（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 5.1 平行關(guān)系的判定學(xué)案 北師大版必修2

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1、（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 5.1 平行關(guān)系的判定學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理的含義.2.會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能運(yùn)用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的判定定理思考如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面內(nèi)，把這塊木板繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，AB的對(duì)邊CD(不落在內(nèi))和平面有何位置關(guān)系？答案平行梳理判定定理 表示定理圖形文字符號(hào)直線與平面平行的判定定理若平

2、面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行a知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行的判定定理思考1三角板的一條邊所在平面與平面平行，這個(gè)三角板所在平面與平面平行嗎？答案不一定思考2三角板的兩條邊所在直線分別與平面平行，這個(gè)三角板所在平面與平面平行嗎？答案平行梳理判定定理 表示定理圖形文字符號(hào)平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行1若直線l上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則l平面.()2若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線平行()3若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行()4若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)

3、的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行()類(lèi)型一直線與平面平行的判定問(wèn)題命題角度1以錐體為背景證明線面平行例1如圖，S是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是SA，BD上的點(diǎn)，且.求證：MN平面SBC.考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的證明證明連接AN并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)P，連接SP.因?yàn)锳DBC，所以，又因?yàn)?，所以，所以MNSP，又MN平面SBC，SP平面SBC，所以MN平面SBC.引申探究本例中若M，N分別是SA，BD的中點(diǎn)，試證明MN平面SBC.證明連接AC，由平行四邊形的性質(zhì)可知，AC必過(guò)BD的中點(diǎn)N，在SAC中，M，N分別為SA，AC的中點(diǎn)，所以MNSC，又因?yàn)镾C平面SBC，M

4、N平面SBC，所以MN平面SBC.反思與感悟利用直線與平面平行的判定定理證線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)；利用平行四邊形的性質(zhì)；利用平行線分線段成比例定理跟蹤訓(xùn)練1在四面體ABCD中，M，N分別是ACD，BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是_考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的證明答案平面ABD與平面ABC解析如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，MN.則EMMA12，ENBN12，所以MNAB.又AB平面ABD，MN平面ABD，所以MN平面ABD，同理，AB平面ABC，MN平面ABC，所以MN平面ABC.命題角度2以

5、柱體為背景證明線面平行例2在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的證明解存在證明如下：如圖，取線段AB的中點(diǎn)為M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點(diǎn)由已知得，O為AC1的中點(diǎn)，連接MD，OE，則MD，OE分別為ABC，ACC1的中位線，所以MDAC且MDAC，OEAC且OEAC，因此MDOE且MDOE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DEMO.因?yàn)橹本€DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直線DE平面A1MC.即線段AB上

6、存在一點(diǎn)M(線段AB的中點(diǎn))，使直線DE平面A1MC.反思與感悟證明以柱體為背景包裝的線面平行證明題時(shí)，常用線面平行的判定定理，遇到題目中含有線段中點(diǎn)時(shí)，常利用取中點(diǎn)去尋找平行線跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1.(1)求證：BC1平面AB1D1；(2)若E，F(xiàn)分別是D1C，BD的中點(diǎn)，求證：EF平面ADD1A1.考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的證明證明(1)BC1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，BC1AD1，BC1平面AB1D1.(2)點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)E為D1C的中點(diǎn)，EFAD1，EF平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，EF平

7、面ADD1A1.類(lèi)型二平面與平面平行的判定例3如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.考點(diǎn)平面與平面平行的判定題點(diǎn)平面與平面平行的證明證明(1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH是A1B1C1的中位線，所以GHB1C1.又因?yàn)锽1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EFBC.因?yàn)镋F平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因?yàn)锳1GEB，A1GEB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，

8、所以A1EGB.因?yàn)锳1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因?yàn)锳1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.反思與感悟判定平面與平面平行的四種常用方法(1)定義法：證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，通常采用反證法(2)利用判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面證明時(shí)應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面內(nèi)的兩條相交直線與平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則.(4)利用平行平面的傳遞性：若，則.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，已知A為平面BCD外一點(diǎn)，M，N，G分別是ABC，ABD，BCD的重心求證：平面

