（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認識 4.2 空間圖形的公理(一)學(xué)案 北師大版必修2

《（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認識 4.2 空間圖形的公理(一)學(xué)案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認識 4.2 空間圖形的公理(一)學(xué)案 北師大版必修2（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認識 4.2 空間圖形的公理(一)學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標1.通過長方體這一常見的空間圖形，體會點、直線、平面之間的位置關(guān)系.2.會用符號表達點、線、面的位置關(guān)系.3.掌握空間圖形的三個公理及其推論知識點一空間圖形的基本位置關(guān)系對于長方體有12條棱和6個面思考112條棱中，棱與棱有幾種位置關(guān)系？答案相交，平行，既不平行也不相交思考2棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系？答案棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交思考3六個面之間有哪幾種位置關(guān)系答案平行和相交梳理位置關(guān)系圖形表示符號表示空間點

2、與直線的位置關(guān)系點A在直線a外Aa點B在直線a上Ba空間點與平面的位置關(guān)系點A在平面內(nèi)A點B在平面外B空間兩條直線的位置關(guān)系平行ab相交abO異面a與b異面空間直線與平面的位置關(guān)系線在面內(nèi)a線面相交aA線面平行a空間平面與平面的位置關(guān)系面面平行面面相交a異面直線不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，叫作異面直線知識點二空間圖形的公理思考1照相機支架只有三個腳支撐說明什么？答案不在同一直線上的三點確定一個平面思考2一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？答案直尺在桌面上思考3教室的墻面與地面有公共點，這些公共點有什么規(guī)律？答案這些公共點在同一直線上梳理(1)空間圖形的公理公理內(nèi)容圖形符號作用公理1如果

3、一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))Al，Bl，且A，Bl用來證明直線在平面內(nèi)公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)A，B，C三點不共線存在唯一的使A，B，C用來確定一個平面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線P，Pl，且Pl用來證明空間的點共線和線共點(2)公理2的推論推論1：一條直線和直線外一點確定一個平面(圖)推論2：兩條相交直線確定一個平面(圖)推論3：兩條平行直線確定一個平面(圖)18個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚()2空間不同三點確定一個平面()3一條直線

4、和一個點確定一個平面()類型一文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化例1根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化解(1)點P直線AB.(2)點C直線AB.(3)點M平面AC.(4)點A1平面AC.(5)直線AB直線BC點B.(6)直線AB平面AC.(7)平面A1B平面AC直線AB.反思與感悟(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面

5、、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別跟蹤訓(xùn)練1用符號語言表示下列語句，并畫成圖形(1)直線l經(jīng)過平面內(nèi)兩點A，B；(2)直線l在平面外，且過平面內(nèi)一點P；(3)直線l既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)；(4)直線l是平面與的交線，平面內(nèi)有一條直線m與l平行考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化解(1)A，B，Al，Bl，如圖(2)l，Pl，P.如圖(3)l，l.如圖(4)l，m，ml.如圖類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1點線共面問題例2如圖，已知：a，b，abA，Pb，PQa

6、，求證：PQ.考點平面的基本性質(zhì)題點線共面問題證明因為PQa，所以PQ與a確定一個平面，所以直線a，點P.因為Pb，b，所以P.又因為a，Pa，所以與重合，所以PQ.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)解已知：abc，laA，lbB，lcC.求證：a，b，c和l共面證明：如圖，ab，a與b確定一個平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b與c確定一個平面，同理l.平面與都包含l和b，且blB，由公理2的推論知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，平面與平面重合，a，b，c和l共面反思與感悟在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來

7、證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)(2)重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知l1l2A，l2l3B，l1l3C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)考點平面的基本性質(zhì)題點線共面問題證明方法一(納入平面法)l1l2A，l1和l2確定一個平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可證C.Bl3，Cl3，l3.直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)方法二(重合法)l1l2A，l1和l2確定一個平面.l2l3B，l2，l3確定一個平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可證B，B，C，C.不共線的

