（通用版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第五章 平面向量學案 理

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1、第五章 平面向量第一節(jié) 平面向量的概念及線性運算本節(jié)主要包括2個知識點：1.平面向量的有關(guān)概念；2.平面向量的線性運算.突破點(一)平面向量的有關(guān)概念 名稱定義備注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為01判斷題(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向

2、線段來表示向量()(2) 若ab，bc，則ac.()(3)若向量a與b不相等，則a與b一定不可能都是零向量()答案：(1)(2)(3)2填空題(1)給出下列命題：若ab，bc，則ac；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；ab的充要條件是|a|b|且ab；其中正確命題的序號是_解析：正確ab，a，b的長度相等且方向相同，又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.不正確當ab且方向相反時，即使|a|b|，也不

3、能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號是.答案：(2)若a、b都為非零向量，則使0成立的條件是_答案：a與b反向共線平面向量的有關(guān)概念典例(1)(2018海淀期末)下列說法正確的是()A長度相等的向量叫做相等向量B共線向量是在同一條直線上的向量C零向量的長度等于0D就是所在的直線平行于所在的直線(2)(2018棗莊期末)下列命題正確的是()A若|a|b|，則abB若|a|b|，則abC若ab，則abD若|a|0，則a0解析(1)長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；方向相同或相反的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直

4、線上，故B不正確；顯然C正確；當時，所在的直線與所在的直線可能重合，故D不正確(2)對于A，當|a|b|，即向量a，b的模相等時，方向不一定相同，故ab不一定成立；對于B，向量的?？梢员容^大小，但向量不可以比較大小，故B不正確；C顯然正確；對于D，若|a|0，則a0，故D不正確，故選C.答案(1)C(2)C易錯提醒(1)兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小；(2)大小與方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征；(3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上1給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；a0(為實數(shù))，則必為零；

5、，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯誤的命題的個數(shù)為()A0B1 C2D3解析：選D錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點錯誤，當a0時，不論為何值，a0.錯誤，當0時，ab0，此時，a與b可以是任意向量錯誤的命題有3個，故選D.2關(guān)于平面向量，下列說法正確的是()A零向量是唯一沒有方向的向量B平面內(nèi)的單位向量是唯一的C方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量D共線向量就是相等向量解析：選C對于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；對于B，單位向量的模為1，其方向可以是任意方向，故B不正確；對于C，方向相反的向量一定是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量，故

6、C正確；對于D，由共線向量和相等向量的定義可知D不正確，故選C.3.如圖，ABC和ABC是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形，設(shè)ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為的若干個向量，則(1)與向量相等的向量有_；(2)與向量共線，且模相等的向量有_；(3)與向量EA共線，且模相等的向量有_解析：向量相等向量方向相同且模相等向量共線表示有向線段所在的直線平行或重合答案：(1) ， (2) ， ， ，(3) ， ， ， 突破點(二)平面向量的線性運算 1向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算 交換律：abba；結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和

7、的運算aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算|a|a|，當0時，a與a的方向相同；當0時，a與a的方向相反；當0時，a0( a)( )a；()aaa；(ab)ab2.平面向量共線定理向量b與a(a0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得ba.1判斷題(1)ab是ab(R)的充要條件()(2)ABC中，D是BC的中點，則()()答案：(1)(2)2填空題(1)化簡：_._.答案：0(2)若菱形ABCD的邊長為2，則|_.解析：|2.答案：2(3)在ABCD中，a，b， 3，則_(用a，b表示)答案：ab平面向量的線性運算應用平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算的法則即可注意加法的三角形法則要求“首

8、尾相接”，加法的平行四邊形法則要求“起點相同”；減法的三角形法則要求“起點相同”且差向量指向“被減向量”；數(shù)乘運算的結(jié)果仍是一個向量，運算過程可類比實數(shù)運算例1(1)(2018河南中原名校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E為BC邊上一點，3，F(xiàn)為AE的中點，則()A.B.C D(2)(2018深圳模擬)如圖所示，正方形ABCD中，M是BC的中點，若，則()A. B.C.D2解析(1)()().(2)因為()()()()，且，所以得所以，故選B.答案(1)C(2)B方法技巧1平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到

9、三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解2利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式(3)比較、觀察可知所求平面向量共線定理的應用求解向量共線問題的注意事項(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線(3)直線的向量式參數(shù)方程

