（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角函數(shù)學(xué)案 理

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1、第四章 三角函數(shù)、解三角形第一節(jié) 任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)本節(jié)主要包括3個知識點(diǎn)：1.角的概念；2.弧度制及其應(yīng)用；3.任意角的三角函數(shù).突破點(diǎn)(一)角的概念 1角的定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形2角的分類角的分類3終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合：S|k360，kZ或|2k，kZ1判斷題(1)第二象限角大于第一象限角()(2)三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角()(3)終邊在yx上的角構(gòu)成的集合可表示為.()答案：(1)(2)(3)2填空題(1)719是第_象限角，719是第_象限角答案：四一(2)所有與60終

2、邊相同的角構(gòu)成的集合為_答案：|60k360，kZ角的有關(guān)概念(1)要使角與角的終邊相同，應(yīng)使角為角與的偶數(shù)倍(不是整數(shù)倍)的和(2)注意銳角(集合為|090)與第一象限角(集合為|k36090k360，kZ)的區(qū)別，銳角是第一象限角，僅是第一象限角中的一部分，但第一象限角不一定是銳角典例(1)給出下列四個命題：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正確的命題有()A1個B2個C3個D4個(2)若是第二象限角，則一定不是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(3)在7200范圍內(nèi)所有與45終邊相同的角為_解析(1)是第三象限角，故錯誤；，從而是第三

3、象限角，故正確；40036040，從而正確；31536045，從而正確(2)2k2k，kZ，kZ.若k3n(nZ)，是第一象限角；若k3n1(nZ)，是第二象限角；若k3n2(nZ)，是第四象限角故選C.(3)所有與45有相同終邊的角可表示為：45k360(kZ)，則令72045k3600，得765k36045，解得k，從而k2或k1，代入得675或315.答案(1)C(2)C(3)675或315方法技巧確定(n2，nN*)終邊位置的方法步驟討論法(1)用終邊相同角的形式表示出角的范圍；(2)寫出的范圍；(3)根據(jù)k的可能取值討論確定的終邊所在位置等分象限角法已知角是第m(m1,2,3,4)象

4、限角，求是第幾象限角(1)等分：將每個象限分成n等份；(2)標(biāo)注：從x軸正半軸開始，按照逆時針方向順次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4，直至回到x軸正半軸；(3)選答：出現(xiàn)數(shù)字m的區(qū)域，即為的終邊所在的象限1若k360，m360(k，mZ)，則角與的終邊的位置關(guān)系是()A重合 B關(guān)于原點(diǎn)對稱C關(guān)于x軸對稱 D關(guān)于y軸對稱解析：選C角與終邊相同，與終邊相同又角與的終邊關(guān)于x軸對稱角與的終邊關(guān)于x軸對稱2集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是()解析：選C當(dāng)k2n(nZ)時，2n2n，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)k2n1(nZ)時，2n2n，此時表示的范圍與表示的范圍一樣比較各選項(xiàng)，可知選C.3若角是第

5、二象限角，則是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角解析：選C是第二象限角，2k2k，kZ，k0，則在第一象限內(nèi)()(3)0，則sin ”、“”或“”)sin _cos ；sin _cos ；sin _tan .答案：三角函數(shù)值的符號例1(1)若sin tan 0，且0，cos 30，故sin 2cos 3tan 41，則角的終邊在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析：選B由已知得(sin cos )21，即12sin cos 1，sin cos cos ，所以sin 0cos ，所以角的終邊在第二象限2.(2018南昌二中模擬)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是

6、(2sin 2，2cos 2)，則sin ()Asin 2Bsin 2 Ccos 2Dcos 2解析：選D因?yàn)閞2，由任意三角函數(shù)的定義，得sin cos 2.3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(3，m)在角的終邊上，點(diǎn)N(2m，4)在角的終邊上，則m()A6或1B1或6C6D1解析：選A由題意得，tan ，tan，m6或1，故選A.4.(2018湖北百所重點(diǎn)校聯(lián)考)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,3)(x0)且cos x，則x()A1B C3D解析：選A由題意，得x，故x2910，解得x1.因?yàn)閤0，所以x1，故選A. 課時達(dá)標(biāo)檢測 小題對點(diǎn)練點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)對點(diǎn)練(一)角的概念1設(shè)角是第三象限角，且sin，則

7、角是第_象限角解析：由角是第三象限角，知2k2k(kZ)，則kk(kZ)，故是第二或第四象限角由sin知sin0，所以只能是第四象限角答案：四2與2 019的終邊相同，且在0360內(nèi)的角是_解析：2 0192195360，在0360內(nèi)終邊與2 019的終邊相同的角是219.答案：2193已知是第二象限的角，則180是第_象限的角解析：由是第二象限的角可得90k360180k360(kZ)，則180(180k360)180180(90k360)(kZ)，即k36018090k360(kZ)，所以180是第一象限的角答案：一對點(diǎn)練(二)弧度制及其應(yīng)用1(2018江西鷹潭期中)將表的分針撥慢10分鐘

