高一數(shù)學(xué)《空間向量的應(yīng)用》專項(xiàng)訓(xùn)練

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1、9空間向量的應(yīng)用知識(shí)梳理:1 .平面的法向量的確定平面的法向量可利用方程組求出：設(shè) a, b是平面 泌兩不共線向量，n為平面疝勺法fn a= 0,向量，則求法向量的方程組為n b= 0.2 .用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設(shè)直線l的方向向量為V,平面a的法向量為U,則l/減l? a? VU.(2)設(shè)平面矯口由勺法向量分別為 Ui , U2,則a/ ? Ui / U2.3 .用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線l 1和|2的方向向量分別為 V1和V2,則11 12? V1 V2? V1 V2= 0.(2)設(shè)直線l的方向向量為V,平面a的法向量為U,則l, 0? V / U.(3)設(shè)平面環(huán)口(

2、3的法向量分別為u 1和u2,則a_L3?U1-LU2?u 1u2=0.4 .兩條異面直線所成角的求法設(shè)a, b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角0a與b的夾角3范圍(0, T20,兀求法cos 0=露b| la llblcos 3= aLb |a|b|5 .直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a,平面”的法向量為n,直線l與平面a所成的角為Q a與n的夾角為3則sin 0= |cos)=|a川.lain6 .求二面角的大小0= AB,CD.如圖，AB, CD分別是二面角al毗兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小如圖，n 1, n2分別是二面角al 3的兩個(gè)半

3、平面a, 3的法向量，則二面角的大小，蔭足|cos q= |cosn 1, n2 |,二面角的平面角大小是向量m與n2的夾角(或其補(bǔ)角).7 .點(diǎn)到平面的距離 如圖所示，已知 AB為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量，則B到平面a的距離為 |BO|= |ABA|n|習(xí)題選粹：1.如圖所示，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形 ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線 ON, AM的位置關(guān)系是 2如圖所示，正三棱柱（底面為正三角形的直三棱柱 ）ABCAiBiCi的所有棱長(zhǎng)都為 2, D為CCi的中點(diǎn).求證：ABi,平面 AiBD.3. （2016鄭州模擬

4、）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱直線ABi所成角的余弦值為（）ABC-AiBiCi, CA=CCi=2CB,則直線 BCi 與4. （教材改編）如圖，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱ACi與側(cè)面ABBiAi所成的角為.）ABCAiBiCi的底面邊長(zhǎng)為 2,側(cè)棱長(zhǎng)為 2 2,則5. （20i7武漢月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD,底面ABCD ,且PA=PD=AD,設(shè) 巳F分別為PC, BD的中點(diǎn). 2（i）求證：EF/平面PAD;求證：平面PABL平面PDC.6.如圖所示，四邊形 ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD，平面 ABCD,NB，平面AB

5、CD,且 MD= NB= 1, E為BC的中點(diǎn).求異面直線NE與AM所成角的余弦值；在線段AN上是否存在點(diǎn)S,使得ES，平面AMN?若存在，求線段 AS的長(zhǎng)；若不存 在，請(qǐng)說(shuō)明理由.7 .(2016北京)如圖，在四棱錐 PABCD中，平面 PAD，平面 ABCD , PAXPD,= PD, ABXAD, AB=1, AD = 2, AC=CD= 5.求證：PDL平面PAB;求直線PB與平面PCD所成角的正弦值； 在PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM/平面PCD?若存在，求AM的值；若不存在，說(shuō)明理由.AP8 . (2015課標(biāo)全國(guó)I)如圖，四邊形 ABCD為菱形，/ ABC= 120, E, F是平

6、面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BEX平面 ABCD, DFL平面 ABCD, BE=2DF, AEXEC.(1)證明：平面 AECL平面 AFC;求直線AE與直線CF所成角的余弦值.(3)求點(diǎn)F到面AEC的距離AD是公共的余邊，且 AD =73,9 .如圖，在三棱錐 A BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,BD = CD = 1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形(1)求證：AD_L.BC(2) 求二面角B-AC-D的余弦值10.如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，/ ABC=60 , PA=AC= a, PB=PD= J2 a,點(diǎn) E 在 PD 上，且 PE:ED=2 : 1。(1)證明：PAL平面ABCD ;(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角 的勺大??；(3)在PC上是否存在點(diǎn)F,使BF/平面EAC,并證明你的結(jié)論(4)