10、：A，P，B三點共線(1t)t (O為平面內(nèi)任一點，tR)例2(1)(2017蕪湖二模)已知向量a，b是兩個不共線的向量，若向量m4ab與nab共線，則實數(shù)的值為()A4B C.D4(2)(2018懷化一模)已知向量a，b不共線，向量a3b，5a3b，3a3b，則()AA，B，C三點共線BA，B，D三點共線CA，C，D三點共線DB，C，D三點共線解析(1)因為向量a，b是兩個不共線的向量，所以若向量m4ab與nab共線，則4()11，解得，故選B.(2)因為2a6b2(a3b)2，所以，共線，又有公共點B，所以A，B，D三點共線故選B.答案(1)B(2)B方法技巧平面向量共線定理的三個應用證明

11、向量共線對于非零向量a，b，若存在實數(shù)，使ab，則a與b共線證明三點共線若存在實數(shù)，使，與有公共點A，則A，B，C三點共線求參數(shù)的值利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值提醒證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點1. (2018長春一模)在梯形ABCD中，3，則()A BC D解析：選A因為在梯形ABCD中，3，所以，故選A.2.已知a，b是不共線的向量，ab，ab，R，則A，B，C三點共線的充要條件為()A2B1C1D1解析：選DA，B，C三點共線，設(shè)m(m0)，則abm(ab)， 1，故選D.3.(2018南寧模擬)已知e1，e2是不共線向量，ame12e2，bne1e

12、2，且mn0，若ab，則()A B. C2D2解析：選Cab，ab，即me12e2(ne1e2)，則故2.4.已知點M是ABC的邊BC的中點，點E在邊AC上，且2，則()A.B.C.D.解析：選C如圖，2，().5.如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點， xy，且2，則()Ax，yBx，yCx，yDx，y解析：選A由題意知，又2，所以()，所以x，y.全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2015全國卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點，3，則()ABCD 解析：選A()，故選A.2(2014全國卷)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則()AB. CD.解析：選A()()()，故選

13、A.3(2015全國卷)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_.解析：ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得答案： 課時達標檢測 小題對點練點點落實對點練(一)平面向量的有關(guān)概念1若向量a與b不相等，則a與b一定()A有不相等的模B不共線C不可能都是零向量D不可能都是單位向量解析：選C若a與b都是零向量，則ab，故選項C正確2設(shè)a0為單位向量，下列命題中：若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.假命題的個數(shù)是()A0B1 C2D3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方

14、向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.3已知a，b是非零向量，命題p：ab，命題q：|ab|a|b|，則p是q的_條件解析：若ab，則|ab|2a|2|a|，|a|b|a|a|2|a|，即pq.若|ab|a|b|，由加法的運算知a與b同向共線，即ab，且0，故q/ pp是q的充分不必要條件答案：充分不必要對點練(二)平面向量的線性運算1.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且a，b, 則()A.ba B.abCabD.ba解析：選Cababa，故選C.2已知向量a，b不共

15、線，且cab，da(21)b，若c與d反向共線，則實數(shù)的值為()A1BC1或D1或解析：選B由于c與d反向共線，則存在實數(shù)k使ckd(k0)，于是abk.整理得abka(2kk)b.由于a，b不共線，所以有整理得2210，解得1或.又因為k0，所以0，故.3(2018江西八校聯(lián)考)在ABC中，P，Q分別是邊AB，BC上的點，且APAB，BQBC.若a，b，則()A.abBabC.abDab解析：選A()ab，故選A.4(2017鄭州二模)如圖，在ABC中，點D在線段BC上，且滿足BDDC，過點D的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若m，n，則()Amn是定值，定值為2B2mn是定值，

16、定值為3C.是定值，定值為2D.是定值，定值為3解析：選D法一：如圖，過點C作CE平行于MN交AB于點E.由n可得，所以，由BDDC可得，所以，因為m，所以m，整理可得3.法二：因為M，D，N三點共線，所以(1).又m，n，所以m(1)n.又，所以，所以.比較系數(shù)知m，(1)n，所以3，故選D.5(2018銀川一模)設(shè)點P是ABC所在平面內(nèi)一點，且2，則_.解析：因為2，由平行四邊形法則知，點P為AC的中點，故0.答案：06(2018衡陽模擬)在如圖所示的方格紙中，向量a，b，c的起點和終點均在格點(小正方形頂點)上，若c與xayb(x，y為非零實數(shù))共線，則的值為_解析：設(shè)e1，e2分別為水

