aa（面面垂直性質(zhì)定理）3、直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行.（ a，bab）直線(xiàn)和平面垂直時(shí)，那么該直線(xiàn)就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線(xiàn)（）4、點(diǎn)到平面的距離的定義： 從平面外一點(diǎn)引這個(gè)平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的距離

3、.特別注意：點(diǎn)到面的距離可直接向面作垂線(xiàn)，但要考慮垂足的位置，如果垂足的位置不能確定，往往采取由點(diǎn)向面上某一條線(xiàn)作垂線(xiàn)，再證明此垂足即為面的垂足.5、平面與平面垂直的定義及判定定理：（1）定義：如果兩個(gè)相交平面的交線(xiàn)與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線(xiàn)互相垂直，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.記作：平面平面（2）判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直.（簡(jiǎn)稱(chēng)：線(xiàn)面垂直，面面垂直）6、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面.（簡(jiǎn)稱(chēng)：面面垂直，線(xiàn)面垂直.）思維方式：判定兩相交平面垂直的常用方法是

4、：線(xiàn)面垂直，面面垂直；有時(shí)用定義也是一種辦法.三、典型例題例1、（1）對(duì)于直線(xiàn)m、n和平面、，的一個(gè)充分條件是（ ）A、mn，m，n B、mn，=m，nC、mn，n，m D、mn，n，m（2）設(shè)a、b是異面直線(xiàn)，給出下列命題：經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a有且僅有一個(gè)平面平行于直線(xiàn)b；經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a有且僅有一個(gè)平面垂直于直線(xiàn)b；存在分別經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a和b的兩個(gè)平行平面；存在分別經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a和b的兩個(gè)平面互相垂直.其中錯(cuò)誤的命題為（ ）A、與 B、與 C、與 D、僅（3）已知平面平面，m是內(nèi)一條直線(xiàn)，n是內(nèi)一條直線(xiàn)，且mn，那么，甲：m；乙：n丙：m或n；丁：m且n.這四個(gè)結(jié)論中，不正確的三個(gè)是（ ）解：（1）對(duì)于A，平面與

5、可以平行，也可以相交，但不垂直.對(duì)B，平面內(nèi)直線(xiàn)n垂直于兩個(gè)平面的交線(xiàn)m，直線(xiàn)n與平面不一定垂直，平面、也不一定垂直.對(duì)D，m，mn則n，又n，所以.只有C正確，mn，n則m又m，由平面與平面垂直的判定定理得.故選C.（2）正確，過(guò)a上任一點(diǎn)作b的平行線(xiàn)b，則ab確定唯一平面.錯(cuò)誤，假設(shè)成立則b該平面，而a該平面，ab，但a、b異面卻不一定垂直.正確，分別過(guò)a、b上的任一點(diǎn)作b、a的平行線(xiàn)，由各自相交直線(xiàn)所確定的平面即為所求.正確，換角度思考兩個(gè)垂直的平面內(nèi)各取一直線(xiàn)會(huì)出現(xiàn)各種異面形式，綜上所述：僅錯(cuò)誤 選D（3）丙正確.舉反例：在任一平面中作平行于交線(xiàn)的直線(xiàn)m（或n），在另一平面作交線(xiàn)的垂線(xiàn)

6、n（或m）即可推翻甲、乙、丁三項(xiàng).思維點(diǎn)撥：解決這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是注意這是在空間而非平面內(nèi).例2、如圖，ABCD 為直角梯形，DAB=ABC=90，AB=BC=a，AD=2a，PA平面ABCD.PA=a.（1）求證：PCCD.（2）求點(diǎn)B到直線(xiàn)PC的距離.（1）證明：取AD的中點(diǎn)E，連AC、CE，則ABCE為正方形，CED為等腰直角三角形， AC CD，PA平面ABCD，AC為PC在平面ABCD上的射影， PCCD （2）解：連BE，交AC于O，則BEAC，又BEPA，ACPA= A， BE平面PAC過(guò)O作OHPC于H，則BHPC，PA=a，AC=a,PC=a， OH=，BO=a，BH=即為所求.

