高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第4節(jié) 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究（第2課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第4節(jié) 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究（第2課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第4節(jié) 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究（第2課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、42 二次函數(shù)的性質(zhì)1理解二次函數(shù)的性質(zhì)2會判斷二次函數(shù)的單調(diào)性3掌握二次函數(shù)最值的求法二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的性質(zhì)(1)定義域：R.(2)圖像：當(dāng)a0時，圖像開口向_，頂點坐標(biāo)為，對稱軸為_；當(dāng)a0時，圖像開口向_，頂點坐標(biāo)為，對稱軸為x_.(3)值域：當(dāng)a0時，值域為_；當(dāng)a0時，值域為_(4)單調(diào)性：當(dāng)a0時，減區(qū)間是_，增區(qū)間是；當(dāng)a0時，減區(qū)間是_，增區(qū)間是.(5)最值：當(dāng)a0時，有最小值_，沒有最大值；當(dāng)a0時，有最大值_，沒有最小值(6)f(0)_.【做一做11】 拋物線yx22x2的頂點坐標(biāo)是( )A(2，2) B(1，2)C(1，3) D(1，3)【做一做12】

2、 函數(shù)yx2x1的值域是( )AR B1，)C. D.【做一做13】 求函數(shù)y5x24x1的圖像與x軸的交點坐標(biāo)和對稱軸，并判斷它在哪個區(qū)間上是增加的，在哪個區(qū)間上是減少的答案：(2)上x下(3) (4)(5) (6)c【做一做11】 Dyx22x2(x1)23，故頂點坐標(biāo)為(1，3)故選D.【做一做12】 Cyx2x1，故值域為.【做一做13】 解：令y0，即5x24x10，解得x1，x21.故函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)為，(1,0)因為y5x24x1，所以，函數(shù)圖像的對稱軸是直線x，函數(shù)在區(qū)間上是減少的，在區(qū)間上是增加的如何求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值？剖析：對于二次函數(shù)f(x)a(xh)2k

3、(a0)在區(qū)間m，n上的最值可作如下討論對稱軸xh與m，n的位置關(guān)系最大值最小值hmf(n)f(m)hnf(m)f(n)mhnmhf(n)f(h)hf(m)或f(n)f(h)hnf(m)f(h)題型一 二次函數(shù)的單調(diào)性【例1】 函數(shù)f(x)4x2mx5在區(qū)間2，)上是增加的，求f(1)的取值范圍分析：f(1)9m，求f(1)的取值范圍就是求一次函數(shù)y9m的值域，利用已知條件先求其定義域反思：利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，求m的范圍是解此題的關(guān)鍵不要認(rèn)為f(x)的增區(qū)間是2，)，實際上它只是增區(qū)間的子區(qū)間題型二 二次函數(shù)圖像的對稱性【例2】 已知函數(shù)f(x)x23x.(1)求這個函數(shù)圖像

4、的頂點坐標(biāo)和對稱軸；(2)已知f，不計算函數(shù)值，求f；(3)不直接計算函數(shù)值，試比較f 與f 的大小分析：解答本題可先將f(x)配方，進(jìn)而確定頂點坐標(biāo)及對稱軸，然后根據(jù)f(x)圖像的對稱性求f 的值及比較f 與f 的大小反思：(1)已知二次函數(shù)的解析式求頂點坐標(biāo)及對稱軸，一般先用配方法把二次函數(shù)解析式寫成頂點式：ya(xh)2k，進(jìn)而確定頂點坐標(biāo)為(h，k)，對稱軸為xh.(2)比較兩函數(shù)值大小，可以先比較兩點離對稱軸的距離大小，然后結(jié)合二次函數(shù)的開口方向，從而得到它們的大小關(guān)系，也可以將要比較的兩點轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，利用函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大小題型三 二次函數(shù)的最值問題【例3】 求函數(shù)

5、f(x)x22x，x2,3的最大值和最小值，并寫出單調(diào)區(qū)間分析：畫出圖像來分析反思：討論二次函數(shù)的性質(zhì)時，常借助于圖像來解決，特別是最值問題，利用圖像可以簡潔地求出，否則易出現(xiàn)錯誤本題中易錯認(rèn)為最小值是f(3)，其原因是沒有結(jié)合圖像分析【例4】 求函數(shù)f(x)x22ax1在閉區(qū)間0,2上的最大值和最小值分析：因為f(x)(xa)2a21，其圖像的對稱軸為直線xa，由對稱軸相對于區(qū)間0,2的可能位置分別求其最值反思：求二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的最值，要根據(jù)其圖像的對稱軸相對于所給區(qū)間的位置來確定一般地，當(dāng)a0，即拋物線開口向上時，在距對稱軸較遠(yuǎn)的區(qū)間的端點處取得最大值；在拋物線的頂點