17、平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量ce12e2，a2e1e2，b2e12e2，由c與xayb共線，得c(xayb)，所以e12e22(xy)e1(x2y)e2，所以所以則的值為.答案：7(2018鹽城一模)在ABC中，A60，A的平分線交BC于點D，若AB4，且 (R)，則AD的長為_解析：因為B，D，C三點共線，所以1，解得，如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點M，N，則，經(jīng)計算得ANAM3，AD3.答案：38在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，點E在線段CD上，若，則的取值范圍是_解析：由題意可求得AD1，CD，所以2.點E 在線段CD上，

18、 (01)，又2，1，即.01，0，即的取值范圍是.答案：大題綜合練遷移貫通1.在ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB2GE，設(shè)a，b，試用a，b表示， .解：()ab.()()ab.2已知a，b不共線，a，b， c， d， e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值，若不存在，請說明理由解：由題設(shè)知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因為a，b不共線，所以有解得t.故存在實

19、數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上3.如圖所示，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線解：(1)延長AD到G，使，連接BG，CG，得到ABGC，如圖，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)證明：由(1)可知，又因為，有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線. 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示本節(jié)主要包括2個知識點：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐標表示.突破點(一)平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e

20、12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底1判斷題(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底()(2)在ABC中，設(shè)a，b，則向量a與b的夾角為ABC.()(3)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()答案：(1)(2)(3)2填空題(1)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，若1e12e20，則12_.答案：0(2)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則2ab_.答案：3e13e2(3)(2018嘉興測試)在ABC中，已知M是BC中點，設(shè)a，b，則_.答案：ba平面向量基本定理典例(1)(2018長春模擬)如圖所示，下列結(jié)論正確

21、的是()ab；ab；ab；ab.AB CD(2)(2018岳陽質(zhì)檢)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點若，則的值為()A. B. C.D.解析(1)根據(jù)向量的加法法則，得ab，故正確；根據(jù)向量的減法法則，得ab，故錯誤；ab2bab，故正確；abbab，故錯誤，故選C.(2)法一：連接AC(圖略)，由，得()()，則0，得0，得0.又，不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以.法二：根據(jù)題意作出圖形如圖所示，連接MN并延長，交AB的延長線于點T，由已知易得ABAT，所以，因為T，M，N三點共線，所以.答案(1)C(2)C方法技巧平面向量基本定理的實質(zhì)及解題

22、思路(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決1(2018泉州調(diào)研)若向量a，b不共線，則下列各組向量中，可以作為一組基底的是()Aa2b與a2bB3a5b與6a10bCa2b與5a7bD2a3b與ab解析：選C不共線的兩個向量可以作為一組基底因為a2b與5a7b不共線，故a2b與5a7b可以作為一組基底2.向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則ab()A4e12e2B.2e14e2Ce13e2D3e1e

23、2解析：選C結(jié)合圖形易得，ae14e2，b2e1e2，故abe13e2.3.如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點，若，則的值為()A.BC1D1解析：選A由題意得，1，故選A.4.(2018湖南邵陽一模)如圖， 在ABC中，設(shè)a，b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點為P，若manb，則mn_.解析：根據(jù)已知條件得，(manb)aab， baab，ab， ab，ab.，abab，解得故mn.答案：突破點(二)平面向量的坐標表示 1平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標運算及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y

24、2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標一般地，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)2平面向量共線的坐標表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，則abx1y2x2y10.(1)已知a(2,1)，b(3,4)，則3a4b_.答案：(6,19)(2)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：3(3)若AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，(2,4)，(1,3)，則_.答案：(1，1)(4)若三點A(

25、1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線，則實數(shù)a的值為_解析：(a1,3)，(3,4)，據(jù)題意知，4(a1)3(3)，即4a5，a.答案：平面向量的坐標運算例1(1)(2018紹興模擬)已知點M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點N的坐標為()A(2,0)B(3,6)C(6,2)D(2,0)(2)在ABC中，點P在BC上，且2，點Q是AC的中點，若 (4,3)，(1,5)，則_.解析(1)3a3(1，2)(3,6)，設(shè)N(x，y)，則(x5，y6)(3,6)，所以即(2)(3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)答案(1)A(2)(6,21)方法技巧平面向量坐標運算的技巧(1)

26、向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標(2)解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則平面向量共線的坐標表示例2已知a(1,0)，b(2,1)(1)當k為何值時，kab與a2b共線；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三點共線，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab與a2b共線，2(k2)(1)50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三點共線，8m3(2m1)0，m.方法技巧向量