8、，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是_解析：一個周角是2，因此分針10分鐘轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為2.答案：2(2018山東泰安月考)若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角(00時，cos ；當(dāng)t0時，rk，sin ，10sin 330；當(dāng)k0時，rk，sin ，10sin 330.綜上，10sin 0.2已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大小；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為，(1)由題意可得解得或或6.(2)法一：2rl8，S扇lrl2r224，當(dāng)且僅當(dāng)2rl，即2時，扇形面積取得最大值4

9、.圓心角2，弦長AB2sin 124sin 1.法二：2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，當(dāng)且僅當(dāng)r2，即2時，扇形面積取得最大值4.弦長AB2sin 124sin 1.3已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求終邊所在的象限；(3)試判斷 tansin cos的符號解：(1)由sin 0，知在第三、四象限或y軸的非正半軸上；由tan 0, 知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合為.(2)由2k2k，kZ，得kk，kZ，故終邊在第二、四象限(3)當(dāng)在第二象限時，tan 0，sin 0, cos 0，所以tan sin cos取正號；當(dāng)在第四象限時， tan0

10、，sin0, cos0，所以 tansincos也取正號因此，tansin cos 取正號第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式本節(jié)主要包括2個知識點(diǎn)：1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.突破點(diǎn)(一)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21(R)(2)商數(shù)關(guān)系：tan .2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表達(dá)式中含有sin ，cos 與tan “1”的變換1sin2cos2cos2(1tan2)(sin cos )22sin cos tan表達(dá)式中

11、需要利用“1”轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用關(guān)系式(sin cos )212sin cos 進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化表達(dá)式中含有sin cos 或sin cos 1判斷題(1)若，為銳角，則sin2cos21.()(2)若R，則tan 恒成立()答案：(1)(2)2填空題(1)已知，sin ，則tan _.解析：，sin ，cos ，tan .答案：(2)若cos ，則tan _.解析：由已知得sin ，所以tan 2.答案：2(3)已知tan 2，則的值為_解析：原式3.答案：3“知一求二”問題利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解問題的關(guān)鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正用、逆用、變形同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等

12、式，也可以看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組，通過解方程組達(dá)到解決問題的目的例1(1)已知cos k，kR，則sin()()AB.CDk(2)(2018廈門質(zhì)檢)若，sin ()，則tan ()AB. CD.解析(1)由cos k，得sin ，sin()sin ，故選A.(2)，sin ，cos ，tan .答案(1)A(2)C易錯提醒知弦求弦、切或知切求弦時要注意判斷角所在的象限，不要弄錯切、弦的符號知切求f(sin 、cos )值問題若已知正切值，求一個關(guān)于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于正切的

13、分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，這是同角三角函數(shù)關(guān)系中的一類基本題型例2(2018安徽江南十校聯(lián)考)已知tan ，則sin (sin cos )()A.B. C.D.解析sin (sin cos )sin2sin cos ，將tan 代入，得原式，故選A.答案Asin cos 與sin cos 關(guān)系的應(yīng)用例3已知x(，0)，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值解(1)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x.由x(，0)，知sin x0，co

14、s x0，則sin xcos x0，故sin xcos x.(2).方法技巧同角三角函數(shù)關(guān)系式的方程思想對于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個式子，知一可求二，若令sin cos t，則sin cos ，sin cos (注意根據(jù)的范圍選取正、負(fù)號)，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用1.若，sin ，則cos()()AB. C.D解析：選B因?yàn)?，sin ，所以，cos ，則cos().2.(2018河北衡水中學(xué)月考)已知tan 2，則sin2sin cos 2cos2()AB. CD.解析：選Dsin2sin cos 2cos2，把tan 2代入得，原式.故選D.3.(2017山東

15、濟(jì)南二模)已知sin cos ，0，則tan ()AB C.D.解析：選A將sin cos ，左右兩邊平方，得12sin cos ，即2sin cos 0，cos 0，(sin cos )212sin cos ，sin cos ，聯(lián)立解得sin ，cos ，則tan .4.(2018廈門質(zhì)檢)已知sin cos ，且，則cos sin 的值為()AB. CD.解析：選B，cos 0，sin 0且|cos |0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .5.已知tan ，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin22sin cos 的值解：(1).(2).(3)sin22

16、sin cos .突破點(diǎn)(二)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 組數(shù)一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_1判斷題(1)sin()sin 成立的條件是為銳角()(2)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱是否變化()答案：(1)(2)2填空題(1)如果sin(A)，那么cos的值是_解析：sin(A)，sin A.cossin A.答案：(2)已知tan，則tan_.解析：tantantantan.答案：(3)化簡：_.

