2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明練習(xí) 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明練習(xí) 文考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測(cè)熱度1.合情推理與演繹推理1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異2017課標(biāo)全國(guó),9;2017北京,14;2016課標(biāo)全國(guó),16;2016北京,8;2016山東,12選擇題、填空題、解答題2.直接證明與間接證明1.了解直接證明的兩種基本方法:分析法與綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)2.了解間接證明的一種基本方法:反證法;了解反證法

2、的思考過程、特點(diǎn)2016江蘇,20;2014山東,4;2013湖北,20分析解讀本部分是新課標(biāo)內(nèi)容,高考考查以下幾個(gè)方面:1.歸納推理與類比推理以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查學(xué)生的邏輯推理能力,而演繹推理多出現(xiàn)在立體幾何的證明中;2.直接證明與間接證明作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法,常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)為載體,考查綜合法、分析法及反證法.本節(jié)內(nèi)容在高考中的分值分配:歸納推理與類比推理分值為5分左右,屬中檔題;證明問題以解答題形式出現(xiàn),分值為12分左右,屬中高檔題.五年高考考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.(2016北京,8,5分)某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽

3、和決賽兩個(gè)階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī),其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位:次)63a7560637270a-1b65在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則()A.2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B.5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C.8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D.9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽答案B2.(2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);(

4、ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù);(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為;該小組人數(shù)的最小值為.答案6123.(2016課標(biāo)全國(guó),16,5分)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.答案1和34.(2016山東,12,5分)觀察下列等式:+=12;+=23;+=34;+=45;照此規(guī)律,+=.答案5.(2015陜西,16,5分)觀察下列等式1-=1-+-=

5、+1-+-+-=+據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.答案1-+-+-=+6.(2014課標(biāo),14,5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說(shuō):我去過的城市比乙多,但沒去過B城市;乙說(shuō):我沒去過C城市;丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為.答案A教師用書專用(711)7.(2014福建,16,4分)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三個(gè)關(guān)系:a2;b=2;c0有且只有一個(gè)正確,則100a+10b+c等于.答案2018.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格

6、點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖中ABC是格點(diǎn)三角形,對(duì)應(yīng)的S=1,N=0,L=4.(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S,N,L分別是;(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=(用數(shù)值作答).答案(1)3,1,6(2)799.(2013陜西,13,5分)觀察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.答案(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)10.(2014江西,21,1

7、4分)將連續(xù)正整數(shù)1,2,n(nN*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù),F(n)為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如n=12時(shí),此數(shù)為123 456 789 101 112,共有15個(gè)數(shù)字,F(12)=15),現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字,p(n)為恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)當(dāng)n2 014時(shí),求F(n)的表達(dá)式;(3)令g(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù),f(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù),h(n)=f(n)-g(n),S=n|h(n)=1,n100,nN*,求當(dāng)nS時(shí)p(n)的最大值.解析(1)當(dāng)n=100時(shí),這個(gè)數(shù)中總共有192個(gè)數(shù)字,其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11,所以恰好取到0的概率為p(100)=.(2)F(

8、n)=(3)當(dāng)n=b(1b9,bN*)時(shí),g(n)=0;當(dāng)n=10k+b(1k9,0b9,kN*,bN)時(shí),g(n)=k;當(dāng)n=100時(shí),g(n)=11,即g(n)=同理有f(n)=由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以當(dāng)n100時(shí),S=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.當(dāng)n=9時(shí),p(9)=0;當(dāng)n=90時(shí),p(90)=;當(dāng)n=10k+9(1k8,kN*)時(shí),p(n)=,由于y=關(guān)于k單調(diào)遞增,故當(dāng)n=10k+9(1k8,kN*)時(shí),p(n)的最大值為p(89)=.又,所以當(dāng)nS時(shí),p(n)的最大值為

