（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 5.2 平行關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修2

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1、（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 5.2 平行關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能應(yīng)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行，兩平面平行的性質(zhì)定理.2.能用兩個(gè)性質(zhì)定理，證明一些空間線面平行關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的性質(zhì)思考1如圖，直線l平面，直線a平面，直線l與直線a一定平行嗎？為什么？答案不一定，因?yàn)檫€可能是異面直線思考2如圖，直線a平面，直線a平面，平面平面直線b，滿足以上條件的平面有多少個(gè)？直線a，b有什么位置關(guān)系？答案無(wú)數(shù)個(gè)，ab.梳理性質(zhì)定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與

2、該直線平行符號(hào)語(yǔ)言a，a，bab圖形語(yǔ)言知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行的性質(zhì)觀察長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的兩個(gè)面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？答案是的思考2若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，則mn嗎？答案不一定，也可能異面思考3過(guò)BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1與BC是什么關(guān)系？答案平行梳理性質(zhì)定理文字語(yǔ)言如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行符號(hào)語(yǔ)言，a，bab圖形語(yǔ)言知識(shí)點(diǎn)三平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化1若直線l不平行于平面，則直線l就不平行于平面內(nèi)的任意一條直線()2若平面平面，l平面

3、，m平面，則lm.()3夾在兩平行平面的平行線段相等()類型一線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：APGH.考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)證明平行問(wèn)題證明連接MO.四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC的中點(diǎn)又M是PC的中點(diǎn)，APOM.又AP平面BDM，OM平面BDM，AP平面BDM.又AP平面APGH，平面APGH平面BDMGH，APGH.引申探究如圖，在三棱錐PABQ中，E，F(xiàn)，C，D分別是PA，PB，QB，QA的中點(diǎn)，平面PCD平面QEFG

4、H.求證：ABGH.證明因?yàn)镈，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，所以EFAB，DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.反思與感悟線面線線在空間平行關(guān)系中，交替使用線線平行、線面平行的判定定理與性質(zhì)定理是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF平面AB1C，則線段FE的長(zhǎng)度為_(kāi)考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)求線段長(zhǎng)度答案解析EF平面AB1C，又平面ADC平面AB1CAC，EF平面A

5、DC，EFAC，E是AD的中點(diǎn)，EFAC2.類型二面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用例2如圖，平面，A，C，B，D，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且AS8，BS9，CD34，求CS的長(zhǎng)考點(diǎn)平面與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)求線段長(zhǎng)解設(shè)AB，CD都在平面上，因?yàn)锳C，BD，且，所以ACBD，所以SACSBD，所以，即，所以SC272.引申探究若將本例改為：點(diǎn)S在平面，之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長(zhǎng)解設(shè)AB，CD共面，AC，BD.因?yàn)?，所以AC與BD無(wú)公共點(diǎn)，所以ACBD，所以ACSBDS，所以.設(shè)CSx，則，所以x16，即CS16.反思與感悟應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟跟蹤訓(xùn)練2已知：平面平面平面

6、，兩條直線l，m分別與平面，相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖所示，求證：.考點(diǎn)平面與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算證明如圖，連接DC，設(shè)DC與平面相交于點(diǎn)G，則平面ACD與平面，分別相交于直線AD，BG，平面DCF與平面，分別相交于直線GE，CF.因?yàn)?，所以BGAD，GECF.于是，得，所以.類型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用命題角度1由面面平行證明線面平行例3設(shè)AB，CD為夾在兩個(gè)平行平面，之間的線段，且直線AB，CD為異面直線，M，P分別為AB，CD的中點(diǎn)求證：MP平面.考點(diǎn)平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化證明如圖，過(guò)點(diǎn)A作AECD交平面于點(diǎn)E，連接DE，BE.

7、AECD，AE，CD確定一個(gè)平面，設(shè)為，則AC，DE.又，ACDE，取AE的中點(diǎn)N，連接NP，MN，M，P分別為AB，CD的中點(diǎn)，NPDE，MNBE.又NP，DE，MN，BE，NP，MN，NPMNN，平面MNP.MP平面MNP，MP，MP.反思與感悟線線平行、線面平行、面面平行是一個(gè)有機(jī)的整體，平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示：跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CMDN. 求證：MN平面AA1B1B.考點(diǎn)平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化證明如圖，作MPBB1交BC于點(diǎn)P，連接NP，MP

8、BB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN.，NPCDAB.NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，NP平面AA1B1B.MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MP平面AA1B1B，又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP，MN平面AA1B1B.命題角度2探索性問(wèn)題例4在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中點(diǎn)是P，過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，能否確定截面的形狀？如果能，求出截面的面積考點(diǎn)題點(diǎn)解能，如圖，取AB，C1D1的中點(diǎn)M，N，連接A1M，MC，CN，NA1.平面A1C1平面AC，平面A1C

