高中數(shù)學 第一章 集合 第1節(jié) 集合的含義與表示基礎知識素材 北師大版必修1（通用）

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1、§1 集合的含義與表示 1．理解集合的概念，會判斷元素與集合的關系． 2．理解并記住集合中元素的性質． 3．熟記常用數(shù)集的符號． 4．理解列舉法和描述法，能運用它們表示集合． 1．集合 一般地，指定的某些對象的__________稱為集合，集合中的每個對象叫作這個集合的__________． 集合常用大寫字母A，B，C，D，…標記． 2．元素與集合的關系 (1)關系：__________或_________． (2)表示：若元素a在集合A中，就說元素a屬于集合A，記作a__________A；若元素a不在集合A中，就說元素a不屬于集合A，記作a__________A

2、. 集合中元素的性質： ①確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必為其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否構成集合． ②互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的． ③無序性：集合中的元素是沒有順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分． 3．數(shù)集 (1)定義：________________的集合簡稱數(shù)集． (2)常見數(shù)集：自然數(shù)集記為_______________；整數(shù)集記為_______________；正整數(shù)集記

3、為_______________；有理數(shù)集記為_______________；實數(shù)集記為_______________． 【做一做1】 下列關系正確的是( )． A．0∈N＋ B．πR C．1Q D．0∈Z 4．集合的表示法 (1)列舉法：把集合中的________________一一列舉出來寫在大括號內的方法． (2)描述法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征. 這種用確定的____表示某些對象是否____

4、這個集合的方法叫作描述法． 在不引起混淆的情況下，為了簡便，有些集合用描述法表示時，可省去豎線及其代表元素．如所有直角三角形組成的集合，可以表示為{直角三角形}，但不能表示為{所有直角三角形}，因為{ }本身就有“所有”“全部”的意思． 【做一做2－1】 集合{x∈N|x＜5}的另一種表示法是( )． A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 【做一做2

5、－2】 3和4的所有正的公倍數(shù)的集合為__________． 5．集合的分類 按所含元素的個數(shù)分為：有限集和無限集．含________個元素的集合叫有限集，含________個元素的集合叫無限集． 6．空集 不含有任何__________的集合叫作空集，記作. 數(shù)0，{0}，，{}的關系：數(shù)0不是集合，{0}是含一個元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}是指以為元素的集合． 答案：1．全體　元素 2．(1)屬于　不屬于　(2)∈　 3．(1)數(shù)　(2)N　Z　N＋　Q　R 【做一做1】 D 4．(1)元素　(2)條件　屬于 【做一做2－1】 A

6、 【做一做2－2】 {x|x＝12k，k∈N＋} 5．有限　無限 6．元素 1．對于集合定義的理解 剖析：(1)集合中的元素是具體的，它的屬性是明確的，即對于某一集合而言，任何一個元素要么是這個集合的元素，要么不是這個集合的元素，二者必為其一． (2)對于一個集合，應該從整體的角度來看待它，例如由“我們班的學生”組成的一個集合A，這就是一個整體． (3)要注意組成集合的對象的廣泛性：一方面，任何一個確定的對象，都可以組成一個集合，如人、物、數(shù)、方程、不等式等都可以作為構成集合的對象；另一方面，集合本身也可以作為集合的對象． 2．結合實例說明集合中元素的性質特征 剖析：(1

7、)確定性．作為集合的元素，必須是確定的，對于集合A和元素a，要么a∈A，要么aA，二者必為其一，且只為其一．如：所有大于100的數(shù)組成一個集合．集合中的元素是確定的，而“較大的整數(shù)”就不能構成一個集合，因為它的對象是不確定的．再如：“很大的樹”“較高的人”等都不能構成集合． (2)互異性．對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的，任何兩個相同的對象在同一集合中只能出現(xiàn)一次．如：由a，a2組成一個集合，則a的取值不能是0或1. (3)無序性．集合中元素的次序無先后之分，如：小于3的正整數(shù)，可以表示為{1,2}，也可以表示為{2,1}，它們都表示同一個集合． 由此可見，利用集合的三個特征

8、性質來判定元素是否能構成集合，是非常有效的方法． 題型一 集合的判定 【例1】 判斷下列每組對象能否構成一個集合． (1)美麗的小鳥；(2)不超過20的非負整數(shù)；(3)立方接近零的正數(shù)；(4)直角坐標系中，第一象限內的點． 分析：要判定每組對象能否構成集合，可先分析各組對象所具有的條件是否明確，若明確，再結合元素所必須具備的特征作出判斷． 反思：判定元素能否構成集合，關鍵看這些元素是否具有確定性和互異性．如果條件滿足就可以斷定這些元素可以構成集合，否則不能構成集合． 題型二 集合中元素的性質的應用 【例2】 已知x2∈{1,0，x}，求實數(shù)x的值． 分析：分類討論x2是集合