27、共線的坐標表示中的乘積式和比例式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10，這是代數(shù)運算，用它解決平面向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“”，從而減少了未知數(shù)的個數(shù)，而且它使問題的解決具有代數(shù)化的特點和程序化的特征(2)當x2y20時，ab，即兩個向量的相應坐標成比例，這種形式不易出現(xiàn)搭配錯誤(3)公式x1y2x2y10無條件x2y20的限制，便于記憶；公式有條件x2y20的限制，但不易出錯所以我們可以記比例式，但在解題時改寫成乘積的形式1.若向量a(2,1)，b(1,2)，c，則c可用向量a，b表示為()A.abBabC.abD.ab解析：選A設(shè)cxayb，則(2

28、xy，x2y)，所以解得則cab.2.已知平行四邊形ABCD中，(3,7)，(2,3)，對角線AC與BD交于點O，則的坐標為()A. B.C.D.解析：選D(2,3)(3,7)(1,10).3.(2018豐臺期末)已知向量a(3，4)，b(x，y)，若ab，則()A3x4y0B3x4y0C4x3y0D4x3y0解析：選C由平面向量共線基本定理可得3y4x0，故選C.4.(2018江西四校聯(lián)考)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b與c共線，則k_.解析：由題意得，a2b(，3)，由a2b與c共線，得3k0，解得k1.答案：1全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2015全國卷)已知點

29、A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4)B(7,4) C(1,4)D(1,4)解析：選A設(shè)C(x，y)，則(x，y1)(4，3)，所以解得從而(4，2)(3,2)(7，4)故選A.2(2016全國卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.解析：a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430.m6.答案：6課時達標檢測 小題對點練點點落實對點練(一)平面向量基本定理1(2018珠海一模)如圖，設(shè)O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，給出下列向量組：與；與；與；與.其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是()AB CD解析：選B中，不共線；中，不共線中的兩向量共

30、線，因為平面內(nèi)兩個不共線的非零向量構(gòu)成一組基底，所以選B.2(2018山西太原質(zhì)檢)在ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，則的值為()A. B. C.D1解析：選A設(shè)t，則()()，故選A.3(2018湖南四大名校聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若a，b，則()A.ab B.abC.abD.ab解析：選C如圖，根據(jù)題意，得(ab)，(ab)令t，則t()tab.由，令s，又(ab)，ab，所以ab，所以解方程組得把s代入即可得到ab，故選C.4(2018山東濰坊一模)若M是ABC內(nèi)一點，且滿足4，則ABM與ACM的

31、面積之比為()A. B. C.D2解析：選A設(shè)AC的中點為D，則2，于是24，從而2，即M為BD的中點，于是.5(2018湖北黃石質(zhì)檢)已知點G是ABC的重心，過G作一條直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且x，y，則的值為()A. B. C2D3解析：選B由已知得M，G，N三點共線，(1)x(1)y.點G是ABC的重心，()()，即得1，即3，通分變形得，3，.對點練(二)平面向量的坐標表示1(2018福州一模)已知向量a(2,4)，b(1,1)，則2ab()A(5,7)B(5,9) C(3,7)D(3,9)解析：選D2ab2(2,4)(1,1)(3,9)，故選D.2(2018河北聯(lián)考)

32、已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，則2a3b()A(5，10)B(2，4)C(3，6)D(4，8)解析：選D由ab，得m40，即m4，所以2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)3(2018吉林白城模擬)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則()A.B2 CD2解析：選C由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb與a2b共線，得，所以，故選C.4(2018河南六市聯(lián)考)已知點A(1,3)，B(4，1)，則與同方向的單位向量是()A. B.C.D.解析：選A因為(3，4)，所以與同方向的單位向量為.5設(shè)向量

33、a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d()A(2,6)B(2,6)C(2，6)D(2，6)解析：選D設(shè)d(x，y)，由題意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d(2，6)6(2017南昌二模)已知在平面直角坐標系xOy中，P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三點共線且向量與向量a(1，1)共線，若(1) ，則()A3B3C1D1解析：選D設(shè)(x，y)，則由a知xy

34、0，于是(x，x)若(1)，則有(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)，即所以41320，解得1，故選D.7(2018河南中原名校聯(lián)考)已知a(1,3)，b(m,2m3)，平面上任意向量c都可以唯一地表示為cab(，R)，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，0)(0，)B(，3)C(，3)(3，)D3,3)解析：選C根據(jù)平面向量基本定理，得向量a，b不共線，a(1,3)，b(m,2m3)，2m33m0，m3.故選C.大題綜合練遷移貫通1(2018皖南八校模擬)如圖，AOB，動點A1，A2與B1，B2分別在射線OA，OB上，且線段A1A2的長為1，線段B1B2的長為2，點M，N分別是線段A