9、.11.(2013江西,21,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=a為常數(shù)且a(0,1).(1)當(dāng)a=時(shí),求f;(2)若x0滿足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,則稱x0為f(x)的二階周期點(diǎn).證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn),并求二階周期點(diǎn)x1,x2;(3)對(duì)于(2)中的x1,x2,設(shè)A(x1, f(f(x1),B(x2, f(f(x2),C(a2,0),記ABC的面積為S(a),求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值.解析(1)當(dāng)a=時(shí), f=,f=f=2=.(2)f(f(x)=當(dāng)0xa2時(shí),由x=x解得x=0,因?yàn)閒(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a2xa時(shí),由(a-x)=x

10、解得x=(a2,a),因f=,故x=為f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)axa2-a+1時(shí),由(x-a)=x解得x=(a,a2-a+1),因f=,故x=不是f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a2-a+1x1時(shí),由(1-x)=x解得x=(a2-a+1,1),因f=,故x=為f(x)的二階周期點(diǎn).因此,函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn),x1=,x2=.(3)由(2)得A,B,則S(a)=,S(a)=,因?yàn)閍,a2+a0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3,因a(0,1),g(a)0,故對(duì)于任意a,g(a)=a3-2a2-2a+20,S(a)=0.則S(a)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故S(a

11、)在區(qū)間上的最小值為S=,最大值為S=.考點(diǎn)二直接證明與間接證明1.(2014山東,4,5分)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案A2.(2013四川,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=(aR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在b0,1使f(f(b)=b成立,則a的取值范圍是()A.1,eB.1,1+eC.e,1+eD.0,1答案A3.(2016江蘇,20,16分)記U=1,2,100.對(duì)數(shù)列

12、an(nN*)和U的子集T,若T=,定義ST=0;若T=t1,t2,tk,定義ST=+.例如:T=1,3,66時(shí),ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè)an(nN*)是公比為3的等比數(shù)列,且當(dāng)T=2,4時(shí),ST=30.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)任意正整數(shù)k(1k100),若T1,2,k,求證:ST0,nN*,所以STa1+a2+ak=1+3+3k-1=(3k-1)3k.因此,STak+1.(3)下面分三種情況證明.若D是C的子集,則SC+SCD=SC+SDSD+SD=2SD.若C是D的子集,則SC+SCD=SC+SC=2SC2SD.若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=CUD,F=DUC

13、,則E,F,EF=.于是SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,進(jìn)而由SCSD得SESF.設(shè)k為E中的最大數(shù),l為F中的最大數(shù),則k1,l1,kl.由(2)知,SEak+1.于是3l-1=alSFSEak+1=3k,所以l-1k,即lk.又kl,故lk-1.從而SFa1+a2+al=1+3+3l-1=,故SE2SF+1,所以SC-SCD2(SD-SCD)+1,即SC+SCD2SD+1.綜合得,SC+SCD2SD.教師用書專用(45)4.(2014天津,20,14分)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,

14、n.(1)當(dāng)q=2,n=3時(shí),用列舉法表示集合A;(2)設(shè)s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n.證明:若anbn,則st.解析(1)當(dāng)q=2,n=3時(shí),M=0,1,A=x|x=x1+x22+x322,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)證明:由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及anbn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1(q-1)+(q-1)q+(q-1)

15、qn-2-qn-1=-qn-1=-10.所以,st.5.(2013湖北,20,13分)如圖,某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無(wú)礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2d3.過AB,AC的中點(diǎn)M,N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個(gè)中截面,其面積記為S中.(1)證明:中截面DEFG是梯形;(2)在ABC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測(cè)三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方

16、的礦藏儲(chǔ)量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時(shí),可用近似公式V估=S中h來(lái)估算.已知V=(d1+d2+d3)S,試判斷V估與V的大小關(guān)系,并加以證明.解析(1)依題意A1A2平面ABC,B1B2平面ABC,C1C2平面ABC,所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2d3,因此四邊形A1A2B2B1,四邊形A1A2C2C1均是梯形.由AA2平面MEFN,AA2平面AA2B2B,且平面AA2B2B平面MEFN=ME,可得AA2ME,即A1A2DE.同理可證A1A2FG,所以DEFG.又M,N分別為AB,AC的中點(diǎn),則D,E,F,G分別為