9、平面A1C1A1N，平面AC平面A1CMC，A1NMC.同理，A1MNC.四邊形A1MCN是平行四邊形C1NC1D1A1B1A1P，C1NA1P，四邊形A1PC1N是平行四邊形，A1NPC1且A1NPC1.同理，A1MBP且A1MBP.又A1NA1MA1，C1PPBP，平面A1MCN平面PBC1.故過(guò)點(diǎn)A1與截面PBC1平行的截面是A1MCN.連接MN，作A1HMN于點(diǎn)H.由題意，易得A1MA1N，MN2.MHNH，A1H.故222.反思與感悟在將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，注意觀察圖形中是不是性質(zhì)定理中符合條件的平面跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，已知P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中

10、點(diǎn)，平面PBC平面PADl.(1)求證：lBC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)證明平行問(wèn)題(1)證明因?yàn)锽CAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC平面PADl，所以BCl.(2)解平行證明如下：如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，可以證得NEAM且NEAM，所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MNAE.又AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.1如圖所示，在三棱錐SABC中，E，F(xiàn)分別是SB，SC上的點(diǎn)，且EF平面ABC，則()AEF與BC相交 BEFBCCEF與BC異面 D以上均有可能考點(diǎn)直

11、線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)判定位置關(guān)系答案B解析EF平面ABC，而平面SBC平面ABCBC，EF平面SBC，EFBC.2直線a平面，內(nèi)有n條直線交于一點(diǎn)，則這n條直線中與直線a平行的直線有()A0條 B1條C0條或1條 D無(wú)數(shù)條考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)判定位置關(guān)系答案C解析過(guò)直線a與交點(diǎn)作平面，設(shè)平面與交于直線b，則ab，若所給n條直線中有1條是與b重合的，則此直線與直線a平行，若沒(méi)有與b重合的，則與直線a平行的直線有0條3給出四種說(shuō)法：若平面平面，平面平面，則平面平面；若平面平面，直線a與相交，則a與相交；若平面平面，P，PQ，則PQ；若直線a平面，直線b平面，且，則ab.其

12、中正確說(shuō)法的序號(hào)是_考點(diǎn)平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化答案解析正確，因?yàn)槠矫媾c沒(méi)有公共點(diǎn)；正確，若直線a與平面平行或直線a，則由平面平面，知a或a與無(wú)公共點(diǎn)，這與直線a與相交矛盾，所以a與相交正確，如圖所示，過(guò)直線PQ作平面，a，b，由得ab，因?yàn)镻Q，PQ.所以PQb，因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以直線a與直線PQ重合，因?yàn)閍，所以PQ；錯(cuò)誤，若直線a平面，直線b平面，且，則a與b平行、相交和異面都有可能4.如圖所示，直線a平面，A，并且a和A位于平面兩側(cè)，點(diǎn)B，Ca，AB，AC分別交平面于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BC4，CF5，AF3，則EF_.考點(diǎn)直線與平

13、面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)求線段長(zhǎng)度答案解析由于點(diǎn)A不在直線a上，則直線a和點(diǎn)A確定一個(gè)平面，所以EF.因?yàn)閍平面，a平面，所以EFa.所以.所以EF.5.如圖，AB是圓O的直徑 ，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)證明平行問(wèn)題 解直線l平面PAC.證明如下：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因?yàn)閘平面PAC，E

14、F平面PAC，所以l平面PAC.1空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖2證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般規(guī)律是：“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，是分析和解決問(wèn)題的一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段.一、選擇題1.如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1中，過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A異面B平行C相交D以上均有可能考點(diǎn)平面與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)證明平行問(wèn)題答案B解析由面面平行的性質(zhì)定理，可得DEA1B1，又A1B1AB，所以DEAB.2如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面平面ABC，分別交線段PA，PB，PC于

15、點(diǎn)A，B，C.若PAAA23，則SABCSABC等于()A225 B425C25 D45考點(diǎn)平面與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算答案B解析平面平面ABC，平面PAB與它們的交線分別為AB，AB，ABAB.同理BCBC，ACAC，從而易得ABCABC，且，SABCSABC2.3如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()AACBDBAC截面PQMNCACBDD異面直線PM與BD所成的角為45考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析截面PQMN為正方形，PQMN，從而易得PQ平面DAC.又平面ABC平面ADCAC，PQ平面ABC，PQAC.從而易得AC平面PNMQ.同理可得

16、QMBD.又PQQM，PMQ45，ACBD，且異面直線PM與BD所成的角為45.故選項(xiàng)A，B，D正確4a，b，c為三條不重合的直線，為三個(gè)不重合的平面，給出的下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為()ab；ab；.A1 B2 C3 D4考點(diǎn)平行的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化答案B解析只有正確5設(shè)，A，B，C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)A，B分別在平面，內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，得到無(wú)數(shù)個(gè)AB的中點(diǎn)C，那么所有的動(dòng)點(diǎn)C()A不共面B當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面C當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面D不論A，B如何移動(dòng)，都共面考點(diǎn)平面與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)判定位置關(guān)系答案D解析如圖所示，A