35、1B1，A2B2的中點(1)用向量與表示向量；(2)求向量的模解：(1)，兩式相加，并注意到點M，N分別是線段A1B1，A2B2的中點，得()(2)由已知可得向量與的模分別為1與2，夾角為，所以1，由()得| .2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，設(shè)a，b，c，有3c， 2b，求：(1)3ab3c；(2)滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)M，N的坐標及向量的坐標解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)，(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)設(shè)O為坐標原點，3c，3c(3,24)

36、(3，4)(0,20)，M的坐標為(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N的坐標為(9,2)故(90，220)(9，18)3已知三點A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a0，b0.(1)若O是坐標原點，且四邊形OACB是平行四邊形，試求a，b的值；(2)若A，B，C三點共線，試求ab的最小值解：(1)因為四邊形OACB是平行四邊形，所以，即(a，0)(2,2b)，解得(2)因為(a，b)，(2,2b)，由A，B，C三點共線，得，所以a(2b)2b0，即2(ab)ab，因為a0，b0，所以2(ab)ab2，即(ab)28(ab)0，解得ab8或ab0.因為a0，b0

37、，所以ab8，即當且僅當ab4時，ab取最小值為8. 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應用本節(jié)主要包括3個知識點：1.平面向量的數(shù)量積；2.平面向量數(shù)量積的應用；3.平面向量與其他知識的綜合問題.突破點(一)平面向量的數(shù)量積1向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB就是向量a與b的夾角(2)范圍：設(shè)是向量a與b的夾角，則0180.(3)共線與垂直：若0，則a與b同向；若180，則a與b反向；若90，則a與b垂直2平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos ，規(guī)定零向

38、量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0.(2)幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積(3)坐標表示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.3平面向量數(shù)量積的運算律(1)abba(交換律)(2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律)(3)(ab)cacbc(分配律)1判斷題(1)在ABC中，向量與的夾角為B.()(2)00.()(3)若a與b共線，則ab|a|b|.()(4)(ab)ca(bc)()答案：(1)(2)(3)(4)2填空題(1)已知|a|5，|b|4，a與b的夾角為120，則ab_.答案：10(2)已知向量a與b的夾角為60，|

39、a|1，|b|3，則ab_.答案：(3)已知向量a，b滿足|a|b|2且ab2，則向量a與b的夾角為_答案：平面向量數(shù)量積的運算1.利用坐標計算數(shù)量積的步驟第一步，根據(jù)共線、垂直等條件計算出這兩個向量的坐標，求解過程要注意方程思想的應用；第二步，根據(jù)數(shù)量積的坐標公式進行運算即可2根據(jù)定義計算數(shù)量積的兩種思路思路一若兩個向量共起點，則兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點不同，需要通過平移使它們的起點重合，然后再計算思路二根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數(shù)量積的兩個向量，然后再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)進行計算求解典例(1)(2018

40、商丘模擬)在邊長為1的等邊三角形ABC中，設(shè)a，b，c，則abbcca()AB0C.D3(2)如圖，平行四邊形ABCD中，AB2，AD1，A60，點M在AB邊上，且AMAB，則_.解析(1)依題意有abbcca111111.(2)因為，所以()|2|21|cos 60121.答案(1)A(2)1易錯提醒(1)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(2)兩向量a，b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不能省略掉其中的“”1已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，則ab為()A12B8 C8D2解析：選A|a|cosa，b4，

41、|b|3，ab|a|b|cosa，b3412.2設(shè)xR，向量a(1，x)，b(2，4)，且ab，則ab()A6 B. C.D10解析：選Da(1，x)，b(2，4)且ab，42x0，x2，a(1，2)，ab10，故選D.3(2018重慶適應性測試)設(shè)單位向量e1，e2的夾角為，ae12e2，b2e13e2，則b在a方向上的投影為()ABC.D.解析：選A依題意得e1e211cos ，|a|，ab(e12e2)(2e13e2)2e6ee1e2，因此b在a方向上的投影為，故選A.4(2018成都模擬)已知菱形ABCD邊長為2，B，點P滿足，R，若3，則的值為()A.BC.D解析：選A法一：由題意可