9、MNG平面ACD.考點(diǎn)平面與平面平行的判定題點(diǎn)平面與平面平行的證明證明如圖，設(shè)BM，BN，BG分別交AC，AD，CD于點(diǎn)P，F(xiàn)，H，連接PF，PH.由三角形重心的性質(zhì)，得2，MGPH，又PH平面ACD，MG平面ACD，MG平面ACD.同理可證MN平面ACD，又MNMGM，MN平面MNG，MG平面MNG，平面MNG平面ACD.1在正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)分別為底面ABCD和底面ABCD的中心，則正方體的六個(gè)面中與EF平行的平面有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案D解析由直線與平面平行的判定定理知，EF與平面AB，平面BC，平面CD，平面A

10、D均平行故與EF平行的平面有4個(gè)2直線a，b為異面直線，過(guò)直線a與直線b平行的平面()A有且只有一個(gè) B有無(wú)數(shù)多個(gè)C至多一個(gè) D不存在考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案A解析在直線a上任選一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作bb，則b是唯一的，因?yàn)閍bA，所以a與b確定一個(gè)平面并且只有一個(gè)平面3在正方體EFGHE1F1G1H1中，下列四對(duì)平面彼此平行的一對(duì)是()A平面E1FG1與平面EGH1B平面FHG1與平面F1H1GC平面F1H1H與平面FHE1D平面E1HG1與平面EH1G考點(diǎn)平面與平面平行的判定題點(diǎn)平面與平面平行的判定答案A解析如圖，EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG

11、1，EG平面E1FG1.又G1FH1E，同理可證H1E平面E1FG1，又H1EEGE，H1E，EG平面EGH1，平面E1FG1EGH1.4經(jīng)過(guò)平面外兩點(diǎn)，作與平行的平面，則這樣的平面可以作()A1個(gè)或2個(gè) B0個(gè)或1個(gè)C1個(gè) D0個(gè)考點(diǎn)平面與平面平行的判定題點(diǎn)平面與平面平行的判定答案B解析當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線與平面平行時(shí)，可作出一個(gè)平面，使.當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線與平面相交時(shí)，由于作出的平面又至少有一個(gè)公共點(diǎn)，故經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的平面都與平面相交，不能作出與平面平行的平面故滿足條件的平面有0個(gè)或1個(gè)5.如圖，四棱錐PABCD中，ABAD，BAD60，CDAD，F(xiàn)，E分別是PA，AD的中點(diǎn)，求證：平面PCD平面F

12、EB.考點(diǎn)平面與平面平行的判定題點(diǎn)平面與平面平行的判定證明連接BD，在ABD中，BAD60，ABAD，ABD是等邊三角形，E為AD的中點(diǎn)，BEAD，又CDAD，在四邊形ABCD中，BECD.又CD平面FEB，BE平面FEB，CD平面FEB.在APD中，EFPD，同理可得PD平面FEB.又CDPDD，平面PCD平面FEB.1直線與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找一條直線和已知直線平行，即要證直線和平面平行，先證直線和直線平行，即由立體向平面轉(zhuǎn)化，由高維向低維轉(zhuǎn)化2證明面面平行的一般思路：線線平行線面平行面面平行3準(zhǔn)確把握線面平行及面面平行兩個(gè)判定定理，是對(duì)線面關(guān)系及面面關(guān)系作出正確推斷的關(guān)鍵一、選

13、擇題1能保證直線a與平面平行的條件是()Ab，abBb，c，ab，acCb，A，Ba，C，Db，且ACBDDa，b，ab考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案D解析由線面平行的判定定理可知，D正確2如果兩直線ab且a，則b與的位置關(guān)系是()A相交 BbCb Db或b考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案D解析由ab且a知，b與平行或b.3平面與ABC的兩邊AB，AC分別交于D，E，且ADDBAEEC，如圖所示，則BC與的位置關(guān)系是()A平行 B相交C異面 DBC考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案A解析在ABC中，因?yàn)锳DDBAEEC，所以BCDE.

14、因?yàn)锽C，DE，所以BC.4若六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有()A1對(duì) B2對(duì) C3對(duì) D4對(duì)考點(diǎn)平面與平面平行的判定題點(diǎn)平面與平面平行的判定答案D解析由圖知平面ABB1A1平面EDD1E1，平面BCC1B1平面FEE1F1，平面AFF1A1平面CDD1C1，平面ABCDEF平面A1B1C1D1E1F1，此六棱柱的面中互相平行的有4對(duì)5在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，且AEEBAFFD14，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()ABD平面EFG，且四邊形EFGH是平行四邊形BEF平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C