7、例3、在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C底面ABC （1）若D是BC的中點(diǎn)，求證 ADCC1；（2）過(guò)側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線(xiàn)BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證 截面MBC1側(cè)面BB1C1C；（3）AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要條件嗎？請(qǐng)你敘述判斷理由.命題意圖：本題主要考查線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì). 知識(shí)依托：線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì).錯(cuò)解分析：（3）的結(jié)論在證必要性時(shí)，輔助線(xiàn)要重新作出.技巧與方法：本題屬于知識(shí)組合題類(lèi)，關(guān)鍵在于對(duì)題目中條件的思考與分析，掌握做此類(lèi)題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙地作輔助線(xiàn)

8、.（1）證明：AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，ADBC底面ABC側(cè)面BB1C1C，AD側(cè)面BB1C1CADCC1 （2）證明：延長(zhǎng)B1A1與BM交于N，連結(jié)C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1側(cè)面BB1C1C，C1N側(cè)面BB1C1C截面C1NB側(cè)面BB1C1C截面MBC1側(cè)面BB1C1C （3）解：結(jié)論是肯定的，充分性已由（2）證明，下面證必要性.過(guò)M作MEBC1于E，截面MBC1側(cè)面BB1C1CME側(cè)面BB1C1C，又AD側(cè)面BB1C1C MEAD，M、E、D、A共面AM側(cè)面BB1C1C，AMDECC1AD，DECC1D是

9、BC的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)AM=DE=AA1，AM=MA1即是截面的充要條件例4、如圖，在正三棱錐ABCD中，BAC=30，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點(diǎn)E、F、G、H （1）判定四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由 （2）設(shè)P是棱AD上的點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時(shí)，平面PBC平面EFGH，請(qǐng)給出證明 （1）證明：AD/面EFGH,面ACD面EFGHHG，AD面ACD AD/HG.同理EFHG，EFGH是平行四邊形ABCD是正三棱錐，A在底面上的射影O是BCD的中心，DOBC，ADBC，HGEH，四邊形EFGH是矩形 （2）作CPAD于P點(diǎn)，連結(jié)BP，ADBC，

10、AD面BCPHGAD，HG面BCP，HG面EFGH 面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP=30，AC=AB=a,AP=a 例5、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABC=90，2AB=BC=BB1=a，且A1CAC1=D，BC1B1C=E，截面ABC1與截面A1B1C交于DE.求證：（1）A1B1平面BB1C1C；（2）A1CBC1；（3）DE平面BB1C1C.證明：（1）三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，側(cè)面與底面垂直，即平面A1B1C1平面BB1C1C，又ABBC，A1B1B1C1從而A1B1平面BB1C1C.（2）由題設(shè)可知四邊形BB1C1C為正方

11、形，BC1B1C，而A1B1平面BB1C1C， A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂線(xiàn)定理得A1CBC1（3）直三棱柱的側(cè)面均為矩形，而D、E分別為所在側(cè)面對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，D為A1C的中點(diǎn)，E為B1C的中點(diǎn)，DEA1B1，而由（1）知A1B1平面BB1C1C，DE平面BB1C1C.思維點(diǎn)撥：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明線(xiàn)面垂直.四、小結(jié)1、直線(xiàn)與平面垂直是直線(xiàn)與平面相交的一種特殊情況，應(yīng)熟練掌握直線(xiàn)與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理，并能依據(jù)條件靈活運(yùn)用.2、注意線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直的關(guān)系和轉(zhuǎn)化.3、距離離不開(kāi)垂直，因此求距離問(wèn)題的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是論證線(xiàn)面關(guān)系（平行與垂直）與解三角形的過(guò)程，值得注

12、意的是“作、證、算、答”是立體幾何計(jì)算題不可缺少的步驟.在證明兩平面垂直時(shí)，一般方法是先從現(xiàn)有的直線(xiàn)中尋找平面的垂線(xiàn)；若沒(méi)有這樣的直線(xiàn)，則可通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)解決，而作輔助線(xiàn)則應(yīng)有理論根據(jù)并要有利于證明，不能隨意添加.在有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，使之轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“線(xiàn)線(xiàn)垂直”“線(xiàn)面垂直”，“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件和轉(zhuǎn)化應(yīng)用.五、課后反思在證明兩平面垂直時(shí)，一般方法是先從現(xiàn)有的直線(xiàn)中尋找平面的垂線(xiàn)；若沒(méi)有這樣的直線(xiàn)，則可通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)解決，而作輔助線(xiàn)則應(yīng)有理論根據(jù)并要有利于證明，不能隨意添加.在有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，使之轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“線(xiàn)線(xiàn)垂直”“線(xiàn)面垂直”，“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件和轉(zhuǎn)化應(yīng)用.六、課外作業(yè)課后練習(xí)A、B.