17、A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中點(diǎn),即DE,FG分別為梯形A1A2B2B1,梯形A1A2C2C1的中位線.因此DE=(A1A2+B1B2)=(d1+d2),FG=(A1A2+C1C2)=(d1+d3),而d1d2d3,故DEFG,所以中截面DEFG是梯形.(2)V估V.證明如下:由A1A2平面ABC,MN平面ABC,可得A1A2MN.而EMA1A2,所以EMMN,同理可得FNMN.由MN是ABC的中位線,可得MN=BC=a,即為梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=(2d1+d2+d3),即V估=S中h=(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1

18、+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=(d2-d1)+(d3-d1).由d1d20,d3-d10,故V估2時(shí),(x+1)(x-1)0,f (x)=-3(x+1)(x-1)0.f(x)=-x3+3x在(2,+)內(nèi)是增函數(shù).考點(diǎn)二直接證明與間接證明6.(2018吉林三校聯(lián)考,4)用反證法證明“自然數(shù)a,b,c中至多有一個(gè)偶數(shù)”時(shí),假設(shè)原命題不成立,等價(jià)于()A.a,b,c中沒有偶數(shù)B.a,b,c中恰好有一個(gè)偶數(shù)C.a,b,c中至少有一個(gè)偶數(shù)D.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)答案D7.(2017山西大學(xué)附中第二次模擬,17)在等比數(shù)列an中,a3=,S3=.(1)求

19、數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log2,且bn為遞增數(shù)列,若cn=,求證:c1+c2+c3+cn.解析(1)設(shè)an的公比為q(q0).a3=,S3=,或an=或an=6.(2)證明:由題意知bn=log2=log2=log222n=2n,cn=,c1+c2+c3+cn=-.8.(2016河南南陽(yáng)期中,18)已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1)(nN*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)證明+1.解析(1)設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an-1)的公差為d.由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,故d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)1

20、=n,即an=2n+1.(2)證明:因?yàn)?,所以+=+=1-0(i=1,2,3,n),觀察下列不等式:;照此規(guī)律,當(dāng)nN*,n2時(shí),.答案三、解答題(共15分)4.(2017湖北華中師大一附中期中模擬,21)已知函數(shù)f(x)=ln x+.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)滿足f(x1)=f(x2)(x1x2),求證x1+x24.解析(1)f(x)=ln x+,f (x)=-=,x0,當(dāng)a0時(shí), f (x)0總成立;當(dāng)a0時(shí),令f (x)=0,得x=a.當(dāng)x(0,a)時(shí), f (x)0.綜上所述,當(dāng)a0時(shí), f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)a0時(shí), f(x)在(0,

21、a)上單調(diào)遞減,在(a,+)上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a=2時(shí), f(x)=ln x+.不妨令x1x10,要證明x1+x24,即證x24-x1.由(1)知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+)上單調(diào)遞增,則0x12,只需證f(x2)f(4-x1),又f(x1)=f(x2),即證f(x1)f(4-x1).設(shè)g(x)=f(x)-f(4-x)(0x2),則g(x)=ln x+-ln(4-x)-,則g(x)=-=g(2)=0,所以f(x)f(4-x)(0xf(4-x1).所以x1+x24.C組20162018年模擬方法題組方法1合情推理與演繹推理1.(2018廣東肇慶一模,14)觀察下列不等式:1+,

22、1+,1+,照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為.答案1+2.(2017上海浦東期中聯(lián)考,12)在RtABC中,兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,設(shè)h為斜邊上的高,則=+,由此類比:三棱錐P-ABC中的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直,且長(zhǎng)度分別為a、b、c,設(shè)棱錐底面ABC上的高為h,則.答案=+方法2直接證明的方法3.(2017皖南八校聯(lián)考,17)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,bn=,且a2b2=,S5=.(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)求證:b1+b2+bn.解析(1)設(shè)an的公差為d.bn=,a2b2=,S5=,解得an=n+,Sn=,bn=.(2)證明:b1+b2+bn=+=1-+-+-+-+-=-.