8、三個點A，B，C既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)平面和重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)命題角度2點共線、線共點問題例3如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點求證：FE，HG，DC三線共點考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題證明如圖所示，連接C1B，GF，HE，由題意知HC1EB，且HC1EB，四邊形HC1BE是平行四邊形，HEC1B.又C1GGC，CFBF，GFC1B，且GFC1B.GFHE，且GFHE，HG與EF相交設(shè)交點為K，KHG，HG平面D1C1CD，K平面D1C1CD.KEF，EF平面ABCD，K平面ABCD

9、，K(平面D1C1CD平面ABCD)DC，EF，HG，DC三線共點反思與感悟(1)點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點跟蹤訓(xùn)練3已知ABC在平面外，其三邊所在的直線滿足ABP，BCQ，ACR，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線考點平面的基本性

10、質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題證明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：點P在平面ABC與平面的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面的交線上P，Q，R三點共線方法二APARA，直線AP與直線AR確定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三點共線.1用符號表示“點A在直線l上，l在平面外”，正確的是()AAl，l BAl，lCAl，l DAl，l考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案B解析點A在直線l上，Al.l在平面

11、外，l.故選B.2滿足下列條件，平面平面AB，直線a，直線b且aAB，bAB的圖形是()考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案D3下列推理錯誤的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線與重合考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案C解析當l，Al時，也有可能A，如lA，故C錯4如圖，l，A，B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點的平面記作，則與的交線必通過()A點A B點BC點C但不過點M D點C和點M考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案D解析因為平面過A，B，

12、C三點，M在直線AB上，所以與的交線必通過點C和點M.5.如圖，已知D，E是ABC的邊AC，BC上的點，平面經(jīng)過D，E兩點，若直線AB與平面的交點是P，則點P與直線DE的位置關(guān)系是_考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案P直線DE解析因為PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直線DE.1解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要

13、注意線的實虛2在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的思想.一、選擇題1下列有關(guān)平面的說法正確的是()A平行四邊形是一個平面B任何一個平面圖形都是一個平面C平靜的太平洋面就是一個平面D圓和平行四邊形都可以表示平面考點平面的概念、畫法及表示題點平面概念的應(yīng)用答案D解析我們用平行四邊形表示平面，但不能說平行四邊形就是一個平面，故A項不正確；平面圖形和平面是兩個概念，平面圖形是有大小的，而平面無法度量，故B項不正確；太平洋面是有邊界的，不是無限延展的，故C項不正確；在需要時，除用平行四邊形表示平面外，還可用三角形、梯形、圓等來表示平面，故D項正確2.如圖所示

14、，用符號語言可表示為()Am，n，mnABm，n，mnACm，n，Am，AnDm，n，Am，An考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案A解析與交于m，n在內(nèi)，m與n交于點A，注意符號語言的正確運用，故選A.3如果空間四點A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是()AA，B，C，D四點中必有三點共線BA，B，C，D四點中不存在三點共線C直線AB與CD相交D直線AB與CD平行考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答案B解析兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面4空間中四點可確定的平面有()A1個 B3個C4個 D1個或4個或無數(shù)

15、個考點平面的基本性質(zhì)題點確定平面問題答案D解析當這四點共線時，可確定無數(shù)個平面；當這四點不共線且共面時，可確定一個平面；當這四點不共面時，其中任意三點可確定一個平面，此時可確定4個平面5已知平面與平面，都相交，則這三個平面可能的交線有()A1條或2條 B2條或3條C1條或3條 D1條或2條或3條考點平面的基本性質(zhì) 題點點共線、線共點、點在線上問題答案D解析當三個平面兩兩相交且過同一直線時，它們有1條交線；當平面和平行時，它們的交線有2條；當這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時，它們有3條交線6空間四點A，B，C，D共面而不共線，那么這四點中()A必有三點共線 B可能有三點共線C至少有三點共線