42、得22cos 2，() ()()()()(1)(1)2(1)2(1)422(1)463，故選A.法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(2,0)，C(1，)，D(1，)令P(x,0)，由(3，)(x1，)3x333x3得x1.，.故選A.突破點(二)平面向量數(shù)量積的應用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b.幾何表示坐標表示模|a|a|夾角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|x1x2y1y2| (1)已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若cab，則|c|_.答案：(2)已知向量a(1，)，b(

43、，1)，則a與b夾角的大小為_解析：由題意得|a|2，|b|2，ab112.設(shè)a與b的夾角為，則cos .0，.答案：(3)已知向量a(1，t)，b(6，4)若ab，則實數(shù)t的值為_答案：平面向量的垂直問題例1(1)(2018安徽蚌埠一模)已知非零向量m，n滿足3|m|2|n|，它們的夾角60.若n(tmn)，則實數(shù)t的值為()A3B3 C2D2(2)平面四邊形ABCD中，0，()0，則四邊形ABCD是()A矩形B正方形 C菱形D梯形解析(1)由題意得cos . n(tmn)，n(tmn)tmnn2t|m|n|n|2|n|2|n|20，解得t3.故選B.(2)因為0，所以，所以四邊形ABCD是

44、平行四邊形又()0，所以四邊形對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形答案(1)B(2)C方法技巧平面向量垂直問題的類型及求解方法(1)判斷兩向量垂直第一，計算出這兩個向量的坐標；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可(2)已知兩向量垂直求參數(shù)根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關(guān)系式，進而求解參數(shù)提醒注意x1y2x2y10與x1x2y1y20不同，前者是兩向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件平面向量模的相關(guān)問題例2(1)(2018合肥模擬)已知不共線的兩個向量a，b滿足|ab|2且a(a2b)，則|b|()A.B2C2D4

45、(2)在ABC中，若A120，1，則|的最小值是()A.B2C.D6解析(1)由a(a2b)得a(a2b)|a|22ab0.又|ab|2，所以|ab|2|a|22ab|b|24，則|b|24，|b|2，故選B.(2)因為1，所以|cos 1201，即|2，所以|2|22222|26，當且僅當|時等號成立，所以|min.答案(1)B(2)C方法技巧求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|.(2)若向量a，b是以非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的模可應用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解平面

46、向量的夾角問題例3(1)(2018泰安質(zhì)檢)已知非零向量a，b滿足|a|b|ab|，則a與2ab夾角的余弦值為()A. B. C.D.(2)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos _.解析(1)不妨設(shè)|a|b|ab|1，則|ab|2a2b22ab22ab1，所以ab，所以a(2ab)2a2ab，又|a|1，|2ab|，所以a與2ab夾角的余弦值為.(2)a2(3e12e2)2942329，b2(3e1e2)2912318，ab(3e12e2)(3e1e2)929118，cos .答案(1)D(2)方法技巧求解兩個非零向量之間的夾角的步驟第

47、一步由坐標運算或定義計算出這兩個向量的數(shù)量積第二步分別求出這兩個向量的模第三步根據(jù)公式cos 求解出這兩個向量夾角的余弦值第四步根據(jù)兩個向量夾角的范圍是0，及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角1.(2017懷柔二模)已知a(1,2)，b(1，)，則ab|b|()A1B1C12D2解析：選C因為ab(1,2)(1，)12，|b|2，所以ab|b|12212.2.(2018遼寧沈陽一模)已知平面向量a(k,3)，b(1,4)若ab，則實數(shù)k()A12B12 C.D.解析：選A平面向量a(k,3)，b(1,4)，ab，abk120，解得k12.故選A.3.(2018河北廊坊期末)已知|a|2，向量

48、a在向量b上的投影為，則a與b的夾角為()A. B. C.D.解析：選B設(shè)向量a與向量b的夾角為，則a在b上的投影為|a|cos 2cos .a在b上的投影為，cos .0，.故選B.4.(2018上海普陀區(qū)一模)設(shè)是兩個非零向量a，b的夾角，若對任意實數(shù)t，|atb|的最小值為1，則下列判斷正確的是()A若|a|確定，則唯一確定B若|b|確定，則唯一確定C若確定，則|b|唯一確定D若確定，則|a|唯一確定解析：選D設(shè)g(t)(atb)2b2t22taba2，則4(ab)24b2a20恒成立，當且僅當t時，g(t)取得最小值1，b22aba21，化簡得a2sin21，所以當確定時，|a|唯一確定5.(2018惠州一模)若O為ABC所在平面內(nèi)任一點，且滿足()(2)0，則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解析：選A因為()(2)0，即()0，()()0，即