高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 第1節(jié) 集合的含義與表示基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

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1、1 集合的含義與表示1理解集合的概念，會判斷元素與集合的關(guān)系2理解并記住集合中元素的性質(zhì)3熟記常用數(shù)集的符號4理解列舉法和描述法，能運(yùn)用它們表示集合1集合一般地，指定的某些對象的_稱為集合，集合中的每個對象叫作這個集合的_集合常用大寫字母A，B，C，D，標(biāo)記2元素與集合的關(guān)系(1)關(guān)系：_或_(2)表示：若元素a在集合A中，就說元素a屬于集合A，記作a_A；若元素a不在集合A中，就說元素a不屬于集合A，記作a_A.集合中元素的性質(zhì)：確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的要么是該集合中的元素，要么不是，二者必為其一，這個特性通

2、常被用來判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的無序性：集合中的元素是沒有順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分3數(shù)集(1)定義：_的集合簡稱數(shù)集(2)常見數(shù)集：自然數(shù)集記為_；整數(shù)集記為_；正整數(shù)集記為_；有理數(shù)集記為_；實數(shù)集記為_【做一做1】 下列關(guān)系正確的是( )A0N BR C1Q D0Z4集合的表示法(1)列舉法：把集合中的_一一列舉出來寫在大括號內(nèi)的方法(2)描述法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征. 這種用確定的

3、_表示某些對象是否_這個集合的方法叫作描述法 在不引起混淆的情況下，為了簡便，有些集合用描述法表示時，可省去豎線及其代表元素如所有直角三角形組成的集合，可以表示為直角三角形，但不能表示為所有直角三角形，因為 本身就有“所有”“全部”的意思【做一做21】 集合xN|x5的另一種表示法是( )A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5【做一做22】 3和4的所有正的公倍數(shù)的集合為_5集合的分類按所含元素的個數(shù)分為：有限集和無限集含_個元素的集合叫有限集，含_個元素的集合叫無限集6空集不含有任何_的集合叫作空集，記作. 數(shù)0，0，的關(guān)系：數(shù)0不是集合，0是含

4、一個元素0的集合，而是不含任何元素的集合，是指以為元素的集合答案：1全體元素2(1)屬于不屬于(2)3(1)數(shù)(2)NZNQR【做一做1】 D4(1)元素(2)條件屬于【做一做21】 A【做一做22】 x|x12k，kN5有限無限6元素1對于集合定義的理解剖析：(1)集合中的元素是具體的，它的屬性是明確的，即對于某一集合而言，任何一個元素要么是這個集合的元素，要么不是這個集合的元素，二者必為其一(2)對于一個集合，應(yīng)該從整體的角度來看待它，例如由“我們班的學(xué)生”組成的一個集合A，這就是一個整體(3)要注意組成集合的對象的廣泛性：一方面，任何一個確定的對象，都可以組成一個集合，如人、物、數(shù)、方程

5、、不等式等都可以作為構(gòu)成集合的對象；另一方面，集合本身也可以作為集合的對象2結(jié)合實例說明集合中元素的性質(zhì)特征剖析：(1)確定性作為集合的元素，必須是確定的，對于集合A和元素a，要么aA，要么aA，二者必為其一，且只為其一如：所有大于100的數(shù)組成一個集合集合中的元素是確定的，而“較大的整數(shù)”就不能構(gòu)成一個集合，因為它的對象是不確定的再如：“很大的樹”“較高的人”等都不能構(gòu)成集合(2)互異性對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的，任何兩個相同的對象在同一集合中只能出現(xiàn)一次如：由a，a2組成一個集合，則a的取值不能是0或1.(3)無序性集合中元素的次序無先后之分，如：小于3的正整數(shù)，可以表示

6、為1,2，也可以表示為2,1，它們都表示同一個集合由此可見，利用集合的三個特征性質(zhì)來判定元素是否能構(gòu)成集合，是非常有效的方法題型一 集合的判定【例1】 判斷下列每組對象能否構(gòu)成一個集合(1)美麗的小鳥；(2)不超過20的非負(fù)整數(shù)；(3)立方接近零的正數(shù)；(4)直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)分析：要判定每組對象能否構(gòu)成集合，可先分析各組對象所具有的條件是否明確，若明確，再結(jié)合元素所必須具備的特征作出判斷反思：判定元素能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵看這些元素是否具有確定性和互異性如果條件滿足就可以斷定這些元素可以構(gòu)成集合，否則不能構(gòu)成集合題型二 集合中元素的性質(zhì)的應(yīng)用【例2】 已知x21,0，x，求實數(shù)x的值分