17、解析：cos .答案：cos 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用1.利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了”2利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的要求(1)化簡過程是恒等變形；(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值典例(1)若f(x)tan x，則f的值為()A.B. CD(2)(2018山東煙臺期中)若sin，則cos()AB C.D.解析(1)由題意得f(x)tan xtan xtan xtan x，則f，故選A.(2)coscoscos12sin2.故選A.答案(1)A(2)A方法技巧應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡求值的常見問題及注意事項(xiàng)(

18、1)已知角求值問題關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應(yīng)用(2)對給定的式子進(jìn)行化簡或求值問題要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化特別要注意每一個角所在的象限，防止符號及三角函數(shù)名出錯1(2018唐山一模)已知sin，那么tan 的值為()AB CD解析：選Csin化為cos ，那么sin ，tan ，故選C.2已知atan，bcos ，csin，則a，b，c的大小關(guān)系為()AabcBbacCbcaDacb解析：選B由已知，atantan ，bcoscos ，csinsin ，因而

19、bac.3(2018廣東韶關(guān)六校聯(lián)考)已知，且cos ，則()A.BC.D解析：選C，且cos ，sin ，則.4已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是()A1，1,2，2B1,1 C2，2D1，1,0,2，2解析：選Ck為偶數(shù)時，A2；k為奇數(shù)時，A2.則A的值構(gòu)成的集合為2，25已知tan，則tan_.解析：tantantantan.答案：全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2017全國卷)已知sin cos ，則sin 2()AB C.D.解析：選A將sin cos 的兩邊進(jìn)行平方，得sin2 2sin cos cos2，即sin 2.2(2016全國卷)若tan ，則cos22sin 2(

20、)A.B. C1D.解析：選A因?yàn)閠an ，則cos22sin 2.故選A.3(2016全國卷)已知是第四象限角，且sin，則tan_.解析：由題意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos .則tantan.答案： 課時達(dá)標(biāo)檢測 小題對點(diǎn)練點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)對點(diǎn)練(一)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1若sin ，且為第四象限角，則tan 的值為()A.B C.D解析：選D因?yàn)闉榈谒南笙藿?，故cos ，所以tan .2(2018綿陽診斷)已知2sin 1cos ，則tan 的值為()AB. C或0D.或0解析：選D由2sin 1cos 得sin 0，且4sin212cos cos2，因而5cos22cos

21、 30，解得cos 或cos 1，那么tan 或0，故選D.3若sin cos ，則tan ()A.B C.D解析：選D由sin cos ，得12sin cos ，即sin cos ，則tan ，故選D.4(2017湖南衡陽二模)已知且sin cos a，其中a(0,1)，則tan 的可能取值是()A3B3或CD3或解析：選Csin cos a，兩邊平方可得2sin cos a21，由a(0,1)得sin cos 0，sin 0知|sin |0，則cos ，.答案：7(2018 湖北黃岡中學(xué)檢測)已知R，sin24sin cos 4cos2，則tan _.解析：sin24sin cos 4co

22、s2，3tan28tan 30，解得tan 3或.答案：3或?qū)c(diǎn)練(二)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1(2018廣州模擬)已知sin()cos(2)，|，則()AB C.D.解析：選Dsin()cos(2)，sin cos ，tan .|0，為第一或第二象限角當(dāng)為第一象限角時，cos ，則原式；當(dāng)為第二象限角時，cos ，則原式.2已知為第三象限角，f().(1)化簡f()；(2)若cos，求f()的值解：(1)f()cos .(2)cos，sin ，從而sin .又為第三象限角，cos ，f()cos .3(2017山西孝義二模)已知sin(3)2sin，求下列各式的值(1)；(2)sin2sin 2

23、.解：sin(3)2sin，sin 2cos ，即sin 2cos .(1)原式.(2)sin 2cos ，tan 2，原式.第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)本節(jié)主要包括2個知識點(diǎn)：1.三角函數(shù)的定義域和值域；2.三角函數(shù)的性質(zhì).突破點(diǎn)(一)三角函數(shù)的定義域和值域 三角函數(shù)正弦函數(shù)ysin x余弦函數(shù)ycos x正切函數(shù)ytan x圖象定義域RR值域1,11,1R最值當(dāng)且僅當(dāng)x2k(kZ)時，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x2k(kZ)時，取得最小值1當(dāng)且僅當(dāng)x2k(kZ)時，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x2k(kZ)時，取得最小值11判斷題(1)函數(shù)ysin x在x內(nèi)的最大值為1.()(2)函數(shù)ytan的定義