15、HG平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形DEH平面ADC，且四邊形EFGH是梯形考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案B解析易證EF平面BCD.由AEEBAFFD知，EFBD，且EFBD.又因?yàn)镠，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HGBD，且HGBD.綜上可知，EFHG，EFHG，所以四邊形EFGH是梯形，且EF平面BCD.6如圖，下列正三棱柱ABCA1B1C1中，若M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則不能得出AB平面MNP的是()考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案C解析在圖A，B中，易知ABA1B1MN，所以AB平面MNP；在圖D中，易知ABPN，所以AB平面

16、MNP.故選C.7平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等且不為零，則與的位置關(guān)系為()A平行 B相交C平行或相交 D可能重合考點(diǎn)平面與平面平行的判定題點(diǎn)平面與平面平行的判定答案C解析若三點(diǎn)分布于平面的同側(cè)，則與平行，若三點(diǎn)分布于平面的兩側(cè)，則與相交8已知直線l，m，平面，下列說(shuō)法正確的是()Al，lBl，m，l，mClm，l，mDl，m，l，m，lmM考點(diǎn)平面與平面平行的判定題點(diǎn)平面與平面平行的判定答案D解析如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABCD，則AB平面DC1，AB平面AC，但是平面AC與平面DC1不平行，所以A錯(cuò)誤；取BB1的中點(diǎn)E，CC1的中點(diǎn)F，可證EF平面AC，B1C

17、1平面AC.EF平面BC1，B1C1平面BC1，但是平面AC與平面BC1不平行，所以B錯(cuò)誤；ADB1C1，AD平面AC，B1C1平面BC1，但是平面AC與平面BC1不平行，所以C錯(cuò)誤；很明顯D是面面平行的判定定理，所以D正確二、填空題9設(shè)m，n是平面外的兩條直線，給出下列三個(gè)推斷：mn；m；n，以其中兩個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)_考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案(或)解析若mn，m，則n，同樣，若mn，n，則m.10如圖，在五面體FEABCD中，四邊形CDEF為矩形，M，N分別是BF，BC的中點(diǎn)，則MN與平面ADE的位置關(guān)系是_考點(diǎn)直線與平面平行的判定

18、題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案平行解析M，N分別是BF，BC的中點(diǎn)，MNCF.又四邊形CDEF為矩形，CFDE，MNDE.又MN平面ADE，DE平面ADE，MN平面ADE.11如圖是正方體的平面展開(kāi)圖在這個(gè)正方體中，BM平面ADNE；CN平面ABFE；平面BDM平面AFN；平面BDE平面NCF.以上四個(gè)說(shuō)法中正確的是_考點(diǎn)平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化答案解析以ABCD為下底面還原正方體，如圖則易知四個(gè)說(shuō)法都是正確的12.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)

19、，則M滿足_時(shí)，有MN平面B1BDD1.考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案M線段FH解析HNBD，HFDD1，HNHFH，BDDD1D，平面NHF平面B1BDD1，故線段FH上任意一點(diǎn)M與N連接，都有MN平面B1BDD1.三、解答題13如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB，A1D1的中點(diǎn)分別為M，N，求證：MN平面B1D1DB.考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定證明如圖，取BD的中點(diǎn)O，連接MO，D1O，則OMAD且OMAD，ND1A1D1，ADA1D1，且ADA1D1，OMND1，且OMND1，四邊形OMND1為平行四邊形，MNOD1.又MN平面

20、B1D1DB，OD1平面B1D1DB，MN平面B1D1DB.四、探究與拓展14在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)推斷：FG平面AA1D1D；EF平面BC1D1；FG平面BC1D1；平面EFG平面BC1D1.其中推斷正確的序號(hào)是()A B C D考點(diǎn)平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化答案A解析在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)GBC1.BC1AD1，F(xiàn)GAD1，F(xiàn)G平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，F(xiàn)G平面AA1D1D，故正確；EFA1C1，A1C1與平面BC1D1相交，EF與平面BC1D1相交，故錯(cuò)誤；FGBC1，F(xiàn)G平面BC1D1，BC1平面BC1D1，F(xiàn)G平面BC1D1，故正確；EF與平面BC1D1相交，平面EFG與平面BC1D1相交，故錯(cuò)誤故選A.15如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ平面PAO?考點(diǎn)平面與平面平行的判定題點(diǎn)平面與平面平行的判定解當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ平面PAO.Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，QBPA，又O為DB的中點(diǎn)，D1BPO.又POPAP，BQD1BB，平面D1BQ平面PAO.