9、中的哪個元素，要根據(jù)集合中元素的互異性進行取舍． 反思：本題是應用集合中元素的性質來解決的．這類問題既要討論元素的確定性，又要利用互異性檢驗解的正確與否，初學者解題時易忽視元素的互異性，必須在學習中高度重視．另外，本類問題往往涉及分類討論的數(shù)學思想． 題型三 集合的表示 【例3】 用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? (1)化簡式子＋(x，y為非零實數(shù))所得結果構成的集合； (2)大于4的所有奇數(shù)組成的集合； (3)直角坐標系內第二象限的點組成的集合； (4)方程(x－1)(x2－5)＝0的根組成的集合． 分析：(1)根據(jù)x，y值的符號，兩項分別可得1或－1，化簡的結果有3種情形，用列舉

10、法表示集合；(2)奇數(shù)的表達式為2k＋1(k∈N)，由于有無數(shù)個元素，可用描述法表示；(3)代表的元素是有序實數(shù)對(x，y)，用描述法表示；(4)只有3個根，用列舉法表示． 反思：1.用描述法表示集合，首先應弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示．若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出取值范圍，如(2)小題． 2．對于元素個數(shù)確定的集合或元素個數(shù)不確定但元素間存在明顯規(guī)律的集合，可采用列舉法．應用列舉法時要注意：①元素之間用“，”而不是用“、”隔開；②元素不能重復；③不考慮元素順序． 題型四 求

11、參數(shù)的取值范圍 【例4】 已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍． 分析：由描述法可知集合A是關于x的方程ax2－2x－1＝0的實數(shù)解集，首先應考慮方程是不是一元二次方程． 反思：已知集合中元素的個數(shù)，求其中某參數(shù)的取值范圍時，關鍵是對集合的表示法的正確理解．本題中，由于集合A是方程的解集，所以轉化為討論方程根的問題． 答案：【例1】 解：(1)中“美麗”的范疇太廣，不具有明確性，因此不能構成集合；(2)中的元素可以列舉出來：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,2

12、0，共21個數(shù)；(3)中接近零的界限不明確；(4)中元素具有無限個，但條件明確，即所有橫、縱坐標均大于0的點均在該集合中． 綜上可知(2)(4)能構成集合，(1)(3)不能構成集合． 【例2】 解：若x2＝0，則x＝0，此時集合為{1,0,0}，不符合集合中元素的互異性，舍去． 若x2＝1，則x＝±1. 當x＝1時，集合為{1,0,1}，不符合集合中元素的互異性，舍去； 當x＝－1時，集合為{1,0，－1}，符合要求． 若x2＝x，則x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互異性，都舍去． 綜上可知，x＝－1. 【例3】 解：(1){0,2，－2}． (2){x|x＝2k＋1，k≥

13、2且k∈N}． (3){(x，y)|x＜0且y＞0}． (4){－，1，}． 【例4】 解：當a＝0時，方程只有一個根－，則a＝0符合題意． 當a≠0時，則關于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程．由于集合A中至多有一個元素，則一元二次方程ax2－2x－1＝0有兩個相等的實數(shù)根或沒有實數(shù)根，所以Δ＝ 4＋4a≤0.解得a≤－1. 綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是{a|a＝0或a≤－1}． 1 下列所給的對象不能構成集合的是( )． A．某公司的全體員工 B．2020年全國經濟百強縣 C．2020年考入北京大學的全體學生 D．美國NBA的籃球明星 2 給出下列關

14、系：①∈R；②Q；③|－3|N＋；④||∈N. 其中正確關系的個數(shù)為( )． A．1 B．2 C．3 D．4 3 集合{x∈N＋|x－3＜2}用列舉法可表示為( )． A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 4 集合A＝{x|mx2＋2x＋2＝0}中只有一個元素，則m的值構成的集合為________

15、__． 5 選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? (1)絕對值不大于3的整數(shù)組成的集合； (2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的實數(shù)解組成的集合； (3)一次函數(shù)y＝x＋6圖像上所有點組成的集合． 答案：1．D　根據(jù)集合中元素的確定性來判斷是否構成集合．因為選項A，B，C中所給對象都是確定的，從而可以構成集合；而選項D中所給對象不確定，原因是沒有具體的標準衡量一位美國NBA球員是否為籃球明星，所以不能構成集合． 2．B　①②正確，③④錯誤． 3．B　{x∈N＋|x－3＜2}＝{x∈N＋|x＜5}＝{1,2,3,4}． 4.　當m＝0時，A＝{－1}滿足題意； 當m≠0時，由Δ＝4－8m＝0，得m＝，A＝{－2}滿足題意． 5．解：(1)絕對值不大于3的整數(shù)是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7個元素，用列舉法表示為{－3，－2，－1,0,1,2,3}． (2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的實數(shù)解僅有兩個，分別是，－2，用列舉法表示為. (3)一次函數(shù)y＝x＋6圖像上有無數(shù)個點，用描述法表示為{(x，y)|y＝x＋6}．