24、域?yàn)閤.()(3)函數(shù)y的定義域?yàn)閤，kZ.()答案：(1)(2)(3)2填空題(1)函數(shù)ytan的定義域?yàn)開答案：xk，kZ(2)函數(shù)yln的定義域?yàn)開答案：，kZ(3)函數(shù)y2cos x3在x的值域?yàn)開答案：3，1三角函數(shù)的定義域例1函數(shù)ylg(2sin x1)的定義域是_解析要使函數(shù)ylg(2sin x1)有意義，則即解得2kx2k，kZ.即函數(shù)的定義域?yàn)?，kZ.答案，kZ方法技巧三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解提醒解三角不等式時要注意周期，且kZ不可以忽略三角函數(shù)的值域(最值)例2(1)函數(shù)y2sin(0x9)

25、的最大值與最小值之和為()A2B0 C1D1(2)(2018廣東惠州一模)函數(shù)ycos 2x2sin x的最大值為()A.B1 C.D2解析(1)0x9，x，sin.y，2，ymaxymin2.(2)ycos 2x2sin x2sin2x2sin x1.設(shè)tsin x，則1t1，所以原函數(shù)可以化為y2t22t122，所以當(dāng)t時，函數(shù)y取得最大值為.故選C.答案(1)A(2)C方法技巧 三角函數(shù)值域或最值的三種求法直接法形如yasin xk或yacos xk的三角函數(shù)，直接利用sin x，cos x的值域求出化一法形如yasin xbcos xk的三角函數(shù)，化為yAsin(x)k的形式，確定x的

26、范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值)換元法形如yasin2xbsin xk的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin xcos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)1.函數(shù)y 的定義域?yàn)?)A.B.(kZ)C.(kZ)D(，)解析：選C要使函數(shù)有意義，則cos x0，即cos x，解得2kx2k，kZ.2.函數(shù)ylg(sin 2x)的定義域?yàn)開解析：由得3x或0x0)的最小正周期為，則_.答案：2(2)若函數(shù)f(x)sin(0,2)是偶函數(shù)，則_.解析：由已知f(x)sin是

27、偶函數(shù)，可得k，即3k(kZ)，又0,2，所以.答案：(3)函數(shù)f(x)2cos(x)(0)對任意x都有ff，則f等于_解析：由ff可知函數(shù)圖象關(guān)于直線x對稱，則在x處取得最值，f2.答案：2(4)函數(shù)ytan的單調(diào)遞減區(qū)間為_解析：因?yàn)閥tan x的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，所以由k2xk，得x0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_.解析(1)f(x)cos 2xacos12sin2xasin x在上是增函數(shù)，ysin x在上單調(diào)遞增且sin x.令tsin x，t，則y2t2at1在上單調(diào)遞增，則1，因而a(，4(2)f(x)sin x(0)過原點(diǎn)，當(dāng)0x，即0x時，ysin x是增函

28、數(shù)；當(dāng)x，即x時，ysin x是減函數(shù)由f(x)sin x(0)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減知，.答案(1)D(2)方法技巧 已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的三種方法子集法求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解反子集法由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解周期性法由所給區(qū)間的兩個端點(diǎn)到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解三角函數(shù)的周期性例3(1)(2017山西運(yùn)城二模)函數(shù)y|tan(2x)|的最小正周期是()A2B C.D.(2)(2016山東高考)函數(shù)f(x)(sin xcos x)(cos x

29、sin x)的最小正周期是()A.B C.D2解析(1)結(jié)合圖象及周期公式知T.(2)法一：f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)44sincos2sin，T.法二：f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)3sin xcos xcos2xsin2xsin xcos xsin 2xcos 2x2sin，T.故選B.答案(1)C(2)B方法技巧 三角函數(shù)周期的求解方法公式法(1)三角函數(shù)ysin x，ycos x，ytan x的最小正周期分別為2，2，；(2)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為圖象法利用三角函數(shù)圖象的特征

30、求周期如：相鄰兩最高點(diǎn)(最低點(diǎn))之間為一個周期，最高點(diǎn)與相鄰的最低點(diǎn)之間為半個周期三角函數(shù)的奇偶性例4已知函數(shù)f(x)sin(x) cos(x)是偶函數(shù)，則的值為()A0B. C.D.解析據(jù)已知可得f(x)2sin，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有k(kZ)，又由于，故有，解得，經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意答案B方法技巧與三角函數(shù)奇偶性相關(guān)的結(jié)論三角函數(shù)中，判斷奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，奇函數(shù)一般可化為yAsin x或yAtan x的形式，而偶函數(shù)一般可化為yAcos xb的形式常見的結(jié)論有：(1)若yAsin(x)為偶函數(shù)，則有k(kZ)；若為奇函數(shù)，則有k(kZ)(2)若yAcos(x)為偶函數(shù)，則有k(kZ)；若為奇函數(shù)，則有k(kZ)(3)若yAtan(x)為奇函數(shù)，則有k(kZ)