16、D不可能有三點共線考點平面的基本性質(zhì) 題點點共線、線共點、點在線上問題答案B解析如圖(1)(2)所示，A，C，D均不正確，只有B正確7在空間四邊形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果GH，EF交于一點P，則()AP一定在直線BD上BP一定在直線AC上CP在直線AC或BD上DP既不在直線BD上，也不在AC上考點平面的基本性質(zhì) 題點點共線、線共點、點在線上問題答案B解析由題意知GH平面ADC.因為GH，EF交于一點P，所以P平面ADC.同理，P平面ABC.因為平面ABC平面ADCAC，由公理3可知點P一定在直線AC上8如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O

17、為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論錯誤的是()AC1，M，O三點共線 BC1，M，O，C四點共面CC1，O，A，M四點共面 DD1，D，O，M四點共面考點平面的基本性質(zhì) 題點點共線、線共點、點在線上問題答案D解析如圖所示，連接A1C1，AC，則ACBDO，A1C平面C1BDM，三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，選項A，B，C均正確，D不正確二、填空題9已知點A，直線a，平面.Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.其中說法正確的個數(shù)是_考點平面的概念、畫法及表示題點自然語言、符號語言與圖形語言的互化答案0解析中“a”符號不對；中

18、A可以在內(nèi)，也可在外，故不正確；中“A”符號錯10若直線l上有兩個點在平面內(nèi)，則下列說法中正確的序號為_直線l上至少有一個點在平面外；直線l上有無窮多個點在平面外；直線l上所有點都在平面內(nèi)；直線l上至多有兩個點在平面內(nèi)考點平面的基本性質(zhì)題點線共面問題答案11空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是_考點平面的基本性質(zhì)題點確定平面問題答案1或3解析若三條直線兩兩相交共有三個交點，則確定1個平面；若三條直線兩兩相交且交于同一點時，可以確定3個平面或1個平面12若直線l與平面相交于點O，A，Bl，C，D，且ACBD，則O，C，D三點的位置關(guān)系是_考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題答

19、案三點共線解析ACBD，AC與BD確定一個平面，記作平面，則CD.lO，O，又OAB，AB，O，O直線CD，O，C，D三點共線三、解答題13已知a，b，c，d是兩兩相交且不共點的四條直線，求證：直線a，b，c，d共面考點平面的基本性質(zhì)題點線共面問題證明(1)無三線共點情況，如圖所示，設(shè)adM，bdN，cdP，abQ，acR，bcS，adM，a，d可以確定一個平面，Nd，Qa，N，Q，NQ，即b，同理c，a，b，c，d共面(2)有三線共點的情況，如圖所示，設(shè)b，c，d三線相交于點K，與直線a分別相交于點N，P，M且Ka，Ka，K和a確定一個平面，設(shè)為.Na，a，N，NK，即b，同理c，d，a，b

20、，c，d共面，由(1)(2)可知a，b，c，d共面四、探究與拓展14如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是_考點平面的基本性質(zhì)題點平面基本性質(zhì)的其他簡單應(yīng)用答案36解析正方體的一條棱長對應(yīng)著2個“正交線面對”，12條棱長共對應(yīng)著24個“正交線面對”；正方體的一條面對角線對應(yīng)著1個“正交線面對”，12條面對角線對應(yīng)著12個“正交線面對”，共有36個15已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，ACBDP，A1C1EFQ.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線考點平面的基本性質(zhì)題點點共線、線共點、點在線上問題證明如圖(1)因為EF是D1B1C1的中位線，所以EFB1D1，在正方體AC1中，B1D1BD，所以EFBD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面(2)在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1為，平面BDEF為.因為QA1C1，所以Q，又QEF，所以Q，則Q是與的公共點，同理，P點也是與的公共點，所以PQ.又A1CR，所以RA1C，所以R，且R，故RPQ.所以P，Q，R三點共線