7、析：分類討論x2是集合中的哪個元素，要根據(jù)集合中元素的互異性進(jìn)行取舍反思：本題是應(yīng)用集合中元素的性質(zhì)來解決的這類問題既要討論元素的確定性，又要利用互異性檢驗解的正確與否，初學(xué)者解題時易忽視元素的互異性，必須在學(xué)習(xí)中高度重視另外，本類問題往往涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想題型三 集合的表示【例3】 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?1)化簡式子(x，y為非零實數(shù))所得結(jié)果構(gòu)成的集合；(2)大于4的所有奇數(shù)組成的集合；(3)直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)組成的集合；(4)方程(x1)(x25)0的根組成的集合分析：(1)根據(jù)x，y值的符號，兩項分別可得1或1，化簡的結(jié)果有3種情形，用列舉法表示集合；(2)奇數(shù)的表達(dá)式為

8、2k1(kN)，由于有無數(shù)個元素，可用描述法表示；(3)代表的元素是有序?qū)崝?shù)對(x，y)，用描述法表示；(4)只有3個根，用列舉法表示反思：1.用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個有序數(shù)對來表示若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出取值范圍，如(2)小題2對于元素個數(shù)確定的集合或元素個數(shù)不確定但元素間存在明顯規(guī)律的集合，可采用列舉法應(yīng)用列舉法時要注意：元素之間用“，”而不是用“、”隔開；元素不能重復(fù)；不考慮元素順序題型四 求參數(shù)的取值范圍【例4】 已知集合Ax|ax22x10，xR，若集合A

9、中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍分析：由描述法可知集合A是關(guān)于x的方程ax22x10的實數(shù)解集，首先應(yīng)考慮方程是不是一元二次方程反思：已知集合中元素的個數(shù)，求其中某參數(shù)的取值范圍時，關(guān)鍵是對集合的表示法的正確理解本題中，由于集合A是方程的解集，所以轉(zhuǎn)化為討論方程根的問題答案：【例1】 解：(1)中“美麗”的范疇太廣，不具有明確性，因此不能構(gòu)成集合；(2)中的元素可以列舉出來：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21個數(shù)；(3)中接近零的界限不明確；(4)中元素具有無限個，但條件明確，即所有橫、縱坐標(biāo)均大于0的點(diǎn)均在該集

10、合中綜上可知(2)(4)能構(gòu)成集合，(1)(3)不能構(gòu)成集合【例2】 解：若x20，則x0，此時集合為1,0,0，不符合集合中元素的互異性，舍去若x21，則x1.當(dāng)x1時，集合為1,0,1，不符合集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)x1時，集合為1,0，1，符合要求若x2x，則x0或x1，不符合集合中元素的互異性，都舍去綜上可知，x1.【例3】 解：(1)0,2，2(2)x|x2k1，k2且kN(3)(x，y)|x0且y0(4)，1，【例4】 解：當(dāng)a0時，方程只有一個根，則a0符合題意當(dāng)a0時，則關(guān)于x的方程ax22x10是一元二次方程由于集合A中至多有一個元素，則一元二次方程ax22x10有兩個相

11、等的實數(shù)根或沒有實數(shù)根，所以 44a0.解得a1.綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是a|a0或a11 下列所給的對象不能構(gòu)成集合的是( )A某公司的全體員工B2020年全國經(jīng)濟(jì)百強(qiáng)縣C2020年考入北京大學(xué)的全體學(xué)生D美國NBA的籃球明星2 給出下列關(guān)系：R；Q；|3|N；|N.其中正確關(guān)系的個數(shù)為( )A1 B2 C3 D43 集合xN|x32用列舉法可表示為( )A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,54 集合Ax|mx22x20中只有一個元素，則m的值構(gòu)成的集合為_5 選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)絕對值不大于3的整數(shù)組成的集合；(2)方程(3x

12、5)(x2)0的實數(shù)解組成的集合；(3)一次函數(shù)yx6圖像上所有點(diǎn)組成的集合答案：1D根據(jù)集合中元素的確定性來判斷是否構(gòu)成集合因為選項A，B，C中所給對象都是確定的，從而可以構(gòu)成集合；而選項D中所給對象不確定，原因是沒有具體的標(biāo)準(zhǔn)衡量一位美國NBA球員是否為籃球明星，所以不能構(gòu)成集合2B正確，錯誤3BxN|x32xN|x51,2,3,44.當(dāng)m0時，A1滿足題意；當(dāng)m0時，由48m0，得m，A2滿足題意5解：(1)絕對值不大于3的整數(shù)是3，2，1,0,1,2,3，共有7個元素，用列舉法表示為3，2，1,0,1,2,3(2)方程(3x5)(x2)0的實數(shù)解僅有兩個，分別是，2，用列舉法表示為.(3)一次函數(shù)yx6圖像上有無數(shù)個點(diǎn)，用描述法表示為(x，y)|yx6