6、處(當(dāng)對稱軸在所屬區(qū)間內(nèi))或在距對稱軸較近(當(dāng)對稱軸在所給區(qū)間外側(cè)時)的區(qū)間的端點處取得最小值當(dāng)a0，即拋物線開口向下時，可相應(yīng)地得出結(jié)論【例5】 設(shè)函數(shù)f(x)x22x2，xt，t1的最小值為g(t)，求g(t)的解析式分析：本題按拋物線對稱軸x1在區(qū)間t，t1之內(nèi)和之外分類討論反思：二次函數(shù)求最值問題，首先要采用配方法，化為ya(xm)2n的形式，得頂點(m，n)或?qū)ΨQ軸方程xm，可分為三個類型：(1)頂點固定，區(qū)間也固定；(2)頂點變動，區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標(biāo)何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外；(3)頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù)題型四 二次函數(shù)的實際應(yīng)用【例6】 漁場中

7、魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，為保證魚群的生長空間，實際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量已知魚群的年增長量y噸與實際養(yǎng)殖量x噸和空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k0)(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；(2)求魚群的年增長量的最大值；(3)當(dāng)魚群的年增長量達(dá)到最大值時，求k所應(yīng)滿足的條件反思：二次函數(shù)模型是一種常見的函數(shù)應(yīng)用模型，是高考的重點和熱點其解題關(guān)鍵是列出二次函數(shù)解析式，即建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值等問題答案：【例1】 解：二次函數(shù)f(x)4x2mx5在區(qū)間2，)上是增加的，且對稱軸是x，2，即m16.f(1)4m5m925，f(1)25.【例2】 解：(

8、1)f(x)x23x(x3)2，函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為x3.(2)f，又，結(jié)合二次函數(shù)圖像的對稱性，有ff.(3)由f(x)(x3)2可知，f(x)在(，3上是減少的，又3，ff.【例3】 解：畫出函數(shù)f(x)x22x，x2,3的圖像，如圖所示觀察圖像，得函數(shù)f(x)x22x在區(qū)間2,1上是減少的，則此時最大值是f(2)8，最小值是f(1)1；函數(shù)f(x)x22x在區(qū)間1,3上是增加的，則此時最大值是f(3)3，最小值是f(1)1.則函數(shù)f(x)x22x，x2,3的最大值是8，最小值是1.增區(qū)間是1,3，減區(qū)間是2,1【例4】 解：f(x)x22ax1(xa)2a21，f(x)的圖像是開口

9、向上，對稱軸為直線xa的拋物線，如圖所示當(dāng)a0時(如圖(1)，f(x)的最大值為f(2)34a，f(x)的最小值為f(0)1；當(dāng)0a1時(如圖(2)，f(x)的最大值為f(2)34a，f(x)的最小值為f(a)a21；當(dāng)1a2時(如圖(3)，f(x)的最大值為f(0)1，f(x)的最小值為f(a)a21；當(dāng)a2時(如圖(4)，f(x)的最大值為f(0)1，f(x)的最小值為f(2)34a.【例5】 解：f(x)x22x2(x1)21，當(dāng)t11，即t0時，函數(shù)在t，t1上是減少的，g(t)f(t1)t21；當(dāng)t11且t1，即0t1時，g(t)f(1)1；當(dāng)t1時，函數(shù)在t，t1上是增加的，g(t

10、)f(t)t22t2.g(t)【例6】 解：(1)由題意，知空閑率為，ykx(0xm)(2)yx2kx2，0且0xm，當(dāng)x時，ymax.(3)當(dāng)x時，ymax，又實際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，此時，需要m，解得k2.又k0，0k2.1 函數(shù)yx24的最大值和最小值情況是( )A有最小值0，無最大值 B有最大值4，無最小值C有最小值4，無最大值 D有最大值4，有最小值02 函數(shù)y2x2x在下列哪個區(qū)間上是增加的( )AR B2，)C. D.3 函數(shù)f(x)ax22(a3)x1在區(qū)間(2，)上是減少的，則a的取值范圍是( )A3,0 B(，3C3,0) D2,04 拋物線y8x2(m1)xm7的頂

11、點在x軸上，則m_.5 將進(jìn)貨單價為40元的商品按50元一個出售時，能賣出500個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10個，為得到最大利潤，售價應(yīng)為多少元？最大利潤是多少？答案：1C2.D函數(shù)y2x2x的圖像的對稱軸是直線，圖像的開口向下，所以函數(shù)在對稱軸的左邊是增加的3A(1)當(dāng)a0時，顯然正確(2)當(dāng)a0時，f(x)ax22(a3)x1在(2，)上是減少的，應(yīng)滿足解得3a0.由(1)(2)可知，a的取值范圍是3,049或25拋物線的頂點在x軸上，0，即b24ac0.(m1)248(m7)0.解得m9或m25.5分析：設(shè)售價及利潤，建立利潤與售價的函數(shù)關(guān)系式解：設(shè)售價為x元時，利潤為y元，單個漲價為(x50)元，銷量減少10(x50)個，50x100.y(x40)50010(x50)10(x70)29 000.當(dāng)x70時，ymax9 000，即售價為70元時，利潤最大為9 000元