17、，B分別是A，B兩點(diǎn)在，上運(yùn)動(dòng)后的兩點(diǎn)，此時(shí)AB中點(diǎn)C變成AB的中點(diǎn)C，連接AB，取AB的中點(diǎn)E.連接CE，CE，AA，BB，CC，則CEAA，又CE平面，AA平面，CE平面.又CEBB，CE平面，BB平面，CE平面.又平面平面，CE平面，CE平面.CECEE，CE，CE平面CCE，平面CCE平面，CC平面.不論A，B如何移動(dòng)，所有的動(dòng)點(diǎn)C都在過(guò)C點(diǎn)且與平面，平行的平面上6設(shè)m，n表示不同的直線，表示不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是()A若m，mn，則nB若m，n，m，n，則C若，m，mn，則nD若，m，nm，n，則n考點(diǎn)平行的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化答案D解析A選項(xiàng)不正確，

18、n可能在平面內(nèi)，B選項(xiàng)不正確，平面可能與平面相交；C選項(xiàng)不正確，n可能在平面內(nèi)；選項(xiàng)D正確7如圖，四棱錐SABCD的所有的棱長(zhǎng)都等于2，E是SA的中點(diǎn)，過(guò)C，D，E三點(diǎn)的平面與SB交于點(diǎn)F，則四邊形DEFC的周長(zhǎng)為()A2 B3C32 D22考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)求線段長(zhǎng)度答案C解析CDAB，CD平面SAB，AB平面SAB，CD平面SAB.又平面CDEF平面SABEF，CDEF，又CDAB，ABEF.SEEA，EF為ABS的中位線，EFAB1，又DECF，四邊形DEFC的周長(zhǎng)為32.8過(guò)平面外的直線l，作一組平面與相交，如果所得的交線為a，b，c，則這些交線的位置關(guān)系為()A都平

19、行B都相交且一定交于同一點(diǎn)C都相交但不一定交于同一點(diǎn)D都平行或交于同一點(diǎn)考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析l，l或l與相交若l，則由線面平行的性質(zhì)定理可知la，lb，lc，a，b，c，這些交線都平行若l與相交，不妨設(shè)lA，則Al，又由題意可知Aa，Ab，Ac，這些交線交于同一點(diǎn)A.綜上可知D正確二、填空題9，是三個(gè)兩兩平行的平面，且與之間的距離是3，與之間的距離是4，則與之間的距離是_考點(diǎn)平面與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算答案1或7解析與位于的兩側(cè)時(shí)，與間的距離是7；當(dāng)與位于同側(cè)時(shí)，與間的距離是1.10如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1

20、的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP，過(guò)P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ_.考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)求線段長(zhǎng)度答案a解析MN平面AC，平面PMN平面ACPQ，MNPQ，易知DPDQ，故PQDP.11.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的點(diǎn)，它們共面，并且AC平面EFGH，BD平面EFGH，ACm，BDn，當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí)，AEEB_.考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)與性質(zhì)有關(guān)的其他問(wèn)題答案mn解析AC平面EFGH，EFAC，GHAC，EFHGm ，同理EHFGn .四邊形EFGH是菱形，m n ，AEEBmn.12已知平面，P且P

21、，過(guò)點(diǎn)P的直線m與，分別交于點(diǎn)A，C，過(guò)點(diǎn)P的直線n與，分別交于點(diǎn)B，D，且PA6，AC9，PD8，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)考點(diǎn)平面與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)利用性質(zhì)求線段長(zhǎng)答案或24解析如圖所示，ACBDP，經(jīng)過(guò)直線AC與BD可確定平面PCD.，平面PCDAB，平面PCDCD，ABCD.，即，BD.如圖所示，同理可證ABCD，即，BD24.綜上所述，BD的長(zhǎng)為或24.三、解答題13如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，P平面ABCD，過(guò)BC作平面BCFE交AP于點(diǎn)E，交DP于點(diǎn)F.求證：四邊形BCFE是梯形考點(diǎn)平行公理題點(diǎn)判斷、證明線線平行證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以BCAD，因?yàn)锳D平面PAD

22、，BC平面PAD，所以BC平面PAD.因?yàn)槠矫鍮CFE平面PADEF，BC平面BCFE，所以BCEF.因?yàn)锳DBC，ADEF，所以BCEF，所以四邊形BCFE是梯形四、探究與拓展14在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，當(dāng)BD平面EFGH時(shí)，下面結(jié)論正確的是()AE，F(xiàn)，G，H一定是各邊的中點(diǎn)BG，H一定是CD，DA的中點(diǎn)CBEEABFFC，且DHHADGGCDAEEBAHHD，且BFFCDGGC考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)與性質(zhì)有關(guān)的其他問(wèn)題答案D解析由于BD平面EFGH，所以有BDEH，BDFG，則AEEBAHHD，且BFFCDGGC.15如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形(1)求證：AB平面EFGH；(2)若ABCD，求證：四邊形EFGH為矩形考點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)題點(diǎn)與性質(zhì)有關(guān)的其他問(wèn)題證明(1)EFGH為平行四邊形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB，EFAB.又EF平面EFGH，AB平面EFGH，AB平面EFGH.(2)由(1)同理可證CDEH，F(xiàn)EH即是AB與CD所成的角ABCD，F(xiàn)EH90，平行四邊